Rechnen mit Exponentialfunktionen 1 - Mal, Geteilt, Hoch und Wurzel

Exponentialfunktion Grundlagen

Das Wachstum von Bakterien, die Vermehrung in einer Kaninchenpopulation und der Zerfall radioaktiver Stoffe nach einem Atomunglück - alle diese Beispiele haben eine Gemeinsamkeit. Sie können mathematisch jeweils mit einer Exponentialfunktion beschrieben werden.

Aber was ist eine Exponentialfunktion überhaupt? Was sind ihre Eigenschaften? Und ist die \ee\e-Funktion dasselbe wie die Exponentialfunktion oder nur ein Spezialfall?

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Exponentialfunktion einfach erklärt

Die Exponentialfunktion beschreibt einen Änderungsprozess, in dem sich der Wert im gleichen Intervall immer um denselben Faktor ändert.
Ein Beispiel ist, dass sich eine Kaninchenpopulation auf einer verlassenen Insel **jedes Jahr** (also im \col[1]11\col[1]1-Jahres-Intervall) **verdoppelt** (um den Faktor \col[2]22\col[2]2 zunimmt). Das heißt, wenn zu Beobachtungsbeginn 101010 Kaninchen auf der Insel ausgesetzt werden, dann haben sie sich innerhalb eines Jahres auf 202020 Kaninchen vermehrt, nach zwei Jahren sind es 404040 Kaninchen, ...

\begin{aligned} \begin{aligned} \\[2mm] \col[1]{+1 ~ \Big(} \quad \\[2mm] \col[1]{+1 ~ \Big(} \quad\\[2mm] \col[1]{+1 ~ \Big(} \quad \\[2mm] \end{aligned} ~ \begin{aligned} \textsf{Jahr}\qquad&\textsf{Kaninchen}\\[2mm] 0\qquad&10\\[2mm] 1\qquad&20\\[2mm] 2\qquad&40 \\[2mm] 3\qquad&80\\[2mm] ...\qquad&... \end{aligned} ~ \begin{aligned} \\[2mm] \quad \col[2]{ \Big) ~ \cdot2} \\[2mm] \quad \col[2]{ \Big) ~ \cdot2} \\[2mm] \quad \col[2]{ \Big) ~ \cdot2} \\[2mm] \end{aligned} \end{aligned}+1(+1(+1(JahrKaninchen010120240380......)2)2)2\begin{aligned} \begin{aligned} \\[2mm] \col[1]{+1 ~ \Big(} \quad \\[2mm] \col[1]{+1 ~ \Big(} \quad\\[2mm] \col[1]{+1 ~ \Big(} \quad \\[2mm] \end{aligned} ~ \begin{aligned} \textsf{Jahr}\qquad&\textsf{Kaninchen}\\[2mm] 0\qquad&10\\[2mm] 1\qquad&20\\[2mm] 2\qquad&40 \\[2mm] 3\qquad&80\\[2mm] ...\qquad&... \end{aligned} ~ \begin{aligned} \\[2mm] \quad \col[2]{ \Big) ~ \cdot2} \\[2mm] \quad \col[2]{ \Big) ~ \cdot2} \\[2mm] \quad \col[2]{ \Big) ~ \cdot2} \\[2mm] \end{aligned} \end{aligned}

In der Praxis wird die Exponentialfunktion hauptsächlich zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen genutzt.

  • Wachstumsprozess: Exponentielles Wachstum sind Vorgänge, die in gleichen (zeitlichen) Abständen immer um denselben Faktor zunehmen.
    Ein Beispiel ist das der Kaninchenpopulation, die sich jährlich verdoppelt.

