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Periodische Dezimalzahlen

Periodische Dezimalzahlen können am Anfang manchmal überfordernd sein.

Wie sind periodische Dezimalzahlen aufgebaut? Was sind rein- und gemischtperiodische Dezimalzahlen? Und wie wandelt man sie in Brüche um?

Bei all diesen Fragen hilft dir simpleclub.

Periodische Dezimalzahlen kurz gesagt

Einfach erklärt, sind Periodische Dezimalzahlen besondere Dezimalzahlen, deren Nachkommastellen sich ab einer bestimmten Stelle unendlich lang wiederholen. Die Ziffernfolge, die sich immer wiederholen, heißt Periode. Um das zu kennzeichnen, schreibst du einfach einen waagerechten Strich darüber.

\textsf{Beispiel}: ~0,\overline{45}=0,45454545...

\textsf{Beispiel}: ~0,\overline{45}=0,45454545...

Dabei wird zwischen rein- und gemischtperiodischen Dezimalzahlen unterschieden.

Bei reinperiodischen Dezimalzahlen beginnt die Periode direkt hinter dem Komma.

~~~~~~~0,\overline{1}~~0,\overline{23}~~4,\overline{567} $~~~~~~~0,\overline{1}~~0,\overline{23}~~4,\overline{567}$

Bei gemischtperiodischen Dezimalzahlen können sich die Ziffern auch erst beispielsweise an der dritten Stelle wiederholen.

~~~~~~~0,1\overline{2}~~0,23\overline{4}~~5,6\overline{78} $~~~~~~~0,1\overline{2}~~0,23\overline{4}~~5,6\overline{78}$

Je nach dem welche Form vorliegt, lassen sich die periodischen Dezimalzahlen unterschiedlich in Brüche umwandeln.

Definition

Eine Dezimalzahl heißt periodisch, wenn sich ab einer bestimmten Stelle eine Ziffer oder eine Gruppe von Ziffern unendlich lang wiederholt. Diese sich wiederholenden Ziffern fasst man in der Periode zusammen. Sie wird mit einem Periodenstrich über der Ziffernfolge gekennzeichnet.

Dabei ist die Dezimalzahl reinperiodisch, wenn die Periode direkt nach dem Komma beginnt und gemischtperiodisch, wenn davor noch andere Ziffern stehen.

Periodische Dezimalzahlen Erklärung

Falls du mal einen Bruch in eine Dezimalzahl umrechnen sollst und die Rechnung unendlich lang geht und sich die Nachkommastellen immer wiederholen, dann ist das vermutlich eine periodische Dezimalzahl.

Diese Dezimalzahl heißt periodisch, weil sich ihre Ziffern ab einer bestimmten Stelle periodisch wiederholen, also immer wieder. Hier sind ein paar Beispiele:

\begin{aligned} ~~&0,11111...=0,\overline{\col[3]{1}} \\ &1,32222...= 1,3\overline{\col[3]{2}} \\ &0,585858...=0,\overline{\col[3]{58}} \end{aligned}

\begin{aligned} ~~&0,11111...=0,\overline{\col[3]{1}} \\ &1,32222...= 1,3\overline{\col[3]{2}} \\ &0,585858...=0,\overline{\col[3]{58}} \end{aligned}

Um die Ziffern nicht unendlich lang aufschreiben zu müssen, kannst du einfach die Ziffern, die sich wiederholen unter den sogenannten "Periodenstrich" schreiben. Die Ziffern darunter heißt **Periode**.

Hier sieht man die Dezimalzahl "Null Komma Zwei Sieben Zwei Sieben Zwei SIeben" und immer so weiter. Die Zwei und die Sieben wiederholen sich also immer wieder. Es handelt sich also um eine Periodische Dezimalzahl. Die Ziffern, die sich wiederholen nennt man Periode. Ausgesprochen wir die Dezimalzahl "Null Komma Periode Zwei Sieben". Über die Periode kommt ein waagerechter Strich, um anzuzeigen, dass sich die Ziffern darunter wiederholen.

