Rationale Zahlen multiplizieren & dividieren

Rationale Zahlen laufen uns im Leben immer wieder über den Weg, z.B. bei Temperaturen. Längeneinheiten oder Geldbeträgen Deswegen ist es auch sehr wichtig zu wissen, wie du rationale Zahlen multiplizieren und dividieren kannst.

Aber wie genau können rationale Zahlen überhaupt multipliziert und dividiert werden. Was musst du dabei beachten und mit welchen einfachen Tricks kannst du dir viel Rechenarbeit sparen?

simpleclub hilft dir dabei, auch dieses Thema zu meistern.

Rationale Zahlen multiplizieren & dividieren einfach erklärt

Du kannst jede rationale Zahl als Bruch ausdrücken. Genauso kannst du aber auch einen Bruch als Dezimalzahl schreiben.

Das Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen gelingt dir am besten, wenn du die Zahlen immer in dieselbe Zahlenart umformst. Das heißt, du schreibst alle Zahlen als Bruch, Dezimalzahl oder ganze Zahl.

Wenn du eine Division mit einem Bruch und einer Dezimalzahl hast, dann kannst du hier zum Beispiel die Dezimalzahl auch als Bruch ausdrücken.

Im nächsten Schritt musst du dann nur noch die dir bereits bekannten Rechenregeln für die Zahlenarten anwenden und schon hast du die Aufgabe gelöst.

Rationale Zahlen multiplizieren & dividieren Definition

Rationale Zahlen kannst du multiplizieren und dividieren, indem du alle Zahlen der Rechnung als selbe Zahlenart schreibst. Anschließend kannst du dann mit den Multiplikations- und Divisionsregeln für Brüche, Dezimalzahlen und ganze Zahlen weiterrechnen.


Rationale Zahlen multiplizieren & dividieren Erklärung

Beim Multiplizieren nennen wir die einzelnen Zahlen der Rechnung \textsf{Faktor} \cdot \textsf{Faktor} =\textsf{Produkt}FaktorFaktor=Produkt\textsf{Faktor} \cdot \textsf{Faktor} =\textsf{Produkt}. Hier sind die Faktoren gleichwertig. Das heißt, du kannst die Reihenfolge der Faktoren ändern. Das Ergebnis bleibt das Gleiche.

Beim Dividieren nennen wir die einzelnen Zahlen der Rechnung \textsf{Dividend}: \textsf{Divisor}=\textsf{Quotient}Dividend:Divisor=Quotient\textsf{Dividend}: \textsf{Divisor}=\textsf{Quotient}. Hier macht es allerdings einen Unterschied, durch welche Zahl wir zuerst teilen. Deshalb haben der Dividend und der Divisor hier unterschiedliche Namen und Funktionen.

Vorzeichen der Ergebnisse bestimmen

Welches Vorzeichen das Ergebnis einer Multiplikation und einer Division erhält, kannst du anhand dieser einfachen Tabelle ablesen. Das +++ und -- stehen jeweils für das Vorzeichen der Zahlen, mit denen gerechnet wird.

Multiplizieren/

Dividieren

+++
--
+++

Ergebnis ist positiv

Ergebnis ist negativ

--

Ergebnis ist negativ

Ergebnis ist positiv

Multiplizieren von Dezimalzahlen

Zwei Dezimalzahlen kannst du miteinander multiplizieren, indem du zuerst die Vorzeichen und Kommas weglässt und anschließend die schriftliche Multiplikation mit ganzen Zahlen anwendest. Erst im Ergebnis setzt du dann das Komma an die richtige Stelle und entscheidest, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss.

Um das Komma richtig zu setzen, zähle die Nachkommastellen der Faktoren. Wenn du insgesamt 333 Nachkommastellen in den Faktoren hast, dann setzt du das Komma im Ergebnis also vor die dritte Zahl von rechts.

Das Vorzeichen kannst du anhand der eben aufgestellten Tabelle bestimmen.

Schiebe den Regler!