  • Zerfallsprozess: Exponentiellen Zerfall findest du in Vorgängen, bei denen etwas in gleichen (zeitlichen) Abständen immer um denselben Faktor abnimmt.
    Ein Beispiel ist der radioaktive Zerfall. Bei einem Atomunfall werden große Mengen Cäsium 137 freigesetzt. Die Menge halbiert sich aber alle \col[1]{30}30\col[1]{30} Jahre. Das heißt, nach 303030 Jahren existiert noch die Hälfte der freigesetzten Cäsium-Atome, nach 606060 Jahren ist es noch ein Viertel (die Hälfte der Hälfte), nach 909090 Jahren ein Achtel (die Hälfte des Viertels), ...

\begin{aligned} \begin{aligned} \\[2mm] \col[1]{+30 ~ \Big(} \quad \\[2mm] \col[1]{+30 ~ \Big(} \quad\\[2mm] \col[1]{+30 ~ \Big(} \quad \\[2mm] \end{aligned} ~ \begin{aligned} \textsf{Jahr}\qquad&\textsf{Cäsium 137}\\[2mm] 0\qquad&100~\%\\[2mm] 30\qquad&50~\%\\[2mm] 60\qquad&25~\% \\[2mm] 90\qquad&12,5~\%\\[2mm] ...\qquad&... \end{aligned} ~ \begin{aligned} \\[2mm] \quad \col[2]{ \Big) ~ \cdot0,5} \\[2mm] \quad \col[2]{ \Big) ~ \cdot0,5} \\[2mm] \quad \col[2]{ \Big) ~ \cdot0,5} \\[2mm] \end{aligned} \end{aligned}+30(+30(+30(JahrCa¨sium1370100%3050%6025%9012,5%......)0,5)0,5)0,5\begin{aligned} \begin{aligned} \\[2mm] \col[1]{+30 ~ \Big(} \quad \\[2mm] \col[1]{+30 ~ \Big(} \quad\\[2mm] \col[1]{+30 ~ \Big(} \quad \\[2mm] \end{aligned} ~ \begin{aligned} \textsf{Jahr}\qquad&\textsf{Cäsium 137}\\[2mm] 0\qquad&100~\%\\[2mm] 30\qquad&50~\%\\[2mm] 60\qquad&25~\% \\[2mm] 90\qquad&12,5~\%\\[2mm] ...\qquad&... \end{aligned} ~ \begin{aligned} \\[2mm] \quad \col[2]{ \Big) ~ \cdot0,5} \\[2mm] \quad \col[2]{ \Big) ~ \cdot0,5} \\[2mm] \quad \col[2]{ \Big) ~ \cdot0,5} \\[2mm] \end{aligned} \end{aligned}

Funktionsgleichung Exponentialfunktion

Allgemeine Exponentialfunktion

f(x)=a\cdot b^xf(x)=abxf(x)=a\cdot b^x

Es gilt: a\neq0a0a\neq0, b>0b>0b>0 und b\neq1b1b\neq1.

Bei Exponentialfunktionen steht xxx also immer im Exponenten.

\col[3]{a}a\col[3]{a} ist der Streckfaktor. Beim exponentiellen Wachstum und Zerfall kann \col[3]aa\col[3]a auch als Anfangswert gesehen werden, also beispielsweise die Anfangspopulation der Kaninchen oder die Anzahl der beim Atomunfall freigesetzten Cäsium 137-Kerne.

\col[2]{b}b\col[2]{b} ist die Basis. Diese gibt an, wie steil die Funktion steigt oder fällt. Beispielsweise \col[2]22\col[2]2 für die Verdopplung der Kaninchenpopulation oder \col[2]{0,5}0,5\col[2]{0,5} für die Halbierung der Cäsium 137-Kerne.

xxx gibt dir an, welches Intervall seit Beobachtungsbeginn du betrachtest. Bei 111-jahres-Intervallen gibt xxx also das xxx-te Jahr an, z.B. x=3x=3x=3 das 3.3.3. Jahr nach Beobachtungsbeginn. Bei den 303030-Jahres-Intervallen musst du aufpassen. Hier ist beispielsweise x=3x=3x=3 das 90.90.90. Jahr nach Beobachtungsbeginn, da es das dritte 303030-Jahres-Intervall ist.

f(x)f(x)f(x) ist der Funktionswert zum (Zeit)Punkt xxx. Im Kaninchen-Beispiel gibt f(3)f(3)f(3) die Anzahl der Kaninchen nach 333 Jahren an. Beim radioaktiven Zerfall gibt f(3)f(3)f(3) die Anzahl der Cäsium 137-Kerne nach 909090 Jahren an.


