Quadrat & Rechteck - Flächeninhalt & Umfang

Ein rechteckiges Fußballfeld ist zwischen 4000 \text{ m} ^2-10000 \text{ m}^24000 m210000 m24000 \text{ m} ^2-10000 \text{ m}^2 groß. Und ein quadratischer Boxring zwischen 25 \text{ m}^2 -36 \text{ m}^225 m236 m225 \text{ m}^2 -36 \text{ m}^2. Hat dir deine Lehrkraft auch aufgetragen, sämtliche Flächeninhalte oder sogar Umfänge von Quadraten und Rechtecken zu berechnen?

Tja, aber wie berechnet man denn jetzt von einer rechteckigen oder quadratischen Form den Umfang oder den Flächeninhalt?

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Flächeninhalt & Umfang eines Rechtecks & Quadrats einfach erklärt

Rechteck

Das Rechteck ist ja ein Viereck mit je zwei gleich langen Seiten \col[1]{a}a\col[1]{a} und \col[2]{b}b\col[2]{b}. Jede der beiden Seiten gibt es also zwei Mal.

  • Der Umfang eines Rechtecks ist einfach die Linie einmal um das Rechteck herum, also zweimal die Seite \col[1]{a}a\col[1]{a} und zweimal die Seite \col[2]{b}b\col[2]{b}.
  • Beim Flächeninhalt eines Rechtecks rechnest du "Länge mal Breite".

Quadrat

Das Quadrat gehört auch zur Familie der Rechtecke, jedoch ist das Quadrat ein spezielles Rechteck, denn es hat vier gleich lange Seiten \col[1]{a}a\col[1]{a}.

  • Deshalb ist es hier sogar einfacher den Umfang zu berechnen, denn es gibt ja nur vier gleich lange Seiten \col[1]{a}a\col[1]{a}.
  • Der Flächeninhalt eines Quadrats ist auch etwas einfacher, denn es gibt ja nur eine Seitenlänge, die du einfach mit sich selbst multiplizieren musst.

Flächeninhalt & Umfang eines Rechtecks Definition

Der Umfang eines Rechtecks berechnet sich mit:

\text{U}_{\boxed{~}}= 2 \col[1]{a}+2 \col[2]{b} U=2a+2b\text{U}_{\boxed{~}}= 2 \col[1]{a}+2 \col[2]{b}

Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich mit:

\text{A}_{\boxed{~}}= \col[1]{a} \cdot \col[2]{b} A=ab\text{A}_{\boxed{~}}= \col[1]{a} \cdot \col[2]{b}

Flächeninhalt & Umfang eines Quadrats Definition

Der Umfang eines Quadrats berechnet sich mit:

\text{U}_{\square}=4 \cdot\col[1]{a}U=4a \text{U}_{\square}=4 \cdot\col[1]{a}

Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich mit:

\text{A}_{\square}= \col[1]{a}^2A=a2 \text{A}_{\square}= \col[1]{a}^2

\\\\

Flächeninhalt & Umfang eines Rechtecks & Quadrats Erklärung

Rechteck

Das Rechteck ist ja ein Viereck mit vier rechten Winkeln und je zwei gleich langen Seiten \col[1]{a}a\col[1]{a} und \col[2]{b}b\col[2]{b}. Jede der beiden Seiten gibt es also zweimal.

Rechteck mit Seiten a und b
Rechteck

Umfang

Der Umfang eines Rechtecks ist ja einfach die Linie einmal um das Rechteck herum, also zweimal die Seite \col[1]{a}a\col[1]{a} und zweimal die Seite \col[2]{b}b\col[2]{b}.

Berechnen kannst du den Umfang mit folgender Formel:

\boxed{ \text{U}_{\boxed{~}}= 2 \col[1]{a}+2 \col[2]{b} }U=2a+2b\boxed{ \text{U}_{\boxed{~}}= 2 \col[1]{a}+2 \col[2]{b} }

Flächeninhalt

Für den Flächeninhalt eines Rechtecks rechnest du einfach "Länge mal Breite", also:

\boxed{ \col[3]{\text{A}_{\boxed{~}}}= \col[1]{a}\cdot \col[2]{b} }A=ab \boxed{ \col[3]{\text{A}_{\boxed{~}}}= \col[1]{a}\cdot \col[2]{b} }

Quadrat

Das Quadrat gehört auch zur Familie der Rechtecke, jedoch ist das Quadrat ein besonderes Rechteck, denn es hat zusätzlich vier gleich lange Seiten \col[1]{a}a\col[1]{a}.

