Ergebnis, Ereignis & Ergebnisraum

Ergebnis, Ereignis und Ergebnisraum. Diese Begriffe begegnen dir in der Stochastik eigentlich fast immer.

Doch die Begriffe sind alle sehr ähnlich. Wie hängen sie zusammen? Wie sind sie voneinander abzugrenzen? Und was bedeuten die Begriffe überhaupt?

simpleclub erklärt dir alles, was du zu den drei Begriffen wissen musst.

Ergebnis, Ereignis & Ergebnisraum einfach erklärt

Am einfachsten sind die drei Begriffe direkt mit einem Beispiel erklärt. Das einmalige Werfen eines handelsüblichen Würfels ist ein prototypisches Zufallsexperiment.

Der Würfel hat 666 Seiten mit der jeweiligen Zahl darauf.

Jede einzelne Zahl für sich genommen ist ein Ergebnis des Zufallsexperiments einmaliges Würfeln.

Alle Ergebnisse zusammen werden im Ergebnisraum \OmegaΩ\Omega festgehalten. In diesem befinden sich also alle Ergebnisse.

\implies \Omega =\{1;2;3;4;5;6\}Ω={1;2;3;4;5;6}\implies \Omega =\{1;2;3;4;5;6\}

Ein Ereignis ist eine Menge, die sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzt.

Zum Beispiel gibt es beim einmaligen Werfen das Ereignis GGG: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt .

In diesem Ereignis sind dann alle Ergebnisse beinhaltet, die diese Aussage erfüllen.

\implies G =\{2;4;6\}G={2;4;6}\implies G =\{2;4;6\}

Definition Ergebnis, Ereignis & Ergebnisraum

Ergebnis Definition

Als Ergebnis eines Zufallsexperiments bezeichnet man jeden einzelnen Ausgang, der bei Durchführung des Zufallsexperiments eintreten kann.

Ereignis Definition

Ein Ereignis kann sich aus beliebig vielen Ergebnissen zusammensetzen. Ein Ereignis wird als Menge dieser Ergebnisse angegeben.

Ergebnisraum Definition

Im Ergebnisraum sind alle Ergebnisse des Zufallsexperiments beinhaltet.

Der Ergebnisraum wird meist mit \OmegaΩ\Omega bezeichnet und mit geschweiften Klammern {} angegeben.

\implies \Omega = \{...\}Ω={...}\implies \Omega = \{...\}

Innerhalb der geschweiften Klammern stehen alle Ergebnisse.


Ergebnis, Ereignis & Ergebnisraum erklärt

Ergebnis

Willst du die Ergebnisse eines Zufallsexperiments bestimmen, dann musst du dir immer überlegen, was bei dem Zufallsexperiment rauskommen kann. Darum wird ein Ergebnis auch oft als Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet.

Häufig wird zusätzlich auch der Begriff des Elementarereignisses für ein Ergebnis verwendet. Klar, denn ein einzelnes Ergebnis ist ja auch ein Ereignis, das eintreten kann.

Die Zahl 222 zum Beispiel ist ein Ergebnis des Zufallsexperiments. Du kannst es aber auch so sehen, dass das Ereignis: Es wird eine 222 geworfen, eintritt. Somit stellt jedes Ergebnis also im Grunde auch für sich genommen ein Ereignis dar. Somit könntest du die einzelnen Ergebnisse auch als Menge schreiben.

Beim einmaligen Würfeln also zum Beispiel:

\text{Alle Ergebnisse:\ }\{1\}\{2\}\{3\}\{4\}\{5\}\{6\}Alle Ergebnisse: {1}{2}{3}{4}{5}{6}\text{Alle Ergebnisse:\ }\{1\}\{2\}\{3\}\{4\}\{5\}\{6\}

Meist werden die Mengenklammern allerdings weggelassen und du schreibst einfach nur die Ergebnisse durch Strichpunkte abgetrennt auf:

\text{Alle Ergebnisse}: 1;2;3;4;5;6Alle Ergebnisse:1;2;3;4;5;6\text{Alle Ergebnisse}: 1;2;3;4;5;6

Ergebnis bei zusammengesetzten Zufallsexperimenten

Bei zusammengesetzten Zufallsexperimenten musst du aufpassen, dass ein Ergebnis immer auf das ganze Zufallsexperiment definiert ist.

Liegt zum Beispiel das mehrstufige Zufallsexperiment zweimaliges Werfen einer Münze vor, dann gibt es folgende Ergebnisse.

  • KK: Kopf und Kopf
  • ZZ: Zahl und Zahl
  • KZ: Kopf und Zahl
  • ZK: Zahl und Kopf

Die Ergebnisse beinhalten also beide Würfe. Für dieses Zufallsexperiment ist einfach nur Zahl zum Beispiel kein Ergebnis, da das mehrstufige Zufallsexperiment als Ganzes betrachtet werden muss.