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Unterscheidung zwischen rein- und gemischtperiodischen Dezimalzahlen

Je nach dem, ab welcher Nachkommastelle die Periode beginnt wird zwischen rein- und gemischtperiodischen Dezimalzahlen unterschieden:

Reinperiodisch: die Periode beginnt direkt hinter dem Komma

\begin{aligned} ~~~~~~\textsf{Beispiele}: ~0,\overline{1}~~0,\overline{23}~~4,\overline{567} \end{aligned}

\begin{aligned} ~~~~~~\textsf{Beispiele}: ~0,\overline{1}~~0,\overline{23}~~4,\overline{567} \end{aligned}

Gemischtperiodisch: zwischen Periode und Komma steht mindestens eine andere Ziffer

\begin{aligned} ~~~~~~\textsf{Beispiele}: ~0,1\overline{2}~~0,23\overline{4}~~5,6\overline{78} \end{aligned}

\begin{aligned} ~~~~~~\textsf{Beispiele}: ~0,1\overline{2}~~0,23\overline{4}~~5,6\overline{78} \end{aligned}

Umwandlung von Periodischen Dezimalzahlen in Brüche

Die Unterscheidung zwischen rein- und gemischtperiodischen Dezimalzahlen wird jetzt bei der Umwandlung von Periodischen Dezimalzahlen in Brüche wichtig. Hier musst du genau wissen, welche Art vorliegt, um das richtige Verfahren zu benutzen.

Reinperiodische Dezimalzahlen \implies $\implies$ Brüche

Wenn du eine Dezimalzahl wie 0,\overline{23} $0,\overline{23}$ nur mit einer 0 $0$ vor dem Komma hast, dann funktioniert die Umwandlung am leichtesten. Denn die Ziffern der Periode kannst du direkt als Zähler deines neuen Bruchs übernehmen. Für den Nenner musst du nur die Periodenlänge abzählen. Sie wiederum bestimmt die Anzahl der 9 $9$ er im Nenner. Umfasst deine Periode zwei Ziffern wie oben, so wäre der Nenner deines Bruchs 99 $99$ . Hier aber mal die genaue Formel:

0,\overline{\textsf{\col[3]{Periode}}} = \frac{\textsf{\col[3]{Periode}}}{\textsf{Periodenlänge in 9er}}

0,\overline{\textsf{\col[3]{Periode}}} = \frac{\textsf{\col[3]{Periode}}}{\textsf{Periodenlänge in 9er}}

Steht vor dem Komma allerdings eine andere Zahl als 0 $0$ , so musst du einen kleinen Zwischenschritt einlegen. Du teilst die Dezimalzahl in eine ganze Zahl (die Zahl vor dem Komma) und eine Dezimalzahl (den periodischen Teil hinter dem Komma) auf. Anschließend wandelst du beide getrennt in Brüche um und addierst sie.

\begin{aligned} 1,\overline{2} &= \col[1]{1} + \col[2]{0,\overline{2}} \\[1mm] &= \col[1]{\frac{9}{9}} + \col[2]{\frac{2}{9}} \\[1mm] &= \frac{11}{9} \end{aligned}

\begin{aligned} 1,\overline{2} &= \col[1]{1} + \col[2]{0,\overline{2}} \\[1mm] &= \col[1]{\frac{9}{9}} + \col[2]{\frac{2}{9}} \\[1mm] &= \frac{11}{9} \end{aligned}

Gemischtperiodische Dezimalzahlen \implies $\implies$ Brüche

Die Umwandlung von gemischtperiodischen Dezimalzahlen in Brüche ist gar nicht so viel schwieriger, weil du das Verfahren bei reinperiodischen Dezimalzahlen übernehmen kannst. Du musst nur am Anfang und am Ende etwas kleines ändern.

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ In reinperiodische Dezimalzahl umwandeln

Der Trick ist nämlich, dass du deine gemischtperiodische Dezimalzahl in eine reinperiodische umwandelst, indem du das Komma verschiebst. Der einzige Unterschied einer reinperiodischen Dezimalzahl ist ja nur, dass die Periode direkt hinter dem Komma beginnt. Du kannst nun einfach das Komma so lange verschieben, bis es vor der Periode steht.

Damit du 0,12\overline{3} $0,12\overline{3}$ in eine reinperiodische Dezimalzahl umschreiben kannst, musst du das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben, also mit 100 multiplizieren. Dadurch fängt die Periode direkt nach dem Komma an.