Multiplizieren von Brüchen

Zwei Brüche kannst du miteinander multiplizieren, indem du Nenner mal Nenner und Zähler mal Zähler rechnest.

\boxed{ \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}} \cdot \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 2}}} = \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}\cdot \col[1]{\textsf{Zähler 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}} \cdot \col[2]{\textsf{Nenner 2}}} }Za¨hler1Nenner1Za¨hler2Nenner2=Za¨hler1Za¨hler2Nenner1Nenner2\boxed{ \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}} \cdot \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 2}}} = \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}\cdot \col[1]{\textsf{Zähler 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}} \cdot \col[2]{\textsf{Nenner 2}}} }\begin{aligned} \frac{-41}{10}\cdot\frac{11}{5}=&\frac{-41\cdot 11}{10\cdot5}\\[2mm] =&\frac{-451}{50}\\[2mm] =&\frac{-451\col[5]{\cdot 2}}{50 \col[5]{\cdot 2}}&& \quad \mid \textsf{ mit } \col[5]{2} \textsf{ erweitern}\\[2mm] =&\frac{-902}{100}\\[2mm] =& \lsg{-9,02} \end{aligned}4110115=4111105=45150=4512502mit2erweitern=902100=9,02\begin{aligned} \frac{-41}{10}\cdot\frac{11}{5}=&\frac{-41\cdot 11}{10\cdot5}\\[2mm] =&\frac{-451}{50}\\[2mm] =&\frac{-451\col[5]{\cdot 2}}{50 \col[5]{\cdot 2}}&& \quad \mid \textsf{ mit } \col[5]{2} \textsf{ erweitern}\\[2mm] =&\frac{-902}{100}\\[2mm] =& \lsg{-9,02} \end{aligned}

Dividieren von Dezimalzahlen

Beim Dividieren lässt du zuerst wieder die Vorzeichen weg und bestimmt erst am Ende der Rechnung das Vorzeichen des Ergebnisses.

Beim schriftlichen Dividieren muss der Divisor eine ganze Zahl sein. Wenn das vorher noch nicht der Fall ist, dann musst du beim Divisor und beim Dividend das Komma um dieselbe Anzahl an Stellen verschieben, bis der Dividor eine ganze Zahl ist.

Wenn du beim Dividend und beim Divisor das Komma um dieselbe Anzahl an Stellen verschiebst, dann bleibt das Ergebnis immer gleich.

Du musst im Ergebnis ein Komma setzen,

  • wenn du im Divisor an das Komma gelangst.
  • wenn du beim schriftlichen Dividieren eine zusätzliche 000 dazu ziehen musst.
Schiebe den Regler!

Dividieren von Brüchen

Wenn du einen Bruch durch einen anderen Bruch dividieren möchtest, dann kannst du wie folgt vorgehen.

Du multiplizierst einfach den ersten Bruch mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchs. Im Kehrbruch eines Bruchs sind einfach der Nenner und Zähler des ursprünglichen Bruchs vertauscht.

