Exponentialfunktion Grundlagen

Das Wachstum von Bakterien, die Vermehrung in einer Kaninchenpopulation und der Zerfall radioaktiver Stoffe nach einem Atomunglück - alle diese Beispiele haben eine Gemeinsamkeit. Sie können mathematisch jeweils mit einer Exponentialfunktion beschrieben werden.

Aber was ist eine Exponentialfunktion überhaupt? Was sind ihre Eigenschaften? Und ist die \e$\e$-Funktion dasselbe wie die Exponentialfunktion oder nur ein Spezialfall?

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Exponentialfunktion einfach erklärt

Die Exponentialfunktion beschreibt einen Änderungsprozess, in dem sich der Wert im gleichen Intervall immer um denselben Faktor ändert.
Ein Beispiel ist, dass sich eine Kaninchenpopulation auf einer verlassenen Insel **jedes Jahr** (also im \col[1]1$\col[1]1$-Jahres-Intervall) **verdoppelt** (um den Faktor \col[2]2$\col[2]2$ zunimmt). Das heißt, wenn zu Beobachtungsbeginn 10$10$ Kaninchen auf der Insel ausgesetzt werden, dann haben sie sich innerhalb eines Jahres auf 20$20$ Kaninchen vermehrt, nach zwei Jahren sind es 40$40$ Kaninchen, ...

In der Praxis wird die Exponentialfunktion hauptsächlich zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen genutzt.

• Wachstumsprozess: Exponentielles Wachstum sind Vorgänge, die in gleichen (zeitlichen) Abständen immer um denselben Faktor zunehmen.
  Ein Beispiel ist das der Kaninchenpopulation, die sich jährlich verdoppelt.

• Zerfallsprozess: Exponentiellen Zerfall findest du in Vorgängen, bei denen etwas in gleichen (zeitlichen) Abständen immer um denselben Faktor abnimmt.
  Ein Beispiel ist der radioaktive Zerfall. Bei einem Atomunfall werden große Mengen Cäsium 137 freigesetzt. Die Menge halbiert sich aber alle \col[1]{30}$\col[1]{30}$ Jahre. Das heißt, nach 30$30$ Jahren existiert noch die Hälfte der freigesetzten Cäsium-Atome, nach 60$60$ Jahren ist es noch ein Viertel (die Hälfte der Hälfte), nach 90$90$ Jahren ein Achtel (die Hälfte des Viertels), ...

Funktionsgleichung Exponentialfunktion

Bei Exponentialfunktionen steht x$x$ also immer im Exponenten.

\col[3]{a}$\col[3]{a}$ ist der Streckfaktor. Beim exponentiellen Wachstum und Zerfall kann \col[3]a$\col[3]a$ auch als Anfangswert gesehen werden, also beispielsweise die Anfangspopulation der Kaninchen oder die Anzahl der beim Atomunfall freigesetzten Cäsium 137-Kerne.

\col[2]{b}$\col[2]{b}$ ist die Basis. Diese gibt an, wie steil die Funktion steigt oder fällt. Beispielsweise \col[2]2$\col[2]2$ für die Verdopplung der Kaninchenpopulation oder \col[2]{0,5}$\col[2]{0,5}$ für die Halbierung der Cäsium 137-Kerne.

x$x$ gibt dir an, welches Intervall seit Beobachtungsbeginn du betrachtest. Bei 1$1$-jahres-Intervallen gibt x$x$ also das x$x$-te Jahr an, z.B. x=3$x=3$ das 3.$3.$ Jahr nach Beobachtungsbeginn. Bei den 30$30$-Jahres-Intervallen musst du aufpassen. Hier ist beispielsweise x=3$x=3$ das 90.$90.$ Jahr nach Beobachtungsbeginn, da es das dritte 30$30$-Jahres-Intervall ist.

f(x)$f(x)$ ist der Funktionswert zum (Zeit)Punkt x$x$. Im Kaninchen-Beispiel gibt f(3)$f(3)$ die Anzahl der Kaninchen nach 3$3$ Jahren an. Beim radioaktiven Zerfall gibt f(3)$f(3)$ die Anzahl der Cäsium 137-Kerne nach 90$90$ Jahren an.

