Gleichungen lösen mit Äquivalenzumformungen

Um eine Gleichung zu lösen, benutzt du Äquivalenzumformungen.


Erklärung

Stelle dir vor, du möchtest folgende Gleichung lösen:

2x+3=4x-42x+3=4x42x+3=4x-4

Du suchst also den Wert für das xxx, welchen du in die Gleichung einsetzen kannst, damit der Wert der linken Seite gleich der rechten Seite entspricht.

Damit du nicht ständig beliebige Zahlenwerte ausprobieren musst, kannst du die Gleichung durch Umformen lösen.

Vorgehensweise

Das Ziel ist, am Ende auf der einen Seite eine Variable und auf der anderen Seite eine Zahl stehen zu haben:

\boxed{\textsf{Variable}\ x,y,a, b, ... = \textsf{Zahl}}Variablex,y,a,b,...=Zahl\boxed{\textsf{Variable}\ x,y,a, b, ... = \textsf{Zahl}}

Beim Lösen von Gleichungen, in denen die Variable mehrmals vorkommt, gehst du wiefolgt vor:

\quad \small \fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\quad \small \fcolorbox{white}{grey}{1.} Fasse die einzelnen Terme soweit wie möglich zusammen (Nicht immer zwingend erforderlich).

\quad \small \fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\quad \small \fcolorbox{white}{grey}{2.} Bringe die Variable durch Äquivalenzumformungen auf eine Seite.

\quad \small \fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\quad \small \fcolorbox{white}{grey}{3.} Löse die Gleichung durch weitere Äquivalenzumformungen.

Taucht die Variable nur einmal auf, kannst du die ersten beiden Schritte überspringen.

Um eine Gleichung zu lösen, nutzt du die Äquivalenzumformung. Eine Äquivalenzumformung bezeichnet eine Umformung einer Gleichung, bei welchem du den Wahrheitswert einer Gleichung nicht veränderst.

Äquivalenzumformung:

\begin{aligned} 8 &= 8 &&\qquad |\col[1]{+2} \\ 8 \col[1]{+2} &= 8 \col[1]{+2} \\ 10 &= 10 \end{aligned}8=8+28+2=8+210=10\begin{aligned} 8 &= 8 &&\qquad |\col[1]{+2} \\ 8 \col[1]{+2} &= 8 \col[1]{+2} \\ 10 &= 10 \end{aligned}

Keine Äquivalenzumformung:

\begin{aligned} 8 &= 8 \\ 8 &= 8 \col[1]{+2} \\ 8 &\neq 10 \quad \col[3]{\huge \times} \small \textsf{Wahrheitswert wurde verändert} \end{aligned}8=88=8+2810×Wahrheitswertwurdevera¨ndert\begin{aligned} 8 &= 8 \\ 8 &= 8 \col[1]{+2} \\ 8 &\neq 10 \quad \col[3]{\huge \times} \small \textsf{Wahrheitswert wurde verändert} \end{aligned}

Erlaubte Äquivalenzumformungen

Folgende Äquivalenzumformungen darfst du benutzen:

  • **Addiere** oder **subtrahiere** auf beiden Seiten der Gleichung den gleichen Term

Beispiel 1:

\begin{aligned} 2x+3 &= 4x-4 &&\qquad |\col[1]{+4} \\ 2x +3 \col[1]{+4} &= 4x \cancel{-4} \cancel{\col[1]{+4}} \\ 2x+7 &= 4x &&\qquad |\col[2]{-2x} \\ \cancel{2x} \cancel{\col[2]{-2x}} +7 &= 4x\col[2]{-2x} \\ 7 &= 2x \end{aligned}2x+3=4x4+42x+3+4=4x4+42x+7=4x2x2x2x+7=4x2x7=2x\begin{aligned} 2x+3 &= 4x-4 &&\qquad |\col[1]{+4} \\ 2x +3 \col[1]{+4} &= 4x \cancel{-4} \cancel{\col[1]{+4}} \\ 2x+7 &= 4x &&\qquad |\col[2]{-2x} \\ \cancel{2x} \cancel{\col[2]{-2x}} +7 &= 4x\col[2]{-2x} \\ 7 &= 2x \end{aligned}

Beispiel 2:

\begin{aligned} 2x+3 &= 4x-4 &&\qquad |\col[2]{-3} \\ 2x \cancel{+3} \cancel{\col[2]{-3}} &= 4x-4\col[2]{-3} \\ 2x &= 4x -7 &&\qquad |\col[2]{-4x} \\ 2x\col[2]{-4x} &= \cancel{4x} \cancel{\col[2]{-4x}} -7 \\ -2x &= -7 \end{aligned}2x+3=4x432x+33=4x432x=4x74x2x4x=4x4x72x=7\begin{aligned} 2x+3 &= 4x-4 &&\qquad |\col[2]{-3} \\ 2x \cancel{+3} \cancel{\col[2]{-3}} &= 4x-4\col[2]{-3} \\ 2x &= 4x -7 &&\qquad |\col[2]{-4x} \\ 2x\col[2]{-4x} &= \cancel{4x} \cancel{\col[2]{-4x}} -7 \\ -2x &= -7 \end{aligned}
  • **Multipliziere** oder **dividiere** auf beiden Seiten der Gleichung den gleichen Term (außer Null)