\boxed{ \begin{aligned} \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}} \col[3]{:} \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 2}}} & = \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}} \col[3]{\cdot} \frac{\col[2]{\textsf{Nenner 2}}}{\col[1]{\textsf{Zähler 2}}} & = \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}} \cdot \col[2]{\textsf{Nenner 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}\cdot \col[1]{\textsf{Zähler 2}}} \end{aligned} }Za¨hler1Nenner1:Za¨hler2Nenner2=Za¨hler1Nenner1Nenner2Za¨hler2=Za¨hler1Nenner2Nenner1Za¨hler2\boxed{ \begin{aligned} \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}} \col[3]{:} \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 2}}} & = \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}} \col[3]{\cdot} \frac{\col[2]{\textsf{Nenner 2}}}{\col[1]{\textsf{Zähler 2}}} & = \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}} \cdot \col[2]{\textsf{Nenner 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}\cdot \col[1]{\textsf{Zähler 2}}} \end{aligned} }\begin{aligned} &\frac {8561}{1000}\col[1]:\frac\col[4]{7} \col[3]{10} && \quad \mid \textsf{Kehrbruch bilden} \\[2mm] =&\frac {8561}{1000}\col[1]\cdot\frac\col[3]{10} \col[4]{7}\\[2mm] =&\frac {8561\cdot 10}{1000\cdot 7}\\[2mm] =&\frac {85610: \col[5]{70}}{7000: \col[5]{70}}&& \quad \mid \textsf{mit } \col[5]{70} \textsf{ kürzen}\\[2mm] =&\frac {1223}{100}\\[2mm] =&\lsg{12,23} \end{aligned}\begin{aligned} &\frac {8561}{1000}\col[1]:\frac\col[4]{7} \col[3]{10} && \quad \mid \textsf{Kehrbruch bilden} \\[2mm] =&\frac {8561}{1000}\col[1]\cdot\frac\col[3]{10} \col[4]{7}\\[2mm] =&\frac {8561\cdot 10}{1000\cdot 7}\\[2mm] =&\frac {85610: \col[5]{70}}{7000: \col[5]{70}}&& \quad \mid \textsf{mit } \col[5]{70} \textsf{ kürzen}\\[2mm] =&\frac {1223}{100}\\[2mm] =&\lsg{12,23} \end{aligned}

Rechenregeln & Tricks beim Multiplizieren & Dividieren von rationalen Zahlen

Rechengesetze

  1. Durch das Kommutativgesetz (auch Vertauschungsgesetz) darfst du in einem Produkt die einzelnen Faktoren tauschen.
9,5\cdot12=114\\ 12\cdot9,5=1149,512=114129,5=1149,5\cdot12=114\\ 12\cdot9,5=114

Für die Division gilt das allerdings nicht!

\begin{aligned} &10:5=2\\ &5:10=0,5 \end{aligned}10:5=25:10=0,5\begin{aligned} &10:5=2\\ &5:10=0,5 \end{aligned}
  1. Das Assoziativgesetz (auch Verknüpfungsgesetz) besagt, dass du in einem Produkt beliebig Klammern setzten darst, ohne das sich das Ergebnis ändert.
\begin{aligned} 2\cdot 6\cdot4&=48\\ (2\cdot 6)\cdot4&=48 \end{aligned}264=48(26)4=48\begin{aligned} 2\cdot 6\cdot4&=48\\ (2\cdot 6)\cdot4&=48 \end{aligned}

Für die Division gilt das allerdings nicht!

\begin{aligned} 10:5:2&=1\\ 10:(5:2)&=4 \end{aligned}10:5:2=110:(5:2)=4\begin{aligned} 10:5:2&=1\\ 10:(5:2)&=4 \end{aligned}

Tricks

  1. Das Rechnen mit schriftlicher Division ist manchmal komplizierter als einfach nur die Dezimalzahlen als Brüche auszudrücken und die Brüche zu dividieren (mit dem Kehrbruch zu arbeiten).
  2. Die Rechengesetze gelten zwar nur in der Multiplikation, du kannst bei Brüchen aber durch die Anwendung des Kehrbruchs eine Division schnell zu einer Multiplikation umschreiben und dann die Rechengesetze anwenden.
  3. Übe die schriftliche Division und schriftliche Multiplikation ein paar mal, damit du dir das Vorgehen einprägst. Das kann dir eine Menge Zeit und Nerven ersparen!

Rationale Zahlen multiplizieren & dividieren Beispiele

Beispiel multiplizieren

-3,8\cdot\frac {56}{25}=~?3,85625=?-3,8\cdot\frac {56}{25}=~?

Wenn du bei einer Aufgabe eine Dezimalzahl mit einem Bruch multiplizieren möchtest, dann musst du hier immer beide Zahlen als dieselbe Zahlenart ausdrücken. Dafür kannst du also entweder beide Zahlen als Bruch oder beide Zahlen als Dezimalzahl schreiben. Wir haben dir hier beide Möglichkeiten angegeben.

