Zufallsexperiment

Alle Glücksspiele dieser Welt beruhen auf Zufallsexperimenten. Oder sie sollten zumindest dem Zufall überlassen sein.

Wie erkennst du aber, ob es sich bei einem Experiment tatsächlich um ein Zufallsexperiment handelt. Und wie ist das überhaupt definiert?

simpleclub erklärt dir, was ein Zufallsexperiment ist und was du dazu wissen musst.

Zufallsexperiment einfach erklärt

Die einfachste Erklärung dafür, was ein Zufallsexperiment überhaupt ist, ist folgende:

Die Ausgänge des Experiments sind dem Zufall überlassen. Das heißt, du kannst vorher nicht sagen, wie das Experiment ausgeht.

Zufallsexperiment Definition

Wenn du dir Zufallsexperimente genauer ansiehst, dann kannst du sie anhand von drei Eigenschaften charakterisieren.

Bei einem Zufallsexperiment sind immer drei Merkmale erfüllt:

  • Der Ausgang des Zufallsexperiments ist nicht vorhersagbar.
  • Das Zufallsexperiment hat mehrere Ausgänge (sogenannte Ergebnisse).
  • Das Zufallsexperiment kann beliebig oft wiederholt werden.

Zufallsexperiment Erklärung

Solltest du also tatsächlich mal entscheiden müssen, ob ein Experiment ein Zufallsexperiment ist, dann musst du die drei definierenden Eigenschaften überprüfen.

Eines der gängigsten Zufallsexperimente ist das Werfen einer handelsüblichen Münze, die entweder Kopf oder Zahl zeigen kann.

Anhand des Münzwurfs kannst du die definierenden Eigenschaften einmal durchgehen.

  • Der Ausgang des Zufallsexperiments ist nicht vorhersagbar. Du weißt vor dem Wurf nicht, ob die Münze Kopf oder Zahl zeigen wird.

  • Der Münzwurf hat zwei - und damit mehrere - Ausgänge. (Wir gehen davon aus, dass die Münze nicht auf der Kante landen kann).

  • Die Münze kann beliebig oft geworfen werden. Somit kann das Zufallsexperiment beliebig oft wiederholt werden.

Achtung!

Beim Münzwurf treten die beiden Ausgänge jeweils mit der Wahrscheinlichkeit von 50\%50%50\% ein.

Das ist allerdings keine definierende Eigenschaft eines Zufallsexperiments. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Ausgänge des Zufallsexperiments eintreten, können beliebig groß und auch alle unterschiedlich sein!

Zum Beispiel ist das folgende Glücksrad auch ein Zufallsexperiment, jedoch treten die verschiedenen Ausgänge, die sogenannten Ergebnisse, mit unterschiedlich großer Wahrscheinlichkeit ein.

Ein Glücksrad mit drei unterschiedlich großen Sektoren.

Mehrstufige Zufallsexperimente

In der Praxis können dir auch mehrstufige Zufallsexperimente begegnen.

Das sind dann einfach Experimente, bei welchen ein oder mehrere Zufallsexperimente öfter durchgeführt werden, allerdings nur das Gesamtergebnis untersucht wird.

Wichtig ist dabei zu beachten, dass die Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments nicht die Ausgänge der einzelnen Experimente sind, sondern das Ergebnis das mehrstufige Zufallsexperiment als Ganzes beschreibt.

Du kannst zum Beispiel aus dem Zufallsexperiment Münzwurf ein mehrstufiges Zufallsexperiment machen, indem du die Ausgänge nach zwei Würfen untersuchst.

Die Ergebnisse wären dann wie folgt:

  • KK: Kopf und Kopf
  • ZZ: Zahl und Kopf
  • ZK: Zahl und Kopf
  • KZ: Kopf und Zahl

Andere Ergebnisse gibt es nicht.

Auch bei diesem zusammengesetzten Zufallsexperiment ist nicht klar, welches Ergebnis eintreten wird und es können mehrere Ergebnisse auftreten. Außerdem kannst du natürlich auch das beliebig oft durchführen, du schaust dir ja nur immer die Ergebnisse nach zwei Würfen an.


Beispiele zu Zufallsexperimenten

Glücksrad

Handelt es sich bei dem dargestellten Glücksrad tatsächlich um ein Zufallsexperiment?

Ein Glücksrad mit drei unterschiedlich großen Sektoren.

Ja, du kannst auch hier kurz die Eigenschaften überprüfen.

  • Es ist nicht vorhersagbar, auf welchen Sektor das Glücksrad gedreht wird.

  • Es gibt mehrere Ausgänge. In diesem Fall sind das die drei Sektoren für -2 €2-2 €, 1 €11 € und 6 €66 €.

  • Du kannst das Glücksrad so oft drehen, wie du willst.

Würfeln

Ein handelsüblicher Würfel dient auch sehr oft als Beispiel für ein Zufallsexperiment.

Beim einmaligen Werfen eines Würfels können die Zahlen 111 bis 666 gewürfelt werden. Hier besitzen alle Ausgänge, die sogenannten Ergebnisse, die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich p=\frac{1}{6}p=16p=\frac{1}{6} .

  • Auch hier kannst du den Ausgang des Wurfs nicht vorhersehen, auch wenn du dir oft beim Mensch ärgere dich nicht spielen so sehr wünscht, eine 666 zu würfeln.

  • Es gibt 666 verschiedene Ausgänge, nämlich die 666 Zahlen.

  • Außerdem kannst du den Würfel so oft werfen, wie du willst.

Gut zu wissen:

Wusstest du, dass die gegenüberliegenden Seiten auf einem Würfel immer zusammengerechnet die Zahl 777 ergeben.

Gegenüber von der Zahl 666 befindet sich also immer die 111, gegenüber von der 444 immer die 333 und gegenüber von der 555 die 222.

Du weißt also immer, wenn oben eine bestimmte Zahl liegt, was auf der Unterseite des Würfels stehen wird.

Urne

In der Mathematik werden Sachverhalte oft durch das Zufallsexperiment Ziehen einer Kugel aus einer Urne beschrieben.

Beispielsweise können sich 202020 Kugeln in einer Urne befinden, von denen 101010 rot, 888 blau und 222 grün sind.

Ziehst du jetzt eine Kugel aus der Urne, so handelt es sich um ein Zufallsexperiment.

  • Offensichtlich ist es nicht vorhersagbar, welche Kugel gezogen wird.

  • Es gibt auch wieder mehrere Ergebnisse.

  • Du kannst das Experiment beliebig oft wiederholen, dazu musst du nur die Kugel wieder in die Urne zurücklegen.

Durch eine Urne kannst du auch sehr gut zusammengesetzte Zufallsexperimente repräsentieren. Dann ziehst du einfach mehrmals aus der Urne.

Wichtig ist zu beachten, dass dieses Zufallsexperiment sehr wohl beliebig oft wiederholt werden kann. Denn eine Wiederholung des Zufallsexperiments bedeutet, dass du wieder von vorne beginnst und somit alle Kugeln wieder in die Urne zurückgelegt werden müssen. Das kannst du beliebig oft machen.

Zusammenfassung

Zufallsexperimente können anhand von drei Eigenschaften charakterisiert werden:

  • Ausgang des Zufallsexperiments ist nicht vorhersagbar.
  • Das Zufallsexperiment hat mehrere Ausgänge (sogenannte Ergebnisse).
  • Das Zufallsexperiment kann beliebig oft wiederholt werden.

Gängige Zufallsexperimente sind der Münzwurf oder das Würfeln.

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