Exponentialfunktion Erklärung

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist \mathbb{D}=\RD=R\mathbb{D}=\R.

Du darfst für xxx also alle Zahlen ohne Einschränkung einsetzen.

Wertebereich

Der Wertebereich ist entweder \mathbb{W}=\R^+W=R+\mathbb{W}=\R^+ oder \mathbb{W}=\R^-W=R\mathbb{W}=\R^-.
Das ist abhängig von \col[3]{a}a\col[3]{a}.

  • \col[3]{a}>0 \implies \mathbb{W}=\R^+a>0W=R+\col[3]{a}>0 \implies \mathbb{W}=\R^+
  • \col[3]{a}<0 \implies \mathbb{W}=\R^-a<0W=R\col[3]{a}<0 \implies \mathbb{W}=\R^-

Das heißt, die Exponentialfunktion schneidet niemals die xxx-Achse. Die xxx-Achse ist also eine Asymptote.

Achtung: Das gilt, solange du den Funktionsgraphen nicht in yyy-Richtung verschiebst.

Funktionsgraph

Der Funktionsgraph der Exponentialfunktion ist immer streng monoton.
Er kann also

  • streng monoton steigen.
  • streng monoton fallen.

Ob der Funktionsgraph steigt oder fällt, hängt vom Wert der Parameter \col[3]aa\col[3]a und \col[2]bb\col[2]b ab.

Zwei Exponentialfunktionen, die beide oberhalb der x-Achse verlaufen. Dabei ist einer streng monoton fallend und einer streng monoton steigend.
Zwei Exponentialfunktionen, die beide unterhalb der x-Achse verlaufen. Dabei ist einer streng monoton fallend und einer streng monoton steigend.

Einfluss der Parameter auf den Funktionsgraphen

Eben hast du schon gesehen, dass Exponentialfunktionen entweder über oder unter der xxx-Achse und steigend oder fallend verlaufen. Es wird also in vier Fälle unterschieden.

Die ersten beiden Fälle beschäftigen sich mit der Basis \col[2]bb\col[2]b. Die Basis gibt an, wie schnell der Graph steigt oder fällt. Dieser Parameter entscheidet also, ob ein Wachstum oder ein Zerfall vorliegt.

Die anderen beiden Fälle beschäftigen sich mit dem Streckfaktor \col[3]aa\col[3]a, der bei Wachstums- und Zerfallsfunktionen auch als Anfangswert gesehen werden kann.

Fall 1: \Large{f(x)=\col[2]b^x}f(x)=bx\Large{f(x)=\col[2]b^x} mit \Large{\col[2]b>1}b>1\Large{\col[2]b>1}

Ist \col[2]bb\col[2]b größer als 111, dann liegt eine Wachstumsfunktion vor. Sie ist streng monoton steigend. Je größer \col[2]bb\col[2]b in diesem Fall ist, desto steiler ist die Funktion.

Die Graphen von 6^x, 2,2^x und 1,5^x. Dabei verläuft 1,5^x am flachsten und 6^x am steilsten.

Das ist ja auch logisch. Bei f(x)=\col[2]{1,5}^xf(x)=1,5xf(x)=\col[2]{1,5}^x liegt schließlich eine Ver-1,5-fachung pro 111-Einheits-Intervall vor, bei f(x)=\col[2]{2,2}^xf(x)=2,2xf(x)=\col[2]{2,2}^x eine Ver-2,2-fachung und bei f(x)=\col[2]6^xf(x)=6xf(x)=\col[2]6^x eine Versechsfachung.

Fall 2: \Large{f(x)=\col[2]b^x}f(x)=bx\Large{f(x)=\col[2]b^x} mit \Large{0<\col[2]b<1}0<b<1\Large{0<\col[2]b<1}

Ist die Basis \col[2]bb\col[2]b zwischen 000 und 111, dann liegt eine Zerfallsfunktion vor. Sie ist streng monoton fallend.
Je kleiner \col[2]bb\col[2]b dabei ist, desto stärker fällt der Graph.