Exponentialfunktion Erklärung

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist \mathbb{D}=\R$\mathbb{D}=\R$.

Du darfst für x$x$ also alle Zahlen ohne Einschränkung einsetzen.

Wertebereich

Der Wertebereich ist entweder \mathbb{W}=\R^+$\mathbb{W}=\R^+$ oder \mathbb{W}=\R^-$\mathbb{W}=\R^-$.
Das ist abhängig von \col[3]{a}$\col[3]{a}$.

• \col[3]{a}>0 \implies \mathbb{W}=\R^+$\col[3]{a}>0 \implies \mathbb{W}=\R^+$
• \col[3]{a}<0 \implies \mathbb{W}=\R^-$\col[3]{a}<0 \implies \mathbb{W}=\R^-$

Das heißt, die Exponentialfunktion schneidet niemals die x$x$-Achse. Die x$x$-Achse ist also eine Asymptote.

Achtung: Das gilt, solange du den Funktionsgraphen nicht in y$y$-Richtung verschiebst.

Funktionsgraph

Der Funktionsgraph der Exponentialfunktion ist immer streng monoton.
Er kann also

• streng monoton steigen.
• streng monoton fallen.

Ob der Funktionsgraph steigt oder fällt, hängt vom Wert der Parameter \col[3]a$\col[3]a$ und \col[2]b$\col[2]b$ ab.

Einfluss der Parameter auf den Funktionsgraphen

Eben hast du schon gesehen, dass Exponentialfunktionen entweder über oder unter der x$x$-Achse und steigend oder fallend verlaufen. Es wird also in vier Fälle unterschieden.

Die ersten beiden Fälle beschäftigen sich mit der Basis \col[2]b$\col[2]b$. Die Basis gibt an, wie schnell der Graph steigt oder fällt. Dieser Parameter entscheidet also, ob ein Wachstum oder ein Zerfall vorliegt.

Die anderen beiden Fälle beschäftigen sich mit dem Streckfaktor \col[3]a$\col[3]a$, der bei Wachstums- und Zerfallsfunktionen auch als Anfangswert gesehen werden kann.

Fall 1: \Large{f(x)=\col[2]b^x}$\Large{f(x)=\col[2]b^x}$ mit \Large{\col[2]b>1}$\Large{\col[2]b>1}$

Ist \col[2]b$\col[2]b$ größer als 1$1$, dann liegt eine Wachstumsfunktion vor. Sie ist streng monoton steigend. Je größer \col[2]b$\col[2]b$ in diesem Fall ist, desto steiler ist die Funktion.

Das ist ja auch logisch. Bei f(x)=\col[2]{1,5}^x$f(x)=\col[2]{1,5}^x$ liegt schließlich eine Ver-1,5-fachung pro 1$1$-Einheits-Intervall vor, bei f(x)=\col[2]{2,2}^x$f(x)=\col[2]{2,2}^x$ eine Ver-2,2-fachung und bei f(x)=\col[2]6^x$f(x)=\col[2]6^x$ eine Versechsfachung.

Fall 2: \Large{f(x)=\col[2]b^x}$\Large{f(x)=\col[2]b^x}$ mit \Large{0<\col[2]b<1}$\Large{0<\col[2]b<1}$

Ist die Basis \col[2]b$\col[2]b$ zwischen 0$0$ und 1$1$, dann liegt eine Zerfallsfunktion vor. Sie ist streng monoton fallend.
Je kleiner \col[2]b$\col[2]b$ dabei ist, desto stärker fällt der Graph.

Fall 3: \Large{f(x)=\col[3]a\cdot \col[2]b^x}$\Large{f(x)=\col[3]a\cdot \col[2]b^x}$ mit \Large{\col[3]a>0}$\Large{\col[3]a>0}$

Ist der Streckfaktor \col[3]a$\col[3]a$ positiv, dann kann er auch als Anfangswert einer exponentiellen Wachstums- oder Zerfallsfunktion gesehen werden.