Ergebnisraum

Den Ergebnisraum kannst du dir so vorstellen, dass hier alle Ergebnisse beinhaltet sind. Es werden einfach alle Ausgänge des Experiments in eine große Menge gepackt.

Den Ergebnisraum gibst du immer mit einem großen \OmegaΩ\Omega an.

Der Ergebnisraum des oben beschriebenen Zufallsexperiments des zweimaligen Werfens einer Münze ist zum Beispiel:

\Omega = \{KK; ZZ; KZ; ZK\}Ω={KK;ZZ;KZ;ZK}\Omega = \{KK; ZZ; KZ; ZK\}

Ereignis

In einem Ereignis kannst du eigentlich jede beliebige Kombination an Ergebnissen zusammenfassen. Meistens wird mithilfe von Ereignissen untersucht, ob Ergebnisse eine bestimmte Eigenschaft erfüllen.

Beim einmaligen Werfen eines Würfels kannst du schon allerhand Ereignisse untersuchen. Im Folgenden werden ein paar gezeigt.

  • GGG: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt.
\implies G = \{2;4;6\}G={2;4;6}\implies G = \{2;4;6\}
  • UUU : Es wird eine ungerade Zahl gewürfelt.
\implies U=\{1;3;5\}U={1;3;5}\implies U=\{1;3;5\}
  • AAA : Es wird eine 555 oder eine 666 gewürfelt.
\implies A=\{5;6\}A={5;6}\implies A=\{5;6\}
  • BBB : Es wird keine 111 gewürfelt.
\implies B =\{2;3;4;5;6\}B={2;3;4;5;6}\implies B =\{2;3;4;5;6\}

Gegenereignis

Zu jedem Ereignis gibt es immer ein Gegenereignis. Das ist im Prinzip genau das Gegenteil vom Ereignis.

Zum Beispiel ist das Gegenereignis zu dem oben beschriebenen Ereignis GGG: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt G = \{2;4;6\}G={2;4;6}G = \{2;4;6\} das Ereignis U =\{1;3;5\}U={1;3;5}U =\{1;3;5\}. Das Gegenereignis kannst du immer mit einem Strich über dem Ereignis ausdrücken, zum Beispiel \overline GG\overline G . \overline GG\overline G stellt also das gleiche wie UUU dar und bedeutet Es wird keine gerade Zahl geworfen. Es gilt also:

\begin{aligned} G&=\{2;4;6\} \\[3mm] \overline G&=\{1;3;5\}=U \end{aligned}G={2;4;6}G={1;3;5}=U\begin{aligned} G&=\{2;4;6\} \\[3mm] \overline G&=\{1;3;5\}=U \end{aligned}

Das Gegenereignis zu BBB: Es wird keine 111 gewürfelt ist zum Beispiel \overline B :B:\overline B : Es wird eine 111 gewürfelt .

Also:

\begin{aligned} B &=\{2;3;4;5;6\} \\[3mm] \overline B &=\{1\} \end{aligned}B={2;3;4;5;6}B={1}\begin{aligned} B &=\{2;3;4;5;6\} \\[3mm] \overline B &=\{1\} \end{aligned}

Insgesamt gilt für ein Ereignis und dessen Gegenereignis:

B+ \overline B=\OmegaB+B=ΩB+ \overline B=\Omega

Beispiele Ergebnis, Ereignis & Ergebnisraum

Urne

In einer Urne befinden sich 303030 Kugeln, von denen 151515 rot, 101010 blau und 555 gelb sind. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen.

Bestimme alle möglichen Ergebnisse, das Ereignis ZZZ : Es wird zweimal die gleiche Farbe gezogen und den Ergebnisraum.

Lösung

Die Ergebnisse sind alle Kombinationsmöglichkeiten aus den zwei Farben. Dabei stehen die Anfangsbuchstaben für die jeweilige Farbe.

\col[1]{G}\col[1]{G};\col[2]{B}\col[2]{B};\col[3]{R}\col[3]{R};\col[1]{G}\col[2]{B};\col[1]{G}\col[3]{R};\col[2]{B}\col[3]{R}GG;BB;RR;GB;GR;BR\col[1]{G}\col[1]{G};\col[2]{B}\col[2]{B};\col[3]{R}\col[3]{R};\col[1]{G}\col[2]{B};\col[1]{G}\col[3]{R};\col[2]{B}\col[3]{R}

Der Ergebnisraum ist die Menge all dieser Ergebnisse.