Die Graphen der Exponentialfunktionen 0,35^x, 0,6^x und 0,8^x. Alle verlaufen oberhalb der x-Achse und streng monoton fallend, wobei 0,35^x am stärksten fällt und 0,8^x am schwächsten fällt.

Fall 3: \Large{f(x)=\col[3]a\cdot \col[2]b^x}f(x)=abx\Large{f(x)=\col[3]a\cdot \col[2]b^x} mit \Large{\col[3]a>0}a>0\Large{\col[3]a>0}

Ist der Streckfaktor \col[3]aa\col[3]a positiv, dann kann er auch als Anfangswert einer exponentiellen Wachstums- oder Zerfallsfunktion gesehen werden.

\col[3]aa\col[3]a ist dann der yyy-Achsenabschnitt. Das ist die Stelle, an welcher der Graph die yyy-Achse schneidet.

die Graphen der Exponentialfunktionen 2*2^x, 1*2^x und 0,5*2^x. Alle verlaufen oberhalb der x-Achse. 2*2^x schneidet die y-Achse bei y=2, 1*2^x schneidet die y-Achse bei y=1 und 0,5*2^x schneidet die y-Achse bei y=0,5.

Fall 4: \Large{f(x)=\col[3]a\cdot \col[2]b^x}f(x)=abx\Large{f(x)=\col[3]a\cdot \col[2]b^x} mit \Large{\col[3]a<0}a<0\Large{\col[3]a<0}

Ist der Streckfaktor \col[3]aa\col[3]a negativ, dann wird das Monotonieverhalten umgekehrt. Es findet eine Spiegelung an der xxx-Achse statt.

Es ist also f(x)=\col[1]-\col[3]{a}\cdot\col[2]b^xf(x)=abxf(x)=\col[1]-\col[3]{a}\cdot\col[2]b^x das Spiegelbild von f(x)=\col[3]a\cdot\col[2]b^xf(x)=abxf(x)=\col[3]a\cdot\col[2]b^x.

Die Graphen der Exponentialfunktionen -2*2^x, -1*2^x und -0,5*2^x. Alle verlaufen unterhalb der x-Achse. -2*2^x schneidet die y-Achse bei y=-2, -1*2^x schneidet die y-Achse bei y=-1 und -0,5*2^x schneidet die y-Achse bei y=-0,5.

Spezialfall natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion zur Basis \ee\e.

\ee\e ist aber nichts anderes als die Kurzform einer reellen Zahl, die unendlich viele Nachkommastellen hat.

\implies \e\approx 2,718281828\ldots e2,718281828\implies \e\approx 2,718281828\ldots \boxed{f(x)=\e^x}f(x)=ex\boxed{f(x)=\e^x}

Für die natürliche Exponentialfunktion gilt:

  • Die \ee\e-Funktion wird niemals 000, sie nähert sich der xxx-Achse nur unendlich nahe an.
  • Da \e^0 =1e0=1\e^0 =1 gilt, schneidet die Funktion die yyy-Achse bei y=1y=1y=1.
Drücke die Buttons.

Verschiebung

Du kannst eine Exponentialfunktion in xxx- und in yyy-Richtung verschieben, indem du die Funktionsgleichung um zwei Parameter ergänzt.

f(x)=a\cdot b^{x+\col[5]c}+\col[6]df(x)=abx+c+df(x)=a\cdot b^{x+\col[5]c}+\col[6]d

Verschiebung in \Large{x}x\Large{x}-Richtung

Hierfür benötigst du den Paramter \col[5]cc\col[5]c.

  • Für \col[5]c>0c>0\col[5]c>0 verschiebst du den Graphen um \col[5]cc\col[5]c nach links.

  • Für \col[5]c<0c<0\col[5]c<0 verschiebst du den Graphen um \col[5]cc\col[5]c nach rechts.

Das siehst du auch in folgender Animation der natürlichen Exponentialfunktion. Das gilt aber auch für alle anderen Exponentialfunktionen.

Bewege den Slider.

