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Gebrochenrationale Funktionen Grundlagen

Gebrochenrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil deines Abiturs und auch in Physik und Chemie werden gebrochenrationale Funktionen oft genutzt, um Versuche darzustellen.

Doch was genau sagt die Funktionsgleichung über den Graphen aus? Was ist eine Polstelle und wie kannst du eine gebrochenrationale Funktion zeichnen?

Mit simpleclub wirst du die grundlegenden Konzepte und Anwendungen von gebrochenenrationalen Funktionen verstehen, sodass du gut vorbereitet in den Mathematikunterricht gehen kannst.

Gebrochenrationale Funktionen einfach erklärt

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, die aus einem Bruch besteht und sowohl im Nenner als auch im Zähler ein Polynom stehen hat. Ein Polynom ist nichts anderes als eine ganzrationale Funktion.

Eine gebrochenrationale Funktion hat also die Form

f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}

f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}

wobei p(x) $p(x)$ und q(x) $q(x)$ Polynome sind. Ein Beispiel für eine gebrochene rationale Funktion ist

f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 1}

f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 1}

In diesem Beispiel ist p(x) = x^2 + 3x + 2 $p(x) = x^2 + 3x + 2$ und q(x) = x - 1 $q(x) = x - 1$ .

Funktionsgraph der gebrochen rationalen Funktion f(x).

Gebrochenerationale Funktionen haben oft asymptotische Verläufe. Das heißt, dass sie sich in bestimmten Bereichen unendlich annähern, ohne jemals den Wert zu erreichen. Man kann diese Verläufe an den Stellen erkennen, an denen der Bruch unendlich wird, zum Beispiel wenn der Nenner der Funktion (also q(x) ) $q(x) )$ den Wert 0 $0$ annimmt.

Funktionsgleichung gebrochenrationale Funktion

Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen, die einen Bruch enthalten. Sowohl im Zähler als auch im Nenner des Bruchs steht ein Polynom.

\begin{aligned} f(x)&=\frac{p(x)}{q(x)}\\[3mm] f(x)&=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0} \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&=\frac{p(x)}{q(x)}\\[3mm] f(x)&=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0} \end{aligned}

Echt und unecht gebrochenrationale Funktionen

Bei den Brüchen kennst du bereits echte und unechte Brüche. Bei gebrochenrationalen Funktionen ist das genauso. Hier musst du immer nur den Grad der Funktion im Zähler (auch: Zählergrad) und den Grad der Funktion im Nenner (auch: Nennergrad) betrachten.

Echt gebrochenrationale Funktion

Hier ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad.

Beispiel:

f(x) = \frac{\overbrace{3x^\col[1]{2} - 2x + 1}^{\textsf{Grad } \col[1]2} }{\underbrace{x^\col[2]{3} + 1}_{\textsf{Grad } \col[2]3}} \implies \col[1]2<\col[2]3\implies \textsf{Echt}

f(x) = \frac{\overbrace{3x^\col[1]{2} - 2x + 1}^{\textsf{Grad } \col[1]2} }{\underbrace{x^\col[2]{3} + 1}_{\textsf{Grad } \col[2]3}} \implies \col[1]2<\col[2]3\implies \textsf{Echt}

Unecht gebrochenrationale Funktion

Hier ist der Zählergrad größer oder gleich wie der Nennergrad.

Beispiel:

g(x) = \frac{\overbrace{x^\col[1]{3} - 2x^2 + x + 11}^{\textsf{Grad } \col[1]3} }{\underbrace{x^\col[2]{2} - 1}_{\textsf{Grad } \col[2]2}} \implies \col[1]3 \geq\col[2]2\implies \textsf{Unecht}

g(x) = \frac{\overbrace{x^\col[1]{3} - 2x^2 + x + 11}^{\textsf{Grad } \col[1]3} }{\underbrace{x^\col[2]{2} - 1}_{\textsf{Grad } \col[2]2}} \implies \col[1]3 \geq\col[2]2\implies \textsf{Unecht}

Eigenschaften von gebrochenrationalen Funktionen

Definitionsbereich gebrochenrationaler Funktionen

Der Definitionsbereich einer Funktion gibt an, für welche Werte von x $x$ die Funktion definiert ist und für welche Werte nicht.