\Omega =\{\col[1]{G}\col[1]{G};\col[2]{B}\col[2]{B};\col[3]{R}\col[3]{R};\col[1]{G}\col[2]{B};\col[1]{G}\col[3]{R};\col[2]{B}\col[3]{R}\}Ω={GG;BB;RR;GB;GR;BR}\Omega =\{\col[1]{G}\col[1]{G};\col[2]{B}\col[2]{B};\col[3]{R}\col[3]{R};\col[1]{G}\col[2]{B};\col[1]{G}\col[3]{R};\col[2]{B}\col[3]{R}\}

Das Ereignis ZZZ tritt ein, wenn zweimal die gleiche Farbe gezogen wird. Es ist also die Menge der Ergebnisse, in welchen bei beiden Ziehungen die gleiche Farbe gezogen wurde.

\implies Z=\{{\col[1]{G}\col[1]{G};\col[2]{B}\col[2]{B};\col[3]{R}\col[3]{R}}\}Z={GG;BB;RR}\implies Z=\{{\col[1]{G}\col[1]{G};\col[2]{B}\col[2]{B};\col[3]{R}\col[3]{R}}\}

Würfeln

Es kann auch mit zwei Würfeln ein Zufallsexperiment vorliegen. Bei diesem Zufallsexperiment werden die beiden Augenzahlen der Würfel zusammengezählt.

Bestimme den Ergebnisraum \OmegaΩ\Omega sowie das Ereignis TTT und \overline{T}T\overline{T} . Dabei beschreibt TTT das folgende Ereignis:

TTT: Die Augensumme ist durch drei teilbar .

Lösung

Im Ergebnisraum sind alle Ergebnisse in einer Menge aufgeschrieben. Achtung: Beim Werfen mit zwei Würfeln ist die kleinste mögliche Augensumme die Zahl 2.

\implies \Omega = \{2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\}Ω={2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}\implies \Omega = \{2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\}

Im Ereignis TTT sind alle Ergebnisse beinhaltet, die durch drei teilbar sind.

\implies T = \{3;6;9;12\}T={3;6;9;12}\implies T = \{3;6;9;12\}

Im Gegenereignis \overline TT\overline T sind alle Zahlen beinhaltet, die nicht durch drei teilbar sind. Das sind also alle Zahlen aus \OmegaΩ\Omega , die nicht in TTT enthalten sind.

\implies \overline T =\{2;4;5;7;8;10;11\}T={2;4;5;7;8;10;11}\implies \overline T =\{2;4;5;7;8;10;11\}

Insgesamt gilt:

T+\overline T=\OmegaT+T=ΩT+\overline T=\Omega

Glücksrad

Am folgenden Glücksrad wird 222 - mal gedreht und die Gewinne bzw. Verluste direkt aufaddiert.

Glücksrad mit drei Sektoren. Einmal 6€, einmal 1€ und einmal -2€ .

Bestimme den Ergebnisraum, wobei die einzelnen Ergebnisse den Gesamtbetrag der Drehungen darstellen.

Besimme außerdem das Gegenereignis von AAA : Es wird mindestens ein Gewinn von 7€77€ erzielt.

Lösung

Im Ergebnisraum befinden sich alle möglichen Ergebnisse. Für alle möglichen Ergebnisse musst du alle Kombinationsmöglichkeiten an Feldern berechnen:

\begin{aligned} -2€-2€&=-4€\\ 1€+1€&= 2 €\\ 6€+6€ &= 12 €\\ -2€+1€&=-1€\\ -2€+6€&=4€\\ 1€+6€&=7€ \end{aligned}22=41+1=26+6=122+1=12+6=41+6=7\begin{aligned} -2€-2€&=-4€\\ 1€+1€&= 2 €\\ 6€+6€ &= 12 €\\ -2€+1€&=-1€\\ -2€+6€&=4€\\ 1€+6€&=7€ \end{aligned}\implies \Omega = \{-4€;-1€;2€;4€;7€;12€\}Ω={4;1;2;4;7;12}\implies \Omega = \{-4€;-1€;2€;4€;7€;12€\}

Im Ereignis AAA : Es wird mindestens ein Gewinn von 7€77€ erzielt, befinden sich die Ergebnisse, bei welchen der Gewinn 7€77€ oder mehr beträgt.

\implies A =\{7€;12€\}A={7;12}\implies A =\{7€;12€\}

Im Gegenereignis müssen sich dann alle anderen Ergebnisse des Zufallsexperiments befinden. Das sind alle Gewinne/Verluste, die kleiner als 7€77€ sind.

\implies \overline A = \{-4€;-1€;2€;4€\}A={4;1;2;4}\implies \overline A = \{-4€;-1€;2€;4€\}

Zusammenfassung

Als Ergebnis werden alle Ausgänge eines Zufallsexperiments bezeichnet. Zum Beispiel beim Würfeln die 666 verschiedenen Zahlen.

Alle Ergebnisse werden als Menge im Ergebnisraum \OmegaΩ\Omega festgehalten.

Verschiedene Ergebnissse können zu einem Ereignis zusammengefasst werden. Dies besteht dann aus allen Ergebnissen, die dann zum Beispiel ein bestimmtes Merkmal erfüllen.

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