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Dezimalzahlen multiplizieren

Als erstes musst du noch den Bruch in eine Dezimalzahl umformen.

\frac{56}{25}=\frac{56\cdot4}{25\cdot4}=\frac{224}{100}=2,245625=564254=224100=2,24\frac{56}{25}=\frac{56\cdot4}{25\cdot4}=\frac{224}{100}=2,24

Um zwei Dezimalzahlen miteinander zu multiplizieren, kannst du dich immer an folgende Schritte halten.

  1. Zahlen ohne Komma (schriftlich) multiplizieren.
  2. Komma zurück verschieben.
  3. Vorzeichen entsprechend setzen.
\begin{aligned} ~&\underline{~~~~~38 \cdot 224} \\ &~~~~~~~7~6 ~0 ~0 \\ &~~~~~~~~~~7 ~6 ~0 \\ ~&\underline{~~~~~~_1~_11 ~5 ~2 } \\ ~&~~~~~~~8~5 ~1 ~2 \end{aligned}382247600760111528512\begin{aligned} ~&\underline{~~~~~38 \cdot 224} \\ &~~~~~~~7~6 ~0 ~0 \\ &~~~~~~~~~~7 ~6 ~0 \\ ~&\underline{~~~~~~_1~_11 ~5 ~2 } \\ ~&~~~~~~~8~5 ~1 ~2 \end{aligned}

3,83,83,8 und 2,242,242,24 haben zusammen drei Nachkommastellen.

→ Dein Ergebnis hat also auch drei Nachkommastellen.

Du multiplizierst hier eine negative mit einer positiven Zahl.

\rarr\rarr Das Ergebnis ist negativ.

\implies \col[1]-8 \col[3]{,}5128,512\implies \col[1]-8 \col[3]{,}512

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Brüche multiplizieren

\begin{aligned} -3,8\cdot\frac {56}{25}=&\frac {-38}{100}\cdot\frac {56}{25}\\[2mm] =&\frac {-38}{100}\cdot\frac {56}{25}\\[2mm] =&\frac {-38\cdot56}{100\cdot25}\\[2mm] =&\frac {-2128}{2500}\\[2mm] =&\frac {-2128\cdot4}{1250\cdot 4}\quad&&\mid \textsf {mit }\col[5]{4}\textsf { erweitern}\\[2mm] =&\frac {-8512}{10000}\\[2mm] =&-0,8512 \end{aligned}3,85625=381005625=381005625=385610025=21282500=2128412504mit4erweitern=851210000=0,8512\begin{aligned} -3,8\cdot\frac {56}{25}=&\frac {-38}{100}\cdot\frac {56}{25}\\[2mm] =&\frac {-38}{100}\cdot\frac {56}{25}\\[2mm] =&\frac {-38\cdot56}{100\cdot25}\\[2mm] =&\frac {-2128}{2500}\\[2mm] =&\frac {-2128\cdot4}{1250\cdot 4}\quad&&\mid \textsf {mit }\col[5]{4}\textsf { erweitern}\\[2mm] =&\frac {-8512}{10000}\\[2mm] =&-0,8512 \end{aligned}

Die Ergebnisse stimmen überein. \ \col[4]{\checkmark}\ \col[4]{\checkmark}

Beispiel dividieren

0,648: \frac{9}{5} =\ ?0,648:95=?0,648: \frac{9}{5} =\ ?

Wenn du bei einer Aufgabe eine Dezimalzahl mit einem Bruch dividieren möchtest, dann musst du hier immer beide Zahlen als dieselbe Zahlenart ausdrücken. Dafür kannst du also entweder beide Zahlen als Bruch oder beide Zahlen als Dezimalzahl schreiben. Wir haben dir hier beide Möglichkeiten gegeben.

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Dezimalzahlen dividieren

Zuerst musst du hier den Bruch in eine Dezimalzahl umschreiben.