Der Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion ist in der Regel durch die reellen Zahlen beschrieben (\mathbb{D}=\R $\mathbb{D}=\R$ ).

Bei den gebrochenrationalen Funktionen musst du allerdings aufpassen, denn in der Mathematik ist es nie erlaubt durch die 0 $0$ zu teilen.

f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}

f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}

Alle Werte von x $x$ , für die gilt q(x)=0 $q(x)=0$ wird, dürfen wir also nicht in die Funktion f(x) $f(x)$ einsetzen.

Die x $x$ -Werte, für die q(x)=0 $q(x)=0$ ist, nennen wir Definitionslücken.

Beispiel: Die Funktion

f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}

f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}

hat den Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer x = 1 \implies(\mathbb{D}= \R \backslash \{1\}) $x = 1 \implies(\mathbb{D}= \R \backslash \{1\})$ , da der Nenner (x - 1) $(x - 1)$ für x=1 $x=1$ den Wert 0 $0$ annehmen würde.

Die Definitionslücke für die Funktion f(x).

Den Definitionsbereich einer gebrochenrationalen Funktion bestimmst du in zwei Schritten:

Nullstellen x_1,...,x_n $x_1,...,x_n$ des Nenners bestimmen.
Definitionslücken (Nullstellen des Nenners) aus dem Definitionsbereich ausschließen.

\mathbb{D}= \R \backslash \{x_1,...,x_n\}

\mathbb{D}= \R \backslash \{x_1,...,x_n\}

Wertebereich gebrochenrationaler Funktionen

Über den Wertebereich können wir noch keine allgemeingültige spezielle Aussage treffen.
Das kann von Funktion zu Funktion unterschiedlich sein und muss deshalb immer konkret anhand der jeweiligen Funktion bestimmt werden.

Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen

Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion berechnest du, indem du den Zähler der Funktion gleich 0 $0$ setzt.

f(x)=\frac{0}{q(x)}=0

f(x)=\frac{0}{q(x)}=0

Denn egal was im Nenner steht, wenn der Zähler schon 0 $0$ ist, dann ist der ganze Bruch automatisch 0 $0$ .

Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion bestimmst du auch in zwei Schritten.

p(x)=0 $p(x)=0$ (Zähler gleich 0 $0$ ) setzen.
Nach x $x$ auflösen (z.B. mit der pq-Formel oder der Mitternachtsformel).

Beispiel:

f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 1}\\

f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 1}\\

\begin{aligned} p(x)&=0\\ 0&=x^2 + 3x + 2\\ p&=3 \qquad q=2\\ &\boxed{x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}} \end{aligned}

\begin{aligned} p(x)&=0\\ 0&=x^2 + 3x + 2\\ p&=3 \qquad q=2\\ &\boxed{x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}} \end{aligned}

x_{1,2} = -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-2}

x_{1,2} = -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-2}

\begin{aligned} x_{1/2}&=-1,5\pm\sqrt{0,25}\\ x_{1/2}&=-1,5\pm 0,5\\ x_{1}&=-1\qquad x_2=-2 \end{aligned}

\begin{aligned} x_{1/2}&=-1,5\pm\sqrt{0,25}\\ x_{1/2}&=-1,5\pm 0,5\\ x_{1}&=-1\qquad x_2=-2 \end{aligned}

Die Funktion hat ihre Nullstellen bei x_1=-2 $x_1=-2$ und x_2=-1 $x_2=-1$ .

f(x) vergrößert, sodass die Nullstellen bei x=-2 und x=-1 erkennbar sind.

Polstellen gebrochenrationaler Funktionen

Die Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind die Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Das passiert, wenn der Nenner der Funktion den Wert 0 $0$ annimmt, während der Zähler ungleich 0 $0$ ist. In diesem Fall teilt die Funktion durch 0 $0$ , was mathematisch nicht erlaubt ist. Die Stellen, an denen dies passiert, sind also die Polstellen der Funktion.

Was ist aber mit den Stellen, an denen der Zähler und der Nenner gleich 0 $0$ sind?

