Parallelogramme nachweisen im Raum

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, das sich durch folgende Eigenschaften auszeichnet:

  • Gegenüberliegende Seiten sind parallel
  • Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang

Nachweis

Du hast vier Punkte in einer Ebene gegeben, die ein Parallelogramm bilden. Um das nachzuweisen, musst du nur zeigen, dass zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind.

Schritt 1: Kantenvektoren von zwei gegenüberliegenden Seiten bilden.

Die Kantenvektoren sind die Vektoren der Seiten.

Schritt 2: Prüfen, ob die Vektoren identisch oder entgegengesetzt sind.

Dabei heißt entgegengesetzt, dass wenn ein Vektor mit -1 multipliziert wird, dies den anderen Vektor ergibt.

Sind die gegenüberliegenden Kantenvektoren identisch oder entgegengesetzt, sind die Seiten parallel und gleich lang.

Trifft dies zu, handelt es sich demzufolge um ein Parallelogramm.

Besonderheit

Jedes Parallelogramm ist auch ein Trapez.


Beispiel

Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene. Weise nach, dass sie ein Parallelogramm bilden.

A~(6|3|5), B~(10|9|5), C~(7|10|5), D~(3|4|5)A(635),B(1095),C(7105),D(345)A~(6|3|5), B~(10|9|5), C~(7|10|5), D~(3|4|5)

Erste Lösungsmöglichkeit

Schritt 1: Kantenvektoren von zwei gegenüberliegenden Seiten bilden.

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 10-6 \\ 9-3 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}AB=(1069355)=(460)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 10-6 \\ 9-3 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ 10-4 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}DC=(7310455)=(460)\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ 10-4 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}

Schritt 2: Prüfen, ob die Vektoren identisch oder entgegengesetzt sind.

Die Vektoren sind identisch. Demzufolge handelt es sich beim Viereck ABCD um ein Parallelogramm.

Weitere Lösungsmöglichkeit

Schritt 1: Kantenvektoren von zwei gegenüberliegenden Seiten bilden.

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 10-6 \\ 9-3 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}AB=(1069355)=(460)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 10-6 \\ 9-3 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3-7 \\ 4-10 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}CD=(3741055)=(460)\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3-7 \\ 4-10 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}

Schritt 2: Prüfen, ob die Vektoren identisch oder entgegengesetzt sind.

Die Vektoren sind entgegengesetzt. Demzufolge handelt es sich beim Viereck ABCD um ein Parallelogramm.

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