\frac9{5}=\frac{9\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{18}{10}=1,895=9252=1810=1,8\frac9{5}=\frac{9\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{18}{10}=1,8

Um zwei Dezimalzahlen miteinander zu dividieren, musst du beim Dividend und beim Divisor so lange das Komma nach rechts verschieben, bis der Dividend eine ganze Zahl ist (also keine Nachkommastellen mehr hat).

Wenn du beim Dividend und beim Divisor das Komma um dieselbe Anzahl an Stellen verschiebst, dann bleibt das Ergebnis immer gleich.

Wann musst du im Ergebnis ein Komma setzen?

  • Wenn du im Divisor an das Komma gelangst.
  • Wenn du beim schriftlichen Dividieren eine zusätzliche 000 dazu ziehen musst.
\begin{aligned} & ~~~~~6,21:18=\lsg{0,345} \\ & -~\underline{~~~ 54} \\ & ~~~~~~~~~81 \\ & ~~~-~~\underline{~ 72} \\ & ~~~~~~~~~~~~90 \\ & ~~~~~~-~~\underline{~ 90} \\ & ~~~~~~~~~~~~~~0 \end{aligned} 6,21:18=0,34554817290900 \begin{aligned} & ~~~~~6,21:18=\lsg{0,345} \\ & -~\underline{~~~ 54} \\ & ~~~~~~~~~81 \\ & ~~~-~~\underline{~ 72} \\ & ~~~~~~~~~~~~90 \\ & ~~~~~~-~~\underline{~ 90} \\ & ~~~~~~~~~~~~~~0 \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Brüche dividieren

\begin{aligned} 0,621 : \frac9 5 =& \frac{621}{1000}\col[1]:\frac{\col[2]{9}}{\col[3]5}&& \quad \mid \textsf{Kehrbruch bilden} \\[2mm] =&\frac {621}{1000}\col[1]\cdot\frac\col[3]{5} \col[2]{9}\\[2mm] =&\frac {621\cdot 5}{1000\cdot 9}\\[2mm] =&\frac {3105}{9000}\\[2mm] =&\frac {3105:\col[5]{9}}{9000:\col[5]{9}}&& \quad \mid \textsf{mit } \col[5]{9} \textsf{ kürzen}\\[2mm] =&\frac {345}{1000}\\[2mm] =& 0,345 \end{aligned}\begin{aligned} 0,621 : \frac9 5 =& \frac{621}{1000}\col[1]:\frac{\col[2]{9}}{\col[3]5}&& \quad \mid \textsf{Kehrbruch bilden} \\[2mm] =&\frac {621}{1000}\col[1]\cdot\frac\col[3]{5} \col[2]{9}\\[2mm] =&\frac {621\cdot 5}{1000\cdot 9}\\[2mm] =&\frac {3105}{9000}\\[2mm] =&\frac {3105:\col[5]{9}}{9000:\col[5]{9}}&& \quad \mid \textsf{mit } \col[5]{9} \textsf{ kürzen}\\[2mm] =&\frac {345}{1000}\\[2mm] =& 0,345 \end{aligned}

Die Ergebnisse stimmen überein.\ \col[4]{\checkmark}\ \col[4]{\checkmark}

Rationale Zahlen multiplizieren & dividieren Zusammenfassung

  • Du kannst rationale Zahlen multiplizieren/dividieren, indem du alle Zahlen als dieselbe Zahlenart schreibst und dann die üblichen Rechenrechenregeln anwendest.

  • Multiplizieren/Dividieren von zwei positiven oder zwei negativen Zahlen ergibt ein positives Ergebnis.

  • Multiplizieren/Dividieren einer negativen und einer positiven Zahl ergibt ein negatives Ergebnis.

  • Wenn du beim Divisor und Dividend das Komma um dieselbe Anzahl an Stellen verschiebst, dann bleibt das Ergebnis gleich.

  • Die Rechengesetze (Kommutativgesetz und Assoziativgesetz) gelten nur in der Multiplikation und nicht in der Division.

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