0\col[4]{,}12\overline{3} \large\xrightarrow{\cdot \textsf{\col[4]{100}}} 12\col[4]{,}\overline{3}

0\col[4]{,}12\overline{3} \large\xrightarrow{\cdot \textsf{\col[4]{100}}} 12\col[4]{,}\overline{3}

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Reinperiodische Dezimalzahl in Bruch umwandeln

Nun teilst du die Dezimalzahl vor und nach dem Komma auf und addierst sie, wie du es schon von den reinperiodischen Dezimalzahlen kennst.

\begin{aligned} 12,\overline{3} &= \col[1]{12} + \col[2]{0,\overline{3}} \\[1mm] &= \col[1]{\frac{108}{9}} + \col[2]{\frac{3}{9}} \\[1mm] &= \frac{111}{9} \end{aligned}

\begin{aligned} 12,\overline{3} &= \col[1]{12} + \col[2]{0,\overline{3}} \\[1mm] &= \col[1]{\frac{108}{9}} + \col[2]{\frac{3}{9}} \\[1mm] &= \frac{111}{9} \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Um den selben Faktor dividieren

Weil du am Anfang das Komma um zwei Stellen nach rechts geschoben, also mit 100 multipliziert hast, musst du dies am Ende wieder rückgängig machen. Jetzt musst du die Zahl durch 100 dividieren. Das machst du, indem du den Nenner mit 100 $100$ multiplizierst.

\frac{111}{9} \xrightarrow{\textsf{\col[4]{:100}}} \frac{111}{900}

\frac{111}{9} \xrightarrow{\textsf{\col[4]{:100}}} \frac{111}{900}

Hier siehst du das Verfahren in einem:

Schiebe den Regler.

Periodische Dezimalzahlen Beispiele

Beispiel 1)

Aufgabe:

Wandle die folgende reinperiodische Dezimalzahl in einen Bruch um.

0,\overline{089}

0,\overline{089}

Lösung:

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Periode als Zähler übernehmen

Periode von 0,\overline{089} $0,\overline{089}$ ist 089 $089$ \large \rarr $\large \rarr$ Zähler =89 $89$

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Periodenlänge bestimmt die Anzahl der 9 $9$ er im Nenner

0,\overline{089} $0,\overline{089}$ \large \rarr $\large \rarr$ Periode ist 3 $3$ Ziffern lang \large \rarr $\large \rarr$ 3 $3$ x9 $9$ er \large \rarr $\large \rarr$ Nenner = 999 $999$

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Bruch aufschreiben

\implies \lsg{\frac{89}{999}}

\implies \lsg{\frac{89}{999}}

Beispiel 2)

Aufgabe:

Wandle die folgende gemischtperiodische Dezimalzahl in einen Bruch um.

0, 4\overline{6}

0, 4\overline{6}

Lösung:

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ In reinperiodische Dezimalzahl umwandeln

0,4\overline{6} \xrightarrow{\cdot \textsf{10}} 4,\overline{6}

0,4\overline{6} \xrightarrow{\cdot \textsf{10}} 4,\overline{6}

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Dezimalzahl in Summanden aufteilen

\begin{aligned} 4,\overline{6} &=4 + 0,\overline{6} \\[1mm] &= \frac{36}{9} + \frac{6}{9} \\[1mm] &= \frac{42}{9} \end{aligned}

\begin{aligned} 4,\overline{6} &=4 + 0,\overline{6} \\[1mm] &= \frac{36}{9} + \frac{6}{9} \\[1mm] &= \frac{42}{9} \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Um den selben Faktor dividieren

\frac{42}{9} \xrightarrow{\textsf{:10}} \lsg{\frac{42}{90}}

\frac{42}{9} \xrightarrow{\textsf{:10}} \lsg{\frac{42}{90}}

Periodische Dezimalzahlen Zusammenfassung

Eine Dezimalzahl heißt periodisch, wenn sich ab einer bestimmten Stelle eine Ziffer oder eine Gruppe von Ziffern unendlich lang wiederholt. Diese sich wiederholenden Ziffern werde in der Periode zusammengefasst. Sie wird mit einem Periodenstrich über der Ziffernfolge gekennzeichnet.
Dabei ist die Dezimalzahl reinperiodisch, wenn die Periode direkt nach dem Komma beginnt und gemischtperiodisch, wenn davor noch andere Ziffern stehen.
Bei der Umwandlung von periodischen Dezimalzahlen in Brüche musst du zwischen reinperiodischen und gemischtperiodischen Dezimalzahlen unterscheiden:

Reinperiodisch:

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Periode als Zähler übernehmen

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Periodenlänge bestimmt die Anzahl der 9 $9$ er im Nenner

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Bruch aufschreiben

Gemischtperiodisch:

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ In reinperiodische Dezimalzahl umwandeln

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Reinperiodische Dezimalzahl in Bruch umwandeln

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Um den selben Faktor dividieren

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