Rechtecke nachweisen im Raum

Ein Rechteck ist ein Viereck, das sich durch folgende Eigenschaften auszeichnet:

  • Alle Winkel 90°
  • Gegenüberliegende Seiten parallel und gleichlang

Nachweis

Du hast vier Punkte in einer Ebene gegeben, die ein Rechteck bilden. Um das nachzuweisen, musst du nur zeigen, dass alle Winkel 90° sind.

Schritt 1: Kantenvektoren bilden.

Die Kantenvektoren sind die Vektoren der Seiten.

Schritt 2: Skalarprodukt zwischen angrenzenden Kantenvektoren berechnen.

Wenn das Skalarprodukt zwischen den angrenzenden Kantenvektoren immer gleich Null ist, handelt es sich um ein Rechteck.

Es reicht, wenn du für drei angrenzende Vektorenpaare das Skalarprodukt überprüfst. Aufgrund des Innenwinkelsatzes für Vierecke muss dann auch der vierte Winkel 90° sein.

Besonderheit

Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm und ein Trapez.


Beispiel

Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene. Weise nach, dass sie ein Rechteck bilden.

A~(1|1|3), B~(1|5|3), C~(3|5|3), D~(3|1|3)A(113),B(153),C(353),D(313)A~(1|1|3), B~(1|5|3), C~(3|5|3), D~(3|1|3)

Schritt 1: Kantenvektoren bilden.

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 5-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}AB=(115133)=(040)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 5-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-5 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}BC=(315533)=(200)\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-5 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3-3 \\ 1-5 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}CD=(331533)=(040)\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3-3 \\ 1-5 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 1-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}DA=(131133)=(200)\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 1-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Schritt 2: Skalarprodukt zwischen angrenzenden Kantenvektoren berechnen.

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\cdot2+4\cdot0+0\cdot0 = 0ABBC=(040)(200)=02+40+00=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\cdot2+4\cdot0+0\cdot0 = 0\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = 2\cdot0+0\cdot(-4)+0\cdot0 = 0BCCD=(200)(040)=20+0(4)+00=0\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = 2\cdot0+0\cdot(-4)+0\cdot0 = 0\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{DA}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\cdot(-2)+(-4)\cdot0+0\cdot0 = 0CDDA=(040)(200)=0(2)+(4)0+00=0\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{DA}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\cdot(-2)+(-4)\cdot0+0\cdot0 = 0

Es sind also drei Winkel 90° groß. Aufgrund des Innenwinkelsatzes für Vierecke ist auch der vierte Winkel 90° groß. Demzufolge handelt es sich beim Viereck ABCD um ein Rechteck.

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