Hebbare Definitionslücken

An diesen Stellen tauchen sogenannte hebbare Definitionslücken auf.

Wenn also der Zähler und Nenner beide für ein bestimmtes x $x$ gleich 0 $0$ werden, dann hast du dort also eine hebbare Definitionslücke. Wenn du die Funktion faktorisierst, dann kürzt sich diese hebbare Definitionslücke immer weg.

Beispiel: Die Funktion

f(x)=\frac{\col[1]{5-x}} \col[2]{10x-2x^2}

f(x)=\frac{\col[1]{5-x}} \col[2]{10x-2x^2}

Um die Definitionslücken zu finden, musst du den Nenner gleich 0 $0$ setzten.

\begin{aligned} 0&=\col[2]{10x-2x^2} \quad && \mid x \textsf{ ausklammern}\\ 0&=2x(5-x) && \mid \textsf{ Satz vom Nullprodukt}\\ \implies x_1&=\col[3]0\\ 0&=5-x_2&& \mid +x_2\\ x_2&=\col[4]5 \end{aligned}

\begin{aligned} 0&=\col[2]{10x-2x^2} \quad && \mid x \textsf{ ausklammern}\\ 0&=2x(5-x) && \mid \textsf{ Satz vom Nullprodukt}\\ \implies x_1&=\col[3]0\\ 0&=5-x_2&& \mid +x_2\\ x_2&=\col[4]5 \end{aligned}

Jetzt hast du schon die beiden Definitionslücken gefunden. Als Nächstes setzt du die beiden Lücken in den Zähler ein, um zu entscheiden, ob es sich um eine Polstelle oder um eine hebbare Definitionslücke handelt.

\begin{aligned} &\col[1]{5-x}\\ &5-\col[3]0 =5\implies 5\not=0 \end{aligned}

\begin{aligned} &\col[1]{5-x}\\ &5-\col[3]0 =5\implies 5\not=0 \end{aligned}

\implies $\implies$ Der Zähler ist für x=0 $x=0$ nicht 0 $0$ . Hier liegt also eine Polstelle vor.

\begin{aligned} &\col[1]{5-x}\\ &5-\col[4]5 =\lsg 0 \end{aligned}

\begin{aligned} &\col[1]{5-x}\\ &5-\col[4]5 =\lsg 0 \end{aligned}

\implies $\implies$ Der Zähler ist hier auch gleich 0 $0$ , deshalb liegt hier eine hebbare Definitionslücke vor.

Hebbare Definitionslücken heißen hebbar, weil du sie aufheben kannst. Wenn du den Zähler und den Nenner faktorisierst (in Linearfaktoren zerlegst), dann kannst du die Definitionslücken kürzen.

Sehen wir uns das nochmal an dem Beispiel von eben an:

Bei x =5 $x =5$ liegt bei der Funktion eine hebbare Definitionslücke vor.

\begin{aligned} f(x)&=\frac{{5-x}} {10x-2x^2}\qquad&&\mid \textsf{Faktorisieren} \\[3mm] &=\frac{{(5-x)}} {2x(5-x)}\\[3mm] &=\frac{\col[5]{\cancel{(5-x)}}} {2x \cdot \col[5]{\cancel{ (x-5)}}}&&\mid \textsf{kürzen}\\[3mm] &=\frac{1} {2x }\\ \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&=\frac{{5-x}} {10x-2x^2}\qquad&&\mid \textsf{Faktorisieren} \\[3mm] &=\frac{{(5-x)}} {2x(5-x)}\\[3mm] &=\frac{\col[5]{\cancel{(5-x)}}} {2x \cdot \col[5]{\cancel{ (x-5)}}}&&\mid \textsf{kürzen}\\[3mm] &=\frac{1} {2x }\\ \end{aligned}

Sobald du die Definitionslücken gefunden hast, kannst du also überprüfen, ob der Zähler dort auch gleich 0 $0$ ist.

Falls nein \implies $\implies$ Polstelle
Falls ja \implies $\implies$ hebbare Definitionslücke

Wenn du die hebbare Definitionslücke aus der Funktion kürzt, erhältst du eine Funktion, die an der Stelle keine Definitionslücke mehr hat.

