Es reicht, wenn du für drei angrenzende Vektorenpaare das Skalarprodukt überprüfst. Aufgrund des Innenwinkelsatzes für Vierecke muss dann auch der vierte Winkel 90° sein.

Besonderheit

Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm und ein Trapez.

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Beispiel

Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene. Weise nach, dass sie ein Rechteck bilden.

A~(1|1|3), B~(1|5|3), C~(3|5|3), D~(3|1|3)

A~(1|1|3), B~(1|5|3), C~(3|5|3), D~(3|1|3)

Schritt 1: Kantenvektoren bilden.

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 5-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 5-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}

\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-5 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-5 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3-3 \\ 1-5 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}

\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3-3 \\ 1-5 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}

\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 1-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 1-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Schritt 2: Skalarprodukt zwischen angrenzenden Kantenvektoren berechnen.

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\cdot2+4\cdot0+0\cdot0 = 0

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\cdot2+4\cdot0+0\cdot0 = 0

\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = 2\cdot0+0\cdot(-4)+0\cdot0 = 0

\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = 2\cdot0+0\cdot(-4)+0\cdot0 = 0

\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{DA}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\cdot(-2)+(-4)\cdot0+0\cdot0 = 0

\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{DA}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\cdot(-2)+(-4)\cdot0+0\cdot0 = 0

Es sind also drei Winkel 90° groß. Aufgrund des Innenwinkelsatzes für Vierecke ist auch der vierte Winkel 90° groß. Demzufolge handelt es sich beim Viereck ABCD um ein Rechteck.

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