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Lineare Funktion schneiden

Um den Schnittpunkt zwischen zwei Geraden herauszufinden, musst du die Geraden gleichsetzen und nach x umstellen.

Vorgehensweise

Gegeben sind die Geraden ggg und hhh.

Schritt 1: Geraden gleichsetzen

Setze g=h und damit y=y.

Schritt 2: Nach x umstellen

Schritt 3: x=irgendwas in eine der Geraden einsetzen und y erhalten

Schritt 4: Schnittpunkt aufstellen

Beispiele

Erstes Beispiel

Berechne den Schnittpunkt zwischen den Geraden g und h!

g(x)=y=3x-4g(x)=y=3x−4g(x)=y=3x-4h(x)=y=-2x+3h(x)=y=−2x+3h(x)=y=-2x+3

Schritt 1: Geraden gleichsetzen

Setze g=h.

3x-4=-2x+33x−4=−2x+33x-4=-2x+3

Schritt 2: Nach x umstellen

3x-4=-2x+3 \ \ \ |+2x \\ \Leftrightarrow 5x-4=3 \ \ \ |+4 \\ \Leftrightarrow 5x=7 \ \ \ |:5 \\ \Leftrightarrow x=\frac{7}{5}3x−4=−2x+3∣+2x⇔5x−4=3∣+4⇔5x=7∣:5⇔x=753x-4=-2x+3 \ \ \ |+2x \\ \Leftrightarrow 5x-4=3 \ \ \ |+4 \\ \Leftrightarrow 5x=7 \ \ \ |:5 \\ \Leftrightarrow x=\frac{7}{5}

Schritt 3: x=irgendwas in eine der Geraden einsetzen und y erhalten

x=\frac{7}{5} \textit{ in g}x=75ingx=\frac{7}{5} \textit{ in g}\implies y=3\cdot\frac{7}{5}-4⟹y=3⋅75−4\implies y=3\cdot\frac{7}{5}-4\Leftrightarrow y=\frac{1}{5}⇔y=15\Leftrightarrow y=\frac{1}{5}

Schritt 4: Schnittpunkt aufstellen

\implies\underline{\underline{S~(\frac{7}{5};\frac{1}{5})}}⟹S(75;15)‾‾\implies\underline{\underline{S~(\frac{7}{5};\frac{1}{5})}}
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Zweites Beispiel

Berechne den Schnittpunkt zwischen den Geraden g und h!

g(x)=y=1x-3g(x)=y=1x−3g(x)=y=1x-3h(x)=y=2x-1h(x)=y=2x−1h(x)=y=2x-1

Schritt 1: Geraden gleichsetzen

Setze g=h.

x-3=2x-1x−3=2x−1x-3=2x-1

Schritt 2: Nach x umstellen

x-3=2x-1 \ \ \ |-2x \\ \Leftrightarrow -x-3=-1 \ \ \ |+3 \\ \Leftrightarrow -x=2 \ \ \ |:(-1) \\ \Leftrightarrow x=-2x−3=2x−1∣−2x⇔−x−3=−1∣+3⇔−x=2∣:(−1)⇔x=−2x-3=2x-1 \ \ \ |-2x \\ \Leftrightarrow -x-3=-1 \ \ \ |+3 \\ \Leftrightarrow -x=2 \ \ \ |:(-1) \\ \Leftrightarrow x=-2

Schritt 3: x=irgendwas in eine der Geraden einsetzen und y erhalten

x=-2 \textit{ in h}x=−2inhx=-2 \textit{ in h}\implies y=2\cdot(-2)-1⟹y=2⋅(−2)−1\implies y=2\cdot(-2)-1\Leftrightarrow y=-5⇔y=−5\Leftrightarrow y=-5

Schritt 4: Schnittpunkt aufstellen

\implies\underline{\underline{S~(-2;-5)}}⟹S(−2;−5)‾‾\implies\underline{\underline{S~(-2;-5)}}
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Drittes Beispiel

Berechne den Schnittpunkt zwischen den Geraden g und h!

g(x)=y=3x-2g(x)=y=3x−2g(x)=y=3x-2h(x)=y=3x+1h(x)=y=3x+1h(x)=y=3x+1

Schritt 1: Geraden gleichsetzen

Setze g=h.

3x-2=3x+13x−2=3x+13x-2=3x+1

Schritt 2: Nach x umstellen

3x-2=3x+1 \ \ \ |-3x \\ \Leftrightarrow -2=1 \textit{ f.A.}3x−2=3x+1∣−3x⇔−2=1f.A.3x-2=3x+1 \ \ \ |-3x \\ \Leftrightarrow -2=1 \textit{ f.A.}

Die Geraden haben keinen Schnittpunkt, sondern verlaufen parallel!

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