Rationale Zahlen Grundlagen

Die rationalen Zahlen \QQ\Q bestehen aus den ganzen Zahlen \ZZ\Z, den Brüchen und den Dezimalzahlen.


Erklärung

Nutze die Knöpfe!

Die **natürlichen Zahlen** \col[1]\NN\col[1]\N sind die kleinste Zahlenmenge, die wir kennen. Dort sind nur die positiven ganzen Zahlen enthalten.

In den **ganzen Zahlen** \col[2]\ZZ\col[2]\Z sind außerdem die 000, als auch alle negativen ganzen Zahlen enthalten.

In den **rationalen Zahlen** \col[3]\QQ\col[3]\Q kommen zu \col[2]\ZZ\col[2]\Z dann auch noch alle negativen und positiven Brüche und Dezimalzahlen hinzu.

Das \col[3]\QQ\col[3]\Q steht für Quotient (Verhältnis zwischen zwei Größen). Ein Bruch gibt auch ein Verhältnis zwischen zwei Zahlen an. Deswegen bedeuten hier Bruch und Quotient dasselbe. Daher gilt:

Alle rationalen Zahlen können auch als Brüche geschrieben werden.

Eine Zahl ist eine rationale Zahl, wenn du sie auch als Bruch von zwei ganzen Zahlen (\Z =\{...-3;-2;-1;0;1;2;3... \})(Z={...3;2;1;0;1;2;3...})(\Z =\{...-3;-2;-1;0;1;2;3... \}) schreiben kannst.

Hinweis: Im Nenner darf allerdings keine 000 stehen, da man nie durch die 000 teilen kann.

Spezialfall Dezimalzahlen

Bei den Dezimalzahlen gilt: Nur die endlichen oder periodischen Dezimalzahlen können auch als Bruch dargestellt werden. Deswegen gehören auch nur die endlichen oder periodischen Dezimalzahlen zu den rationalen Zahlen. Dezimalzahlen die unendlich sind, gehören nicht zu den rationalen Zahlen.


Beispiele

Rationale Zahlen

Beispiele für die rationalen Zahlen sind \Q=\{ ...;-4,37;-4;-3\frac{1}{4};-\frac{12}{10};0;1,20;\frac{10}{4} ; 27;...\}Q={...;4,37;4;314;1210;0;1,20;104;27;...}\Q=\{ ...;-4,37;-4;-3\frac{1}{4};-\frac{12}{10};0;1,20;\frac{10}{4} ; 27;...\}

Spezialfall Dezimalzahlen

Die Zahl 0,\overline30,30,\overline3 ist beispielsweise auch eine rationale Zahl, denn sie kann auch durch den Bruch \frac1 313\frac1 3 geschrieben werden.

Die Zahl \pi\approx3.1415929…π3.1415929\pi\approx3.1415929… zum Beispiel, kann nicht durch einen Bruch dargestellt werden, da sie unendlich viele Nachkommastellen besitzt. Die Zahl \piπ\pi gehört also nicht zu den rationalen Zahlen.

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