Merke: In der ursprünglichen Funktion dürftest du die Funktion an dem Punkt x=5 $x=5$ nicht zeichnen. Dort ist sie schließlich nicht definiert. Zeichne an der Stelle deshalb einfach einen Kreis mit einer Lücke.

Ursprüngliche Funktion mit Definitionslücke — Ursprüngliche Funktion

Die gekürzte Funktion hat jetzt nur noch die Polstelle bei x=0 $x=0$ und keine andere Definitionslücken mehr.

Die Funktion f(x) mit Polstelle bei x=0 und einer aufgehobenen Definitionslücke bei x=5 (x und y Wert werden ganz normal angenommen). — Gekürzte Funktion

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Nutze den Übungstest, um zu sehen, wie gut du das Thema verstehst. Wenn du dich bereit fühlst, kannst du dich selbst testen und sehen, welche Note du bekommen würdest!

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Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Waagerechte Asymptoten

Wenn der

\boxed{\textsf{Zählergrad $ \leq $ Nennergrad}}

\boxed{\textsf{Zählergrad $ \leq $ Nennergrad}}

ist, dann besitzt die Funktion eine waagerechte Asymptote.

Zählergrad < Nennergrad \implies $\implies$ waagerechte Asymptote bei y=0 $y=0$
Zählergrad = Nennergrad \implies $\implies$ waagerechte Asymptote bei y\neq0 $y\neq0$

Falls Zählergrad \leq $\leq$ Nennergrad gilt, dann kannst du die Asymptote berechnen, indem du die x $x$ -Werte gegen unendlich laufen lässt. Das machst du mit dem Limes.

Beispiel:

f ( x ) = \frac { 4 {{x ^ { 2}}} + 3} { 2{{x ^ { 2}}} + 1}

f ( x ) = \frac { 4 {{x ^ { 2}}} + 3} { 2{{x ^ { 2}}} + 1}

Die Funktion hat den Zählergrad 2 . $2 .$ Der Nennergrad ist auch 2 $2$ .

\begin{aligned} &\lim\limits_{{ x \rightarrow \infty }} \frac { 4x ^ { 2} + 3} { 2x ^ { 2} + 1}\\[2mm] =&\lim\limits_{{ x \rightarrow \infty }} {{\frac { 4x ^ { 2} } { 2x ^ { 2} + 1}}} + {{\frac { 3} { 2x ^ { 2} + 1}}} \\[2mm] = &{{\frac { 4} { 2}}} + {{0}} \\[2mm] = &2 \end{aligned}

\begin{aligned} &\lim\limits_{{ x \rightarrow \infty }} \frac { 4x ^ { 2} + 3} { 2x ^ { 2} + 1}\\[2mm] =&\lim\limits_{{ x \rightarrow \infty }} {{\frac { 4x ^ { 2} } { 2x ^ { 2} + 1}}} + {{\frac { 3} { 2x ^ { 2} + 1}}} \\[2mm] = &{{\frac { 4} { 2}}} + {{0}} \\[2mm] = &2 \end{aligned}

Die waagerechte Asymptote verläuft also bei y=2 $y=2$ .

Schiefe Asymptoten

Wenn der

\boxed{\textsf{Zählergrad > Nennergrad}}

\boxed{\textsf{Zählergrad > Nennergrad}}

ist, dann besitzt die Funktion eine schiefe Asymptote. Hier berechnest du die Asymptote durch eine Polynomdividison.

Du teilst dafür den Zähler durch den Nenner der Funktion. Nutze hier die Polynomdivision.

Beispiel:

f(x)=\frac\col[1]{{{x^{3}}}-27}\col[2]{2 {{x^{2}}}}

f(x)=\frac\col[1]{{{x^{3}}}-27}\col[2]{2 {{x^{2}}}}

Die Funktion hat den Zählergrad 3. $3.$ Der Nennergrad ist 2 $2$ .