Verschiebung in \Large{y}y\Large{y}-Richtung

Hierfür benötigst du den Paramter \col[6]dd\col[6]d.

  • Für \col[6]d>0d>0\col[6]d>0 verschiebst du den Graphen um \col[6]dd\col[6]d nach oben.

  • Für \col[6]d<0d<0\col[6]d<0 verschiebst du den Graphen um \col[6]dd\col[6]d nach unten.

Die Asymptote liegt immer genau bei y=\col[6]dy=dy=\col[6]d.

Bewege den Slider.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x)=\col[2]b^xf(x)=bxf(x)=\col[2]b^x ist die Logarithmusfunktion. Sie lautet im allgemeinen Fall folgendermaßen:

\boxed{ f^{-1}(x)=\log_\col[2]b(x) }\boxed{ f^{-1}(x)=\log_\col[2]b(x) }

Das sprichst du als „Logarithmus von xxx zur Basis \col[2]bb\col[2]b“.

Du gehst wie immer bei der Bildung der Umkehrfunktion in zwei Schritten vor.

\fcolorbox{white}{grey}{1}1\fcolorbox{white}{grey}{1} Auflösen der Funktion nach xxx

\fcolorbox{white}{grey}{2}2\fcolorbox{white}{grey}{2} Vertauschen von xxx und yyy

Das versuchen wir am Kaninchen-Beispiel. Wenn \col[3]{10}10\col[3]{10} Kaninchen ausgesetzt werden (Anfangswert \col[3]aa\col[3]a) und sie sich jährlich verdoppeln (Steigungsfaktor \col[2]bb\col[2]b), dann lautet die Funktionsgleichung:

f(x)=\col[3]{10}\cdot\col[2]2^x f(x)=102xf(x)=\col[3]{10}\cdot\col[2]2^x

\fcolorbox{white}{grey}{1}1\fcolorbox{white}{grey}{1} Auflösen nach xxx

\begin{aligned} y&=10\cdot 2^x\quad\qquad&&|:10\\[2mm] \frac{y}{10}&=2^x &&|\log_2(\square)\\[2mm] \log_2\left(\frac{y}{10}\right)&=\log_2(2^x)&&|\textsf{Logarithmusgesetz Potenz}\\[2mm] \log_2\left(\frac{y}{10}\right)&=x\cdot\underbrace{\log_2(2)}_{=1}\\[2mm] \log_2\left(\frac{y}{10}\right)&=x \end{aligned}y=102x:10y10=2xlog2()log2(y10)=log2(2x)LogarithmusgesetzPotenzlog2(y10)=xlog2(2)=1log2(y10)=x\begin{aligned} y&=10\cdot 2^x\quad\qquad&&|:10\\[2mm] \frac{y}{10}&=2^x &&|\log_2(\square)\\[2mm] \log_2\left(\frac{y}{10}\right)&=\log_2(2^x)&&|\textsf{Logarithmusgesetz Potenz}\\[2mm] \log_2\left(\frac{y}{10}\right)&=x\cdot\underbrace{\log_2(2)}_{=1}\\[2mm] \log_2\left(\frac{y}{10}\right)&=x \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2}2\fcolorbox{white}{grey}{2} xxx und yyy vertauschen

f^{-1}(x)=\log_2\left(\frac{x}{10}\right)f1(x)=log2(x10)f^{-1}(x)=\log_2\left(\frac{x}{10}\right)

Du benötigst du Umkehrfunktion, wenn du die Exponentialfunktion nach xxx auflösen möchtest. Das machst du beispielsweise, wenn du wissen möchtest, in welchem Jahr die Kaninchenpopulation bei 320320320 liegt.

Dafür setzt du einfach 320320320 in die Umkehrfunktion ein.

\begin{aligned} f^{-1}(320)= \log_2\left(\frac{320}{10}\right)=\lsg{5} \end{aligned}f1(320)=log2(32010)=5\begin{aligned} f^{-1}(320)= \log_2\left(\frac{320}{10}\right)=\lsg{5} \end{aligned}

Nach 555 Jahren hat sich die Kaninchen-Population auf 320320320 erhöht.

