Trapez - Flächeninhalt & Umfang

Kennst du schon das Trapez? Und damit ist nicht der Trapez-Artist im Zirkus gemeint, sondern tatsächlich das besondere Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.

Von so einem Trapez kannst du natürlich den Flächeninhalt und den Umfang berechnen.

simpleclub zeigt dir jetzt wie du ganz fix an die Formeln kommst, um sowohl den Flächeninhalt als auch den Umfang verschiedener Trapeze zu berechnen.

Flächeninhalt & Umfang eines Trapezes einfach erklärt

Umfang eines Trapezes

Jede Seite eines Trapezes kann unterschiedlich lang sein. Für den Umfang musst du deshalb einfach alle vier Seiten zusammenaddieren.

\rarr \text{A}_\textsf{T} =a+b+c+dAT=a+b+c+d\rarr \text{A}_\textsf{T} =a+b+c+d

Flächeninhalt eines Trapezes

Das Trapez ist zwar ein Viereck, aber hier kannst du nicht einfach "Länge mal Höhe" rechnen. Du weißt schließlich nicht welche der vier Seiten du dafür verwenden sollst.
Stattdessen addierst du zuerst die Länge der beiden parallelen Seiten und nimmst diese mal die Höhe und mal ein Halb:

\rarr \text{A}_\textsf{T} = \col[3]{\frac{1}{2}} \cdot \col[1]{(a+c)} \cdot \col[2]{h}AT=12(a+c)h\rarr \text{A}_\textsf{T} = \col[3]{\frac{1}{2}} \cdot \col[1]{(a+c)} \cdot \col[2]{h}

Tippe auf das Trapez & das Maßand.

Umfang eines Trapezes Formel

Der Umfang eines Trapezes berechnet sich einfach aus der Summe aller vier Seiten, also:

\boxed{\text{U}_\textsf{T}= a+b+c+d}UT=a+b+c+d\boxed{\text{U}_\textsf{T}= a+b+c+d}

Flächeninhalt eines Trapezes Formel

Der Flächeninhalt eines Trapezes berechnet sich aus ein Halb mal die Summe der parallelen Seitenlängen mal die Höhe:

\boxed{ \text{A}_T= \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h}AT=12(a+c)h\boxed{ \text{A}_T= \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h}

Trapez-Übersicht

Die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt eines Trapezes gelten tatsächlich für alle Arten von Trapezen. Hier findest du nochmal die drei Arten von Trapezen zur Übersicht:

  • "unspezifisches" Trapez

  • symmetrisches/gleichschenkliges Trapez

  • rechtwinkliges Trapez

Tippe auf die Flächen.
unspezifisch
symmetrisch
rechtwinklig
\\\\

Herleitung Flächeninhalt eines Trapezes

Du kannst dir die Formel für den Flächeninhalt auch einfach über bereits bekannte Flächen herleiten. Jedes Trapez lässt sich nämlich durch eine Diagonale in zwei Dreiecke aufteilen.

Nimm den Stift und teile das Trapez.

\rarr\rarr Das heißt, der Flächeninhalt eines Trapezes ist einfach die Fläche von zwei Dreiecken, deren Formel du ja bereits kennst.

\begin{aligned} \text{A}_\textsf{T} &= \col[1]{\text{A}_\triangle} + \col[2]{\text{A}_\triangle} \\[2mm] &= \col[1]{\frac{1}{2} \cdot {c} \cdot {h}} + \col[2]{ \frac{1}{2} \cdot {a} \cdot {h}} \\[2mm] &= \lsg{ \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h} \end{aligned}AT=A+A=12ch+12ah=12(a+c)h\begin{aligned} \text{A}_\textsf{T} &= \col[1]{\text{A}_\triangle} + \col[2]{\text{A}_\triangle} \\[2mm] &= \col[1]{\frac{1}{2} \cdot {c} \cdot {h}} + \col[2]{ \frac{1}{2} \cdot {a} \cdot {h}} \\[2mm] &= \lsg{ \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h} \end{aligned}

Damit hast du dir die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes super schnell hergeleitet.

Solltest du also einmal die Formel für das Trapez vergessen, dann zerlege dein Trapez einfach in zwei Dreiecke. Die Formel für das Dreieck musst du dir aber dann gut merken!

Trapeze mit gleichem Flächeninhalt (Scherung)

Wie du aus der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes \text{A}_\textsf{T} = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot hAT=12(a+c)h\text{A}_\textsf{T} = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h herauslesen kannst, ist die Fläche ausschließlich von den parallelen Seiten aaa und ccc sowie von der Höhe hhh abhängig (denn nur die kommen in der Formel vor). Die Länge der anderen beiden Seiten bbb und ddd sind für die Fläche irrelevant.

In folgender Animation siehst du Trapeze, die alle denselben Flächeninhalt haben, auch wenn du die Seiten aaa und ccc verschiebst.

Verschiebe die Regler.

Flächeninhalt & Umfang eines Trapezes Beispiele

Einfaches Beispiel

Aufgabe

Gegeben ist ein Trapez mit den Seiten

\begin{aligned} a&=2 \text{ cm} \\ b&=4,24 \text{ cm} \\ c&=4 \text{ cm} \\ d&=3,16 \text{ cm} \end{aligned}a=2 cmb=4,24 cmc=4 cmd=3,16 cm\begin{aligned} a&=2 \text{ cm} \\ b&=4,24 \text{ cm} \\ c&=4 \text{ cm} \\ d&=3,16 \text{ cm} \end{aligned}
Skizze

und die Höhe \large h=3 \text{ cm}h=3 cm\large h=3 \text{ cm}.