\begin{aligned} & ~~~~~ \col[1]{x ^ 3 -27}:(\col[2]{2x ^ 2})=\underbrace{\col[6]{\frac 12x}} _\textsf{Asymptote}+\underbrace{\frac{-27}{2x^2}} _\textsf{Restterm}\\ &\ -\underline{(x^3 +0)} \\[2mm] & ~~~~~\ \ 0 -27 \\ \end{aligned}

\begin{aligned} & ~~~~~ \col[1]{x ^ 3 -27}:(\col[2]{2x ^ 2})=\underbrace{\col[6]{\frac 12x}} _\textsf{Asymptote}+\underbrace{\frac{-27}{2x^2}} _\textsf{Restterm}\\ &\ -\underline{(x^3 +0)} \\[2mm] & ~~~~~\ \ 0 -27 \\ \end{aligned}

Der Nennergrad des Resttermns ist größer als der Zählergrad. Damit wird der Restterm für sehr große x $x$ -Werte immer kleiner und nähert sich der 0 $0$ an. Der Graph der gebrochenrationalen Funktion schmiegt sich also dem Graphen der Asymptote y =\col[6]{\frac 1 2x } $y =\col[6]{\frac 1 2x }$ an.

Um eine gebrochenrationale Funktion zu zeichnen, kannst du folgendermaßen vorgehen:

Bestimme den Definitionsbereich der Funktion.
Finde die Nullstellen der Funktion.
Bestimme die Art der Definitionslücken. Rechts und links der Polstelle steigen die y $y$ - Werte in Richtung \pm \infty $\pm \infty$ . Sollst du aber die ursprüngliche Funktion mit Definitionslücke zeichnen, dann markierst du die hebbare Definitionslücke durch einen Kreis an dem x $x$ -Wert (siehe Beispiel oben).
Bestimme die Asymptote.
Zeichne zuerst die Asymptoten in das Koordinatensystem ein und zeichne dann die Funktion unter Berücksichtigung aller Erkenntnisse. Achte darauf, dass du alle wichtigen Stellen, wie Nullstellen und Polstellen, korrekt einzeichnest.

Beispiele gebrochenrationale Funktionen

Bekannte gebrochenrationale Funktionen

Die Funktion f(x) = \frac 1x $f(x) = \frac 1x$ ist eine gebrochenerationale Funktion, da sie als ein Bruch von Polynomen dargestellt wird.
Sie ist die wahrscheinlich bekannteste gebrochen rationale Funktion.

Sie hat die Definitionsmenge alle reellen Zahlen außer x = 0 \implies \mathbb{D}=\R \backslash \{0 \} $x = 0 \implies \mathbb{D}=\R \backslash \{0 \}$ , da der Nenner für x=0 $x=0$ den Wert 0 $0$ annehmen würde.

Die Funktion f(x) = \frac 1x $f(x) = \frac 1x$ hat eine waagerechte Asymptote bei y = 0 $y = 0$ . Das heißt, dass sie sich dieser Geraden sowohl für \lim\limits_{{ x \rightarrow \infty }} $\lim\limits_{{ x \rightarrow \infty }}$ als auch für \lim\limits_{{ x \rightarrow -\infty }} $\lim\limits_{{ x \rightarrow -\infty }}$ annähert, ohne sie jemals zu berühren.

Übungsaufgabe zu gebrochenrationalen Funktionen

Aufgabe

Die Funktion lautet

f(x)= \frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 - 2x - 15}

f(x)= \frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 - 2x - 15}

Berechne die Definitionslücken der Funktion.
Bestimme die Nullstellen der Funktion.
Bestimme die Art der Definitionslücke. Falls hebbare Definitionslücken vorliegen, kürze sie aus der Funktionsgleichung raus und gib die Funktion ohne die hebbaren Definitionslücken an.
Bestimme die Asymptoten der Funktion.
Zeichne den Graphen der Funktion in einem Koordinatensystem. Verwende dazu die gegebenen Informationen und gegebenenfalls einen Taschenrechner, um die Funktionswerte für verschiedene x $x$ -Werte zu berechnen.