Spezialfall: Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=\e^xf(x)=exf(x)=\e^x wird als f^{-1}(x)=\ln(x)f1(x)=ln(x)f^{-1}(x)=\ln(x) geschrieben. Dieser spezielle Logarithmus \ln(x)ln(x)\ln(x) wird auch natürlicher Logarithmus genannt. Er ist nichts anderes als der Logarithmus zur Basis \ee\e, also \ln(x)=\log_\e(x)ln(x)=loge(x)\ln(x)=\log_\e(x).

Den Graph der Umkehrfunktion sämtlicher Exponentialfunktionen zeichnest du durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y=xy=xy=x.

An folgender Animation siehst du das einmal beispielhaft für die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

Drücke die Buttons.

Rechenregeln

Bei Exponentialfunktionen können dir die Potenzgesetze helfen.

Gleiche Basis

\begin{aligned} b^n\cdot b^m&=b^{n+m}\\[2mm] b^n:b^m&=b^{n-m} \end{aligned}bnbm=bn+mbn:bm=bnm\begin{aligned} b^n\cdot b^m&=b^{n+m}\\[2mm] b^n:b^m&=b^{n-m} \end{aligned}

Gleicher Exponent

\begin{aligned} a^n\cdot b^n&=(a\cdot b)^n\\[2mm] a^n:b^n&=(a:b)^n \end{aligned}anbn=(ab)nan:bn=(a:b)n\begin{aligned} a^n\cdot b^n&=(a\cdot b)^n\\[2mm] a^n:b^n&=(a:b)^n \end{aligned}

Weitere

\begin{aligned} (b^{n})^m&=b^{n\cdot m}\\[2mm] b^{-n}&=\frac{1}{b^n}\\[2mm] b^0&=1 \end{aligned}(bn)m=bnmbn=1bnb0=1\begin{aligned} (b^{n})^m&=b^{n\cdot m}\\[2mm] b^{-n}&=\frac{1}{b^n}\\[2mm] b^0&=1 \end{aligned}

Beispiel Exponentialfunktion

Aufgabe

Eine Bakterienkultur besteht anfangs aus 505050 Bakterien. Jede Stunde nimmt die Anzahl der Bakterien um 70~\%70%70~\% zu.

a) Stelle die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit ttt als Funktion dar.

b) Zeichne den zugehörigen Funktionsgraphen für die ersten 555 Stunden. Wähle eine geeignete Skalierung.

c) Bestimme die Anzahl der Bakterien nach 101010 Stunden.

d) Nach wie vielen Stunden besteht die Bakterienkultur aus mehr als 500.000500.000500.000 Bakterien?

Lösung

a) Funktionsgleichung

Du weißt, dass

  • es anfangs 505050 Bakterien waren. \rarr\rarr \col[3]a=\col[3]{50}a=50\col[3]a=\col[3]{50}

  • die Bakterienkultur stündlich um 70~\%70%70~\% zunimmt. Sie ver-1,7-facht sich also. \rarr\rarr \col[2]b=\col[2]{1,7}b=1,7\col[2]b=\col[2]{1,7}

Das setzt du in die allgemeine Funktionsgleichung f(x)=\col[3]a\cdot\col[2]b^xf(x)=abxf(x)=\col[3]a\cdot\col[2]b^x ein. Dein xxx ist jetzt ein ttt, weil du die Funktion in Abhängigkeit von der Zeit ttt angeben sollst.

\implies f(t)=\col[3]{50}\cdot\col[2]{1,7}^tf(t)=501,7t\implies f(t)=\col[3]{50}\cdot\col[2]{1,7}^t

b) Funktionsgraph

Am besten erstellst du dir zuerst eine Wertetabelle. Anschließend wählst du die richtige Einteilung, überträgst die Punkte in das Koordinatensystem und verbindest sie zu einem Funktionsgraphen.