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Trapezes.

Lösung

Du musst nun einfach die Werte aus der Angabe in die jeweilige Formel einsetzen.

Für den Umfang brauchst du die Formel \boxed{ \text{U}_\textsf{T}=a+b+c+d}UT=a+b+c+d\boxed{ \text{U}_\textsf{T}=a+b+c+d} und kannst dann direkt das Ergebnis berechnen.

\begin{aligned} \text{U}_\textsf{T} &=a+b+c+d \\ &= 2 \text{ cm} + 4,24 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 3,16 \text{ cm} \\ &= \lsg{ 13,4 \text{ cm} } \end{aligned}UT=a+b+c+d=2 cm+4,24 cm+4 cm+3,16 cm=13,4 cm\begin{aligned} \text{U}_\textsf{T} &=a+b+c+d \\ &= 2 \text{ cm} + 4,24 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 3,16 \text{ cm} \\ &= \lsg{ 13,4 \text{ cm} } \end{aligned}

Für den Flächeninhalt brauchst du die Formel \boxed{ \text{A}_\textsf{T}=\frac{1}{2} \cdot (a+b) \cdot h }AT=12(a+b)h\boxed{ \text{A}_\textsf{T}=\frac{1}{2} \cdot (a+b) \cdot h } und kannst auch hier direkt das Ergebnis berechnen:

\begin{aligned} \text{A}_\textsf{T} &=\frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot (2 \text{ cm} +4 \text{ cm}) \cdot 3 \text{ cm} \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} \\[2mm] &= \lsg{ 9 \text{ cm} } \end{aligned}AT=12(a+c)h=12(2 cm+4 cm)3 cm=126 cm3 cm=9 cm\begin{aligned} \text{A}_\textsf{T} &=\frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot (2 \text{ cm} +4 \text{ cm}) \cdot 3 \text{ cm} \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} \\[2mm] &= \lsg{ 9 \text{ cm} } \end{aligned}

Anwendungs-Beispiel

Aufgabe

Das Hühner-Gehege auf einem Bauernhof hat die Form eines rechtwinkligen Trapezes. Das Gehege hat eine Fläche von 30 \text{ m}^230 m230 \text{ m}^2.
Drei Seiten mit a= 7 \text{ m}, b= 7,2 \text{ m}a=7 m,b=7,2 ma= 7 \text{ m}, b= 7,2 \text{ m} und d=6 \text{ m}d=6 md=6 \text{ m} (Höhe) des Geheges hat der Bauer schon eingezäunt.

Wie viel Zaun braucht der Bauer noch?

Lösung

Bei dieser Aufgabe könnte es dir helfen, zunächst eine skizze des rechtwinkligen Trapezes zu machen.

Skizze

Auch hier musst du nur die Werte aus der Angabe einsetzen und nach der gesuchten Größe (ccc) umformen.

Hinweis: Nicht alle Werte aus der Angabe sind relevant. Achte darauf nur die relevanten Werte einzusetzen.

\begin{aligned} \text{A}_\textsf{T} &= \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot \underbrace{h}_d \\[2mm] 30 \text{ m}^2&= \frac{1}{2} \cdot (7 \text{ m} + c) \cdot 6 \text{ m} \\[2mm] 30 \text{ m}^2 &= 3 \text{ m} \cdot(7 \text{ m} +c) &&\quad \mid :3 \text{ m} \\[2mm] 10 \text{ m} &= 7 \text{ m} +c && \quad \mid -7 \text{ m} \\[2mm] \lsg{3 \text{ m} } &=c \end{aligned}AT=12(a+c)hd30 m2=12(7 m+c)6 m30 m2=3 m(7 m+c):3 m10 m=7 m+c7 m3 m=c\begin{aligned} \text{A}_\textsf{T} &= \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot \underbrace{h}_d \\[2mm] 30 \text{ m}^2&= \frac{1}{2} \cdot (7 \text{ m} + c) \cdot 6 \text{ m} \\[2mm] 30 \text{ m}^2 &= 3 \text{ m} \cdot(7 \text{ m} +c) &&\quad \mid :3 \text{ m} \\[2mm] 10 \text{ m} &= 7 \text{ m} +c && \quad \mid -7 \text{ m} \\[2mm] \lsg{3 \text{ m} } &=c \end{aligned}

Der Bauer braucht also noch 3 \text{ m}3 m3 \text{ m} Zaun für die Hühner.

\\\\

Zusammenfassung

Der Umfang eines Trapezes berechnet sich einfach aus der Summe aller vier Seiten, also:

\boxed{\text{U}_\textsf{T}= a+b+c+d}UT=a+b+c+d\boxed{\text{U}_\textsf{T}= a+b+c+d}

Der Flächeninhalt eines Trapezes berechnet sich aus ein Halb mal die Summe der parallelen Seitenlängen mal die Höhe:

\boxed{ \text{A}_T= \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h}AT=12(a+c)h\boxed{ \text{A}_T= \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h}
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