Lösung

Um den Definitionsbereich der Funktion zu bestimmen, musst du den Nenner gleich 0 $0$ setzen.

\begin{aligned} &0=x^2 - 2x - 15\\ &p=-2 \qquad q=-15\\ &\boxed{x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}} \end{aligned}

\begin{aligned} &0=x^2 - 2x - 15\\ &p=-2 \qquad q=-15\\ &\boxed{x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}} \end{aligned}

x_{1,2} = -\dfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-15)}

x_{1,2} = -\dfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-15)}

\begin{aligned} x_{1/2}&=1\pm \sqrt{1+15}\\ x_{1/2}&=1\pm \sqrt{16}\\ x_{1/2}&=1\pm 4\\ x_1&=5 \qquad x_2= -3 \end{aligned}

\begin{aligned} x_{1/2}&=1\pm \sqrt{1+15}\\ x_{1/2}&=1\pm \sqrt{16}\\ x_{1/2}&=1\pm 4\\ x_1&=5 \qquad x_2= -3 \end{aligned}

An den Stellen x=5 $x=5$ und x=-3 $x=-3$ wird der Nenner der Funktion 0 $0$ , deshalb dürfen die beiden x $x$ -Werte nicht in f(x) $f(x)$ eingesetzt werden. Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen ohne 5 $5$ und -3 $-3$ . \implies \mathbb{D= \R \backslash}\{-3,5\} \ $\implies \mathbb{D= \R \backslash}\{-3,5\} \$

Um die Nullstellen zu berechnen, setze den Zähler des Bruchs gleich 0 $0$ .

\begin{aligned} &0= x^2-3x-10\\ &p=-3 \qquad q=-10\\ &\boxed{x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}} \end{aligned}

\begin{aligned} &0= x^2-3x-10\\ &p=-3 \qquad q=-10\\ &\boxed{x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}} \end{aligned}

x_{1,2} = -\dfrac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-(-10)}

x_{1,2} = -\dfrac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-(-10)}

\begin{aligned} x_{1/2}&=1,5\pm \sqrt{2,25+10}\\ x_{1/2}&=1,5\pm 3,5\\ x_1&= 5 \qquad x_2 =-2 \end{aligned}

\begin{aligned} x_{1/2}&=1,5\pm \sqrt{2,25+10}\\ x_{1/2}&=1,5\pm 3,5\\ x_1&= 5 \qquad x_2 =-2 \end{aligned}

Die Nullstellen der Funktion liegen bei 5 $5$ und -2 $-2$ .

Polstelle vs. hebbare Definitionslücke

Wenn an den Definitionslücken der Funktion der Zähler \not= 0 $\not= 0$ ist \implies $\implies$ Polstelle
Wenn an den Definitionslücken der Funktion der Zähler = 0 $= 0$ ist \implies $\implies$ hebbare Definitionslücke

Nullstellen des Nenners	Nullstellen des Zählers	Übereinstimmung?
x=5 $x=5$	x=5 $x=5$	Ja \implies $\implies$ hebbare Definitionslücke
x=-3 $x=-3$	x=-2 $x=-2$	Nein \implies $\implies$ Polstelle

Wir haben also eine Polstelle bei x= -3 $x= -3$ und eine hebbare Definitionslücke bei x =5 $x =5$ .

Jetzt kannst du noch die Funktion in Linearfaktoren schreiben und einfach die hebbare Definitionslücke kürzen. Schon hast du die neue Funktion, die als Definitionslücke nur noch die Polstelle hat.

\begin{aligned} f(x)&= \frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 - 2x - 15}\quad &&\mid \textsf{Faktorisieren} \\[3mm] &= \frac{(x-5)\cdot(x+2)}{(x-5)\cdot(x+3)}\\[3mm] &= \frac{\col[5]{\cancel{(x-5)}}\cdot(x+2)}{\col[5]{\cancel{(x-5)}}\cdot(x+3)}\\[3mm] &= \frac{x+2}{x+3} \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&= \frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 - 2x - 15}\quad &&\mid \textsf{Faktorisieren} \\[3mm] &= \frac{(x-5)\cdot(x+2)}{(x-5)\cdot(x+3)}\\[3mm] &= \frac{\col[5]{\cancel{(x-5)}}\cdot(x+2)}{\col[5]{\cancel{(x-5)}}\cdot(x+3)}\\[3mm] &= \frac{x+2}{x+3} \end{aligned}

Asymptote bestimmen

\boxed{\textsf{Zählergrad} \leq \textsf{ Nennergrad} } $\boxed{\textsf{Zählergrad} \leq \textsf{ Nennergrad} }$

\implies $\implies$ waagerechte Asymptote

Jetzt musst du einfach die x $x$ -Werte mit dem Limes gegen unendlich laufen lassen.