Beispiel 1:

\begin{aligned} 7 &= 2x \quad | \col[4]{:2} \\[2mm] \lsg{\frac{7}{\col[4]{2}}} &= x \end{aligned}7=2x:272=x\begin{aligned} 7 &= 2x \quad | \col[4]{:2} \\[2mm] \lsg{\frac{7}{\col[4]{2}}} &= x \end{aligned}

Beispiel 2:

\begin{aligned} -2x &= -7 \quad | \col[4]{:(-2)} \\[2mm] x &= \frac{\cancel{-}7}{\col[4]{\cancel{-}2}} \\[2mm] &= \lsg{\frac{7}{2}} \end{aligned}2x=7:(2)x=72=72\begin{aligned} -2x &= -7 \quad | \col[4]{:(-2)} \\[2mm] x &= \frac{\cancel{-}7}{\col[4]{\cancel{-}2}} \\[2mm] &= \lsg{\frac{7}{2}} \end{aligned}

Beispiel 3:

\begin{aligned} \frac{2}{3}x &= 6 &&\qquad | \col[3]{\cdot 3} \\[2mm] \frac{2}{\cancel{3}} \cancel{\col[3]{\cdot 3}} x &= 6 \col[3]{\cdot 3} \\[2mm] 2x &= 18 &&\qquad | \col[4]{: 2} \\[2mm] x &= \lsg{9} \end{aligned}23x=63233x=632x=18:2x=9\begin{aligned} \frac{2}{3}x &= 6 &&\qquad | \col[3]{\cdot 3} \\[2mm] \frac{2}{\cancel{3}} \cancel{\col[3]{\cdot 3}} x &= 6 \col[3]{\cdot 3} \\[2mm] 2x &= 18 &&\qquad | \col[4]{: 2} \\[2mm] x &= \lsg{9} \end{aligned}

Beispiele

Einfach

Aufgabe

Löse folgende Gleichung.

2x+4=102x+4=102x+4=10

Lösung

\small \fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\small \fcolorbox{white}{grey}{1.} Löse die Gleichung durch Äquivalenzumformungen.

\begin{aligned} 2x+4 &= 10 &&\quad |-4 \\ 2x &= 6 && \quad |:2 \\ x &= \lsg{3} \end{aligned}2x+4=1042x=6:2x=3\begin{aligned} 2x+4 &= 10 &&\quad |-4 \\ 2x &= 6 && \quad |:2 \\ x &= \lsg{3} \end{aligned}

Schwer

Aufgabe

Löse folgende Gleichung.

2x+6x-8=4x+162x+6x8=4x+162x+6x-8=4x+16

Lösung

Hier siehst du, wie man die Gleichung Schritt für Schritt lösen kann:

\small \fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\small \fcolorbox{white}{grey}{1.} Fasse die einzelnen Terme soweit wie möglich zusammen.

\begin{aligned} 2x+6x-8 &= 4x+16 \quad | \textsf{Vereinfachen} \\ 8x-8 &= 4x+16 \end{aligned}2x+6x8=4x+16Vereinfachen8x8=4x+16\begin{aligned} 2x+6x-8 &= 4x+16 \quad | \textsf{Vereinfachen} \\ 8x-8 &= 4x+16 \end{aligned}

\small \fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\small \fcolorbox{white}{grey}{2.} Bringe die Variable durch Äquivalenzumformungen auf eine Seite.

\begin{aligned} 8x-8 &= 4x+16 \quad | +8 \\ 8x &= 4x+24 \quad | -4x \\ 4x &= 24 \end{aligned}8x8=4x+16+88x=4x+244x4x=24\begin{aligned} 8x-8 &= 4x+16 \quad | +8 \\ 8x &= 4x+24 \quad | -4x \\ 4x &= 24 \end{aligned}

\small \fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\small \fcolorbox{white}{grey}{3.} Löse die Gleichung durch weitere Äquivalenzumformungen.

\begin{aligned} 4x &= 24 \quad | :4 \\ x &= \lsg{6} \end{aligned}4x=24:4x=6\begin{aligned} 4x &= 24 \quad | :4 \\ x &= \lsg{6} \end{aligned}

Die gesamte Rechnung zur Übersicht:

\begin{aligned} 2x+6x-8 &= 4x+16 &&\qquad | \textsf{Vereinfachen} \\ 8x-8 &= 4x+16 &&\qquad | +8 \\ 8x &= 4x+24 &&\qquad | -4x \\ 4x &= 24 &&\qquad | :4 \\ x &= \lsg{6} \end{aligned}2x+6x8=4x+16Vereinfachen8x8=4x+16+88x=4x+244x4x=24:4x=6\begin{aligned} 2x+6x-8 &= 4x+16 &&\qquad | \textsf{Vereinfachen} \\ 8x-8 &= 4x+16 &&\qquad | +8 \\ 8x &= 4x+24 &&\qquad | -4x \\ 4x &= 24 &&\qquad | :4 \\ x &= \lsg{6} \end{aligned}
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