ttt
f(t)=50\cdot1,7^tf(t)=501,7tf(t)=50\cdot1,7^t
000
505050
111
858585
222
144,5144,5144,5
333
245,65245,65245,65
444
417,61417,61417,61
555
709,93709,93709,93
Funktionsgraph der Funktion f(t)=50*1,7^t

c) Anzahl der Bakterien nach 101010 Stunden

Du setzt t=10t=10t=10 in die Funktionsgleichung f(t)=50\cdot1,7^tf(t)=501,7tf(t)=50\cdot1,7^t ein.

f(10)=50\cdot1,7^{10}\approx10.080\textsf{ Bakterien}f(10)=501,71010.080Bakterienf(10)=50\cdot1,7^{10}\approx10.080\textsf{ Bakterien}

Nach 101010 Stunden besteht die Bakterienkultur aus 10.08010.08010.080 Bakterien.

d) Mehr als 500.000500.000500.000 Bakterien

Hierfür benötigst du die Umkehrfunktion, da du f(t)=500.000f(t)=500.000f(t)=500.000 nach ttt auflösen musst.

  1. Nach ttt auflösen
\begin{aligned} y&=50\cdot1,7^t\qquad&&|:50\\[2mm] \frac{y}{50}&=1,7^t&&|\log_{1,7}(\square)\\[2mm] \log_{1,7}\left(\frac{y}{50}\right)&=t \end{aligned}y=501,7t:50y50=1,7tlog1,7()log1,7(y50)=t\begin{aligned} y&=50\cdot1,7^t\qquad&&|:50\\[2mm] \frac{y}{50}&=1,7^t&&|\log_{1,7}(\square)\\[2mm] \log_{1,7}\left(\frac{y}{50}\right)&=t \end{aligned}
  1. xxx und yyy tauschen
f^{-1}(t)= \log_{1,7}\left(\frac{t}{50}\right)f1(t)=log1,7(t50)f^{-1}(t)= \log_{1,7}\left(\frac{t}{50}\right)

Jetzt setzt du einfach 500.000500.000500.000 in die Umkehrfunktion ein.

f^{-1}(500.000)= \log_{1,7}\left(\frac{500.000}{50}\right)\approx\lsg{17,36}f1(500.000)=log1,7(500.00050)17,36f^{-1}(500.000)= \log_{1,7}\left(\frac{500.000}{50}\right)\approx\lsg{17,36}

Nach etwa 17,3617,3617,36 Stunden besteht die Bakterienkultur aus mehr als 500.000500.000500.000 Bakterien.

Zusammenfassung

Funktionsgleichung

f(x)=a\cdot b^xf(x)=abxf(x)=a\cdot b^x

Funktionsgraph

streng monoton fallend oder streng monoton steigend

Definitionsbereich

\mathbb{D}=\RD=R\mathbb{D}=\R

Wertebereich

  • \R^+R+\R^+ falls \col[3]a>0a>0\col[3]a>0
  • \R^-R\R^- falls \col[3]a<0a<0\col[3]a<0

Parameter

Unterscheidung in vier Fälle:

  • \col[2]b>1b>1\col[2]b>1 (Wachstumsfunktion)
  • 0<\col[2]b<10<b<10<\col[2]b<1 (Zerfallsfunktion)
  • \col[3]a>0a>0\col[3]a>0 (Anfangswert einer Wachstums- oder Zerfallsfunktion)
  • \col[3]a<0a<0\col[3]a<0 (Spiegelung an der xxx-Achse)

Verschiebung

  • In xxx-Richtung: f(x)=a\cdot b^{x+\col[5]c}f(x)=abx+cf(x)=a\cdot b^{x+\col[5]c}
  • In yyy-Richtung: f(x)=a\cdot b^x+\col[6]df(x)=abx+df(x)=a\cdot b^x+\col[6]d

Umkehrfunktion

f^{-1}(x)=\log_\col[2]b(x)f^{-1}(x)=\log_\col[2]b(x)

natürliche Exponentialfunktion

Spezialfall der Exponentialfunktion zur Basis \ee\e.

f(x)=\e^xf(x)=exf(x)=\e^x

Die Exponentialfunktion nutzt du in der Praxis vor allem für die Darstellung von Wachstums- und Zerfallsprozessen.

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