Hier kannst du direkt mit der neuen Funktionsgleichung weiter rechnen.

\begin{aligned} &\lim\limits_{{ x \rightarrow \infty }} \frac { x+2} { x+3}\\[2mm] =&\lim\limits_{{ x \rightarrow \infty }} {{\frac { x } { x +3}}} &&+{{\frac { 2} { x +3}}}\\[2mm] = &1 + 0 \\[2mm] = &1 \end{aligned}

\begin{aligned} &\lim\limits_{{ x \rightarrow \infty }} \frac { x+2} { x+3}\\[2mm] =&\lim\limits_{{ x \rightarrow \infty }} {{\frac { x } { x +3}}} &&+{{\frac { 2} { x +3}}}\\[2mm] = &1 + 0 \\[2mm] = &1 \end{aligned}

Die waagerechte Asymptote verläuft bei y=1 $y=1$ .

Den Funktionsgraphen f(x)= \frac {x+3}{x+2} $f(x)= \frac {x+3}{x+2}$ zeichnen

Zeichne den Graphen der Funktion in einem Koordinatensystem. Verwende dazu die zuvor bestimmten Informationen:

Polstelle bei x=-3 \implies $x=-3 \implies$ Zeichne am besten bei x=-3 $x=-3$ eine gestrichelte Linie, die der Graph nicht berühren darf.
Nullstelle bei x=-2 \implies $x=-2 \implies$ Punkt N (2 \mid 0) $N (2 \mid 0)$ eintragen, durch den die Funktion verläuft.
Asymptote bei y =1 \implies $y =1 \implies$ Gerade bei y=1 $y=1$ einzeichnen.
Einige Punkte in die Funktionsgleichung einsetzen und berechnen. \implies $\implies$ Die Punkte zu einem Graphen verbinden.

Merke: Die Nullstelle bei x= 5 $x= 5$ hebt sich mit der hebbaren Definitionslücke auf. Hier musst du erst mal nichts in das Koordinatensystem eintragen.

Um den Graphen der Funktion zu zeichnen, kannst du beispielsweise einen Taschenrechner benutzen, um verschiedene x $x$ -Werte zu berechnen. Du kannst allerdings auch mit den gegebenen Informationen den groben Verlauf ganz gut skizzieren.

Schritte

Zusammenfassung gebrochenrationale Funktion

Funktionsgleichung	f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ p(x) $p(x)$ und q(x) $q(x)$ sind Polynome
Echt gebrochenrationale Funktionen	\boxed{\textsf{Zählergrad $ < $ Nennergrad}} $\boxed{\textsf{Zählergrad $ < $ Nennergrad}}$
Unecht gebrochenrationale Funktion	\boxed{\textsf{Zählergrad $ \geq $ Nennergrad}} $\boxed{\textsf{Zählergrad $ \geq $ Nennergrad}}$
Definitionsbereich	\mathbb{D} = \R \backslash \{ \textsf{Definitionslücken}\} $\mathbb{D} = \R \backslash \{ \textsf{Definitionslücken}\}$
Defintionslücken	Nullstellen des Nenners
Nullstellen	Nullstellen des Zählers
Polstellen	Tauchen auf, wenn für einen x $x$ -Wert der Zähler =0 $=0$ und der Nenner \not= 0 $\not= 0$ ist.
Hebbare Definitionslücken	Tauchen auf, wenn für einen x $x$ -Wert der Zähler und der Nenner = 0 $= 0$ sind.
Waagerechte Asymptote	\boxed{\textsf{Zählergrad $ \leq $ Nennergrad}} $\boxed{\textsf{Zählergrad $ \leq $ Nennergrad}}$
Schiefe Asymptote	\boxed{\textsf{Zählergrad > Nennergrad}} $\boxed{\textsf{Zählergrad > Nennergrad}}$

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Gebrochenrationale Funktionen einfach erklärt

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