Innenwinkelsumme in Figuren

Du sollst in der Schule die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks bestimmen? Das könntest du noch nachmessen. Beim Viereck kannst du bestimmt auch noch messen. Aber bei Vielecken mit z.B. zehn Ecken wird das schon ganz schön mühsam.

Wie kannst du also ganz ohne Geodreieck die Innenwinkelsumme von verschiedenen Figuren bestimmen?

simpleclub zeigt dir, welche Regel dir dabei hilft.

Innenwinkelsumme einfach erklärt

Die Innenwinkelsumme ist, wie der Name schon sagt, die Summe aller Innenwinkel einer Figur.

Ein Innenwinkel ist ein Winkel, der von zwei benachbarten Seiten im Inneren einer Figur eingeschlossen ist.

  • Ein Dreieck hat beispielsweise drei Innenwinkel,

  • Ein Viereck vier Innenwinkel,

  • Ein Fünfeck fünf Innenwinkel, ...

\rarr\rarr An jeder Ecke ist also ein Innenwinkel.

Innenwinkelsumme Dreieck

Dreiecke haben immer eine Innenwinkelsumme von 180°180°180°. Das heißt, die Summe der Winkel \alphaα\alpha, \betaβ\beta und \gammaγ\gamma haben zusammen immer 180°180°180°.

\boxed{\alpha+\beta+\gamma=\lsg{180°}}α+β+γ=180°\boxed{\alpha+\beta+\gamma=\lsg{180°}}

Das gilt für alle Dreiecksarten!
Es ist also völlig egal, ob das Dreieck rechtwinklig, gleichschenklig, gleichseitig oder einfach beliebig ist.

Dreieck

Innenwinkelsumme

rechtwinklig

Rechtwinkliges Dreieck
\col[1]\alpha+\col[2]\beta+\col[3]{90°}=\lsg{180°}α+β+90°=180°\col[1]\alpha+\col[2]\beta+\col[3]{90°}=\lsg{180°}

gleichschenklig

Gleichschenkliges Dreieck
2\cdot\col[1]\alpha+\col[3]\gamma=\lsg{180°}2α+γ=180°2\cdot\col[1]\alpha+\col[3]\gamma=\lsg{180°}

gleichseitig

Gleichseitiges Dreieck
3\cdot\col[1]\alpha=\lsg{180°}3α=180°3\cdot\col[1]\alpha=\lsg{180°}

beliebig (hier stumpfwinklig)

Stumpfwinkliges Dreieck
\col[1]\alpha+\col[2]\beta+\col[3]\gamma=\lsg{180°}α+β+γ=180°\col[1]\alpha+\col[2]\beta+\col[3]\gamma=\lsg{180°}

Innenwinkelsumme Viereck

Vierecke haben immer eine Innenwinkelsumme von 360°360°360°. Das heißt, die Summe der Winkel \alphaα\alpha, \betaβ\beta, \gammaγ\gamma und \deltaδ\delta haben zusammen immer 360°360°360°.

\boxed{\alpha+\beta+\gamma+\delta=\lsg{360°}}α+β+γ+δ=360°\boxed{\alpha+\beta+\gamma+\delta=\lsg{360°}}
Beliebiges Viereck mit den Innenwinkeln alpha, beta, gamma und delta.

Das gilt für alle Vierecke!
Es ist also egal, ob das Viereck ein Quadrat, Rechteck, Trapez, Drachenviereck, Parallelogramm, eine Raute oder einfach beliebig ist.

Innenwinkelsumme Vieleck

Vielecke sind Figuren mit vielen Ecken. Das klingt logisch. Dazu zählen also Fünfecke, Sechsecke, Siebenecke, ...

Statt Vieleck kannst du auch Polygon (poly steht für viel und gon für Winkel, beides kommt aus dem Altgriechischen) oder n-Eck sagen. n steht dabei für die Anzahl der Ecken. Auch Dreiecke und Vierecke sind also Vielecke.

Die Innenwinkelsumme von Vielecken hängt von der Anzahl der Ecken ab.

Die Innenwinkelsumme beim

  • Fünfeck ist 540°540°540°.
  • Sechseck ist 720°720°720°.
  • Siebeneck ist 900°900°900°.
  • Achteck ist 1080°1080°1080°.
  • ...
  • 534534534-Eck ist 95760°95760°95760°
  • ...

Keine Sorge, das musst du nicht auswendig lernen! Dahinter steckt nämlich eine einfache Regel. Weißt du die, dann kannst du sogar die Innenwinkelsumme eines 135791357913579-Ecks bestimmen.

Die Regel lautet:

\boxed{\textsf{Innenwinkelsumme }\col[1]{n}\textsf{-Eck}=(\col[1]n-2)\cdot180°}Innenwinkelsummen-Eck=(n2)180°\boxed{\textsf{Innenwinkelsumme }\col[1]{n}\textsf{-Eck}=(\col[1]n-2)\cdot180°}

\col[1]{n}n\col[1]{n} steht also für die Anzahl der Ecken des Vielecks.