\col[3]a$\col[3]a$ ist dann der y$y$-Achsenabschnitt. Das ist die Stelle, an welcher der Graph die y$y$-Achse schneidet.

Fall 4: \Large{f(x)=\col[3]a\cdot \col[2]b^x}$\Large{f(x)=\col[3]a\cdot \col[2]b^x}$ mit \Large{\col[3]a<0}$\Large{\col[3]a<0}$

Ist der Streckfaktor \col[3]a$\col[3]a$ negativ, dann wird das Monotonieverhalten umgekehrt. Es findet eine Spiegelung an der x$x$-Achse statt.

Es ist also f(x)=\col[1]-\col[3]{a}\cdot\col[2]b^x$f(x)=\col[1]-\col[3]{a}\cdot\col[2]b^x$ das Spiegelbild von f(x)=\col[3]a\cdot\col[2]b^x$f(x)=\col[3]a\cdot\col[2]b^x$.

Spezialfall natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion zur Basis \e$\e$.

\e$\e$ ist aber nichts anderes als die Kurzform einer reellen Zahl, die unendlich viele Nachkommastellen hat.

Für die natürliche Exponentialfunktion gilt:

• Die \e$\e$-Funktion wird niemals 0$0$, sie nähert sich der x$x$-Achse nur unendlich nahe an.
• Da \e^0 =1$\e^0 =1$ gilt, schneidet die Funktion die y$y$-Achse bei y=1$y=1$.

Verschiebung

Du kannst eine Exponentialfunktion in x$x$- und in y$y$-Richtung verschieben, indem du die Funktionsgleichung um zwei Parameter ergänzt.

Verschiebung in \Large{x}$\Large{x}$-Richtung

Hierfür benötigst du den Paramter \col[5]c$\col[5]c$.

• Für \col[5]c>0$\col[5]c>0$ verschiebst du den Graphen um \col[5]c$\col[5]c$ nach links.

• Für \col[5]c<0$\col[5]c<0$ verschiebst du den Graphen um \col[5]c$\col[5]c$ nach rechts.

Das siehst du auch in folgender Animation der natürlichen Exponentialfunktion. Das gilt aber auch für alle anderen Exponentialfunktionen.

Verschiebung in \Large{y}$\Large{y}$-Richtung

Hierfür benötigst du den Paramter \col[6]d$\col[6]d$.

• Für \col[6]d>0$\col[6]d>0$ verschiebst du den Graphen um \col[6]d$\col[6]d$ nach oben.

• Für \col[6]d<0$\col[6]d<0$ verschiebst du den Graphen um \col[6]d$\col[6]d$ nach unten.

Die Asymptote liegt immer genau bei y=\col[6]d$y=\col[6]d$.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x)=\col[2]b^x$f(x)=\col[2]b^x$ ist die Logarithmusfunktion. Sie lautet im allgemeinen Fall folgendermaßen:

Das sprichst du als „Logarithmus von x$x$ zur Basis \col[2]b$\col[2]b$“.

Du gehst wie immer bei der Bildung der Umkehrfunktion in zwei Schritten vor.

\fcolorbox{white}{grey}{1}$\fcolorbox{white}{grey}{1}$ Auflösen der Funktion nach x$x$

\fcolorbox{white}{grey}{2}$\fcolorbox{white}{grey}{2}$ Vertauschen von x$x$ und y$y$

Das versuchen wir am Kaninchen-Beispiel. Wenn \col[3]{10}$\col[3]{10}$ Kaninchen ausgesetzt werden (Anfangswert \col[3]a$\col[3]a$) und sie sich jährlich verdoppeln (Steigungsfaktor \col[2]b$\col[2]b$), dann lautet die Funktionsgleichung:

\fcolorbox{white}{grey}{1}$\fcolorbox{white}{grey}{1}$ Auflösen nach x$x$

\fcolorbox{white}{grey}{2}$\fcolorbox{white}{grey}{2}$ x$x$ und y$y$ vertauschen

Du benötigst du Umkehrfunktion, wenn du die Exponentialfunktion nach x$x$ auflösen möchtest. Das machst du beispielsweise, wenn du wissen möchtest, in welchem Jahr die Kaninchenpopulation bei 320$320$ liegt.