Da ja auch das Dreieck und das Viereck n-Ecke sind, funktioniert die Regel auch bei diesen beiden Figuren.

  • Das Dreieck hat drei Ecken.
    \implies \textsf{Innenwinkelsumme}= (\col[1]3-2)\cdot180°=1\cdot180°=\lsg{180°}Innenwinkelsumme=(32)180°=1180°=180°\implies \textsf{Innenwinkelsumme}= (\col[1]3-2)\cdot180°=1\cdot180°=\lsg{180°}

  • Das Viereck hat vier Ecken.
    \implies \textsf{Innenwinkelsumme}= (\col[1]4-2)\cdot180°=2\cdot180°=\lsg{360°}Innenwinkelsumme=(42)180°=2180°=360°\implies \textsf{Innenwinkelsumme}= (\col[1]4-2)\cdot180°=2\cdot180°=\lsg{360°}

Definition Innenwinkelsumme in Figuren

Dreieck

Jedes Dreieck hat eine Innenwinkelsumme von 180°.180°.180°.

Viereck

Jedes Viereck hat eine Innenwinkelsumme von 360°.360°.360°.

Vieleck oder n-Eck

Jedes n-Eck hat eine Innenwinkelsumme von (n-2)\cdot180°.(n2)180°.(n-2)\cdot180°.


Innenwinkelsumme in Figuren Erklärung

Herleitung der Formel

Die Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme von Vielecken \boxed{(n-2)\cdot180°}(n2)180°\boxed{(n-2)\cdot180°} musst du dir merken. Solltest du sie aber vergessen, dann kannst du sie auch ganz einfach herleiten.

Für die Herleitung musst du nur wissen, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck 180°180°180° ist.

Die Herleitung machen wir am Beispiel des Fünfecks.

Beliebiges Fünfeck mit den Innenwinkeln alpha, beta, gamma, delta und epsilon

Du weißt, dass das Dreieck eine Innenwinkelsumme von 180°180°180° hat. Du musst also eine Möglichkeit finden, das Fünfeck in Dreiecke aufzuteilen. Achte allerdings darauf, dass alle Ecken der Dreiecke auch an den Ecken des Fünfecks liegen.

Für die Einteilung in Dreiecke wählst du einen der Eckpunkte des Fünfecks und verbindest ihn mit allen anderen Eckpunkten.

Fünfeck, das in drei Dreiecke zerteilt ist.

Du kannst das Fünfeck also in drei Dreiecke einteilen, von welchen alle Ecken auch an den Ecken des Fünfecks liegen.

Die Innenwinkel der drei Dreiecke haben zusammen die gleiche Summe wie alle fünf Ecken des Fünfecks zusammen. Schließlich liegen die Ecken der Dreiecke genau auf den Ecken des Fünfecks.
Jedes der drei Dreiecke hat 180°180°180°.

\begin{aligned} \underbrace{\underbrace{180°}_{\textsf{Dreieck}_1}+\underbrace{180°}_{\textsf{Dreieck}_2}+\underbrace{180°}_{\textsf{Dreieck}_3}}_{=3\cdot180}&=540°\\[2mm] \underbrace{3}_{=\col[1]5-2}\cdot180°&=540°\\[2mm] \underbrace{\boxed{(\col[1]5-2)\cdot180°}}_{\textsf{Formel Innenwinkelsumme \col[1]{Fünf}eck}}&=540° \end{aligned}180°Dreieck1+180°Dreieck2+180°Dreieck3=3180=540°3=52180°=540°(52)180°FormelInnenwinkelsummeFu¨nfeck=540°\begin{aligned} \underbrace{\underbrace{180°}_{\textsf{Dreieck}_1}+\underbrace{180°}_{\textsf{Dreieck}_2}+\underbrace{180°}_{\textsf{Dreieck}_3}}_{=3\cdot180}&=540°\\[2mm] \underbrace{3}_{=\col[1]5-2}\cdot180°&=540°\\[2mm] \underbrace{\boxed{(\col[1]5-2)\cdot180°}}_{\textsf{Formel Innenwinkelsumme \col[1]{Fünf}eck}}&=540° \end{aligned}

Du bist also auf die Formel der Innenwinkelsumme von \col[1]{n}n\col[1]{n}-Ecken \boxed{(\col[1]{n}-2)\cdot180°}(n2)180°\boxed{(\col[1]{n}-2)\cdot180°} durch Aufteilung des \col[1]nn\col[1]n-Ecks in Dreiecke gekommen.

Nach diesem Schema kannst du ein

  • Viereck in zwei Dreiecke teilen.
  • Sechseck in vier Dreiecke teilen.
  • Siebeneck in fünf Dreiecke teilen.
  • ...
  • \col[1]{534}534\col[1]{534}-Eck in 532532532 Dreiecke teilen.
  • ...

\Rarr\Rarr Jedes \col[1]nn\col[1]n-Eck kannst du also in \col[1]n-2n2\col[1]n-2 Dreiecke aufteilen.

Anders ausgedrückt: Jedes Vieleck kannst du in zwei Dreicke weniger als das Vieleck Ecken hat aufteilen.

Drücke auf eine der Figuren und anschließend auf Zurücksetzen.

Einsatzgebiete Innenwinkelsumme

Innenwinkelsummen können dir bei verschiedenen Problemen der Mathematik helfen. In der Schule wirst du wahrscheinlich zu folgenden drei Problemen Aufgaben lösen müssen:

  • Anhand der Innenwinkelsumme die Figurenart erkennen.
  • Fehlende Winkel berechnen.
  • Die Innenwinkelsumme einer beliebigen Figur ohne zu messen bestimmen.

Innenwinkelsumme in Figuren Beispiele

Figurenart erkennen

Aufgabe

Ich denke an eine Figur mit einer Innenwinkelsumme von 1440°1440°1440°.

An welche Figur denke ich?

Lösung

Hier brauchst du die Formel zur Bestimmung der Innenwinkelsumme in nnn-Ecken.

(\col[1]n-2)\cdot180°=1440°(n2)180°=1440°(\col[1]n-2)\cdot180°=1440°

Überlege also, wie oft 180°180°180° in 1440°1440°1440° passen. Das errechnest du durch folgende Umkehraufgabe:

1440°:180°=81440°:180°=81440°:180°=8

In die Figur passen also 888 Dreiecke.

\underbrace{(\col[1]n-2)}_{=8}\cdot180°=1440°(n2)=8180°=1440°\underbrace{(\col[1]n-2)}_{=8}\cdot180°=1440°

In jede Figur passen zwei Dreiecke weniger als sie Ecken hat.

\begin{aligned} \underbrace{\col[1]n}_{\textsf{Ecken}}-2&=\underbrace{8}_{\textsf{Dreiecke}} \end{aligned}nEcken2=8Dreiecke\begin{aligned} \underbrace{\col[1]n}_{\textsf{Ecken}}-2&=\underbrace{8}_{\textsf{Dreiecke}} \end{aligned}

Umkehraufgabe:

\underbrace{8}_{\textsf{Dreiecke}}+\underbrace{2}_{\textsf{zwei Ecken mehr}}=\lsg{\col[1]{10}}8Dreiecke+2zweiEckenmehr=10\underbrace{8}_{\textsf{Dreiecke}}+\underbrace{2}_{\textsf{zwei Ecken mehr}}=\lsg{\col[1]{10}}

\implies\implies Die gedachte Figur ist ein Zehneck.

Fehlenden Winkel berechnen

Aufgabe

Gegeben ist folgendes Dreieck.

Rechtwnikliges Dreieck, bei der der Winkel alpha 30 Grad hat, der Winkel gamma der rechte Winkel ist und der Winkel beta gesucht ist.

Berechne die Größe des Winkels \beta.β.\beta.

Lösung

Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°.180°.180°. Zudem weißt du, dass der rechte Winkel 90°90°90° hat.

\begin{aligned} \col[2]{\beta}+&30°+90°&=180°\\ \col[2]{\beta}+&120°&=180°\\ \col[2]{60°}+&120°&=180° \end{aligned}β+30°+90°=180°β+120°=180°60°+120°=180°\begin{aligned} \col[2]{\beta}+&30°+90°&=180°\\ \col[2]{\beta}+&120°&=180°\\ \col[2]{60°}+&120°&=180° \end{aligned}\implies \col[2]\beta=\lsg{\col[2]{60°}}β=60°\implies \col[2]\beta=\lsg{\col[2]{60°}}

Innenwinkelsumme bestimmen

Aufgabe

Bestimme die Innenwinkelsumme eines Siebenecks.

Lösung

Du musst die \col[1]{7}7\col[1]{7} nur in die Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme von nnn-Ecken \boxed{(\col[1]{n}-2)\cdot180°}(n2)180°\boxed{(\col[1]{n}-2)\cdot180°} einsetzen.

\begin{aligned} (\col[1]{7}-2)\cdot180°=5\cdot180°=\lsg{900°} \end{aligned}(72)180°=5180°=900°\begin{aligned} (\col[1]{7}-2)\cdot180°=5\cdot180°=\lsg{900°} \end{aligned}

\implies\implies Ein Siebeneck hat eine Innenwinkelsumme von 700°.700°.700°.

Zusammenfassung Innenwinkelsumme in Figuren

Die Innenwinkelsumme von Dreiecken und Vierecken solltest du dir merken.

  • Dreiecke haben eine Innenwinkelsumme von 180°180°180°.
  • Vierecke haben eine Innenwinkelsumme von 360°360°360°.

Für die Innenwinkelsumme von Vielecken (auch n-Ecke oder Polygone) gibt es eine Formel:

\boxed{\textsf{Innenwinkelsumme }\col[1]n\textsf{-Eck}=(\col[1]n-2)\cdot180°}Innenwinkelsummen-Eck=(n2)180°\boxed{\textsf{Innenwinkelsumme }\col[1]n\textsf{-Eck}=(\col[1]n-2)\cdot180°}

Dabei bezeichnet \col[1]nn\col[1]n die Anzahl der Ecken des Vielecks.

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