Dafür setzt du einfach 320$320$ in die Umkehrfunktion ein.

Nach 5$5$ Jahren hat sich die Kaninchen-Population auf 320$320$ erhöht.

Spezialfall: Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=\e^x$f(x)=\e^x$ wird als f^{-1}(x)=\ln(x)$f^{-1}(x)=\ln(x)$ geschrieben. Dieser spezielle Logarithmus \ln(x)$\ln(x)$ wird auch natürlicher Logarithmus genannt. Er ist nichts anderes als der Logarithmus zur Basis \e$\e$, also \ln(x)=\log_\e(x)$\ln(x)=\log_\e(x)$.

Den Graph der Umkehrfunktion sämtlicher Exponentialfunktionen zeichnest du durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y=x$y=x$.

An folgender Animation siehst du das einmal beispielhaft für die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

Rechenregeln

Bei Exponentialfunktionen können dir die Potenzgesetze helfen.

Gleiche Basis

Gleicher Exponent

Weitere

Beispiel Exponentialfunktion

Aufgabe

Eine Bakterienkultur besteht anfangs aus 50$50$ Bakterien. Jede Stunde nimmt die Anzahl der Bakterien um 70~\%$70~\%$ zu.

a) Stelle die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit t$t$ als Funktion dar.

b) Zeichne den zugehörigen Funktionsgraphen für die ersten 5$5$ Stunden. Wähle eine geeignete Skalierung.

c) Bestimme die Anzahl der Bakterien nach 10$10$ Stunden.

d) Nach wie vielen Stunden besteht die Bakterienkultur aus mehr als 500.000$500.000$ Bakterien?

Lösung

a) Funktionsgleichung

Du weißt, dass

• es anfangs 50$50$ Bakterien waren. \rarr$\rarr$ \col[3]a=\col[3]{50}$\col[3]a=\col[3]{50}$

• die Bakterienkultur stündlich um 70~\%$70~\%$ zunimmt. Sie ver-1,7-facht sich also. \rarr$\rarr$ \col[2]b=\col[2]{1,7}$\col[2]b=\col[2]{1,7}$

Das setzt du in die allgemeine Funktionsgleichung f(x)=\col[3]a\cdot\col[2]b^x$f(x)=\col[3]a\cdot\col[2]b^x$ ein. Dein x$x$ ist jetzt ein t$t$, weil du die Funktion in Abhängigkeit von der Zeit t$t$ angeben sollst.

b) Funktionsgraph

Am besten erstellst du dir zuerst eine Wertetabelle. Anschließend wählst du die richtige Einteilung, überträgst die Punkte in das Koordinatensystem und verbindest sie zu einem Funktionsgraphen.

c) Anzahl der Bakterien nach 10$10$ Stunden

Du setzt t=10$t=10$ in die Funktionsgleichung f(t)=50\cdot1,7^t$f(t)=50\cdot1,7^t$ ein.

Nach 10$10$ Stunden besteht die Bakterienkultur aus 10.080$10.080$ Bakterien.

d) Mehr als 500.000$500.000$ Bakterien

Hierfür benötigst du die Umkehrfunktion, da du f(t)=500.000$f(t)=500.000$ nach t$t$ auflösen musst.

1. Nach t$t$ auflösen

2. x$x$ und y$y$ tauschen

Jetzt setzt du einfach 500.000$500.000$ in die Umkehrfunktion ein.

Nach etwa 17,36$17,36$ Stunden besteht die Bakterienkultur aus mehr als 500.000$500.000$ Bakterien.

Zusammenfassung

Die Exponentialfunktion nutzt du in der Praxis vor allem für die Darstellung von Wachstums- und Zerfallsprozessen.