Quadrat
Quadrat

Umfang

Für das Quadrat ist es aufgrund der vier gleich langen Seiten \col[1]{a}a\col[1]{a} sogar noch einfacher, den Umfang zu berechnen:

\boxed{ \text{U}_{\square}= 4 \cdot \col[1]{a} }U=4a\boxed{ \text{U}_{\square}= 4 \cdot \col[1]{a} }

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt eines Quadrats ist auch etwas einfacher zu berechnen, denn es gibt ja nur eine Seitenlänge, die du einfach mit sich selbst multiplizieren musst:

\boxed{ \text{A}_{\square}= \col[1]{a} \cdot \col[1]{a}= \col[1]{a}^2 }A=aa=a2 \boxed{ \text{A}_{\square}= \col[1]{a} \cdot \col[1]{a}= \col[1]{a}^2 }

Flächeninhalt & Umfang eines Rechtecks & Quadrats Beispiele

Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen

Aufgabe

Gegeben ist ein Rechteck mit den Seiten \col[1]{a=11 \text{ cm} }a=11 cm\col[1]{a=11 \text{ cm} } und \col[2]{b=32 \text{ cm}}b=32 cm\col[2]{b=32 \text{ cm}}.
Berechne den Flächeninhalt.

Lösung

Du musst hier nur die beiden Seitenlängen \col[1]{a}a\col[1]{a} und \col[2]{b}b\col[2]{b} in die Formel \boxed{ \text{A}_{\boxed{~~}}=\col[1]{a} \cdot \col[2]{b} }A=ab\boxed{ \text{A}_{\boxed{~~}}=\col[1]{a} \cdot \col[2]{b} } einsetzen:

\begin{aligned} \text{A}_{\boxed{~~}} & =\col[1]{a} \cdot \col[2]{b} \\ &= \col[1]{11 \text{ cm}} \cdot \col[2]{32 \text{ cm} } \\ &= \lsg{352 \text{ cm}^2 } \end{aligned}A=ab=11 cm32 cm=352 cm2\begin{aligned} \text{A}_{\boxed{~~}} & =\col[1]{a} \cdot \col[2]{b} \\ &= \col[1]{11 \text{ cm}} \cdot \col[2]{32 \text{ cm} } \\ &= \lsg{352 \text{ cm}^2 } \end{aligned}

Umfang eines Rechtecks berechnen

Aufgabe

Gegeben ist ein Rechteck mit den Seiten \col[1]{a=5 \text{ cm} }a=5 cm\col[1]{a=5 \text{ cm} } und \col[2]{b=9 \text{ cm}}b=9 cm\col[2]{b=9 \text{ cm}}.
Berechne den Umfang.

Lösung

Auch hier musst du nur die beiden Seitenlängen \col[1]{a=5 \text{ cm} }a=5 cm\col[1]{a=5 \text{ cm} } und \col[2]{b=9 \text{ cm}}b=9 cm\col[2]{b=9 \text{ cm}} in die Formel \boxed{ \text{U}_{\boxed{~}}=2 \col[1]{a} + 2 \col[2]{b} }U=2a+2b\boxed{ \text{U}_{\boxed{~}}=2 \col[1]{a} + 2 \col[2]{b} } einsetzen:

\begin{aligned} \text{U}_{\boxed{~}} &=2 \col[1]{a} + 2 \col[2]{b} \\ &= 2 \cdot \col[1]{ 5 \text{ cm}} + 2 \cdot \col[2]{9 \text{ cm}} \\ &= 10 \text{ cm} + 18 \text{ cm} \\ &= \lsg{28 \text{ cm}} \end{aligned}U=2a+2b=25 cm+29 cm=10 cm+18 cm=28 cm\begin{aligned} \text{U}_{\boxed{~}} &=2 \col[1]{a} + 2 \col[2]{b} \\ &= 2 \cdot \col[1]{ 5 \text{ cm}} + 2 \cdot \col[2]{9 \text{ cm}} \\ &= 10 \text{ cm} + 18 \text{ cm} \\ &= \lsg{28 \text{ cm}} \end{aligned}

Flächeninhalt eines Quadrats berechnen

Aufgabe

Gegeben ist ein Quadrat mit den Seiten \col[1]{a=17 \text{ cm} }a=17 cm\col[1]{a=17 \text{ cm} }.
Berechne den Flächeninhalt.

Lösung

Setze auch hier die Seitenlängen \col[1]{a= 17 \text{ cm} }a=17 cm\col[1]{a= 17 \text{ cm} } einfach in die Formel \boxed{ \text{A}_\square=\col[1]{a}^2 }A=a2\boxed{ \text{A}_\square=\col[1]{a}^2 }:

\begin{aligned} \text{A}_\square & =\col[1]{a}^2 \\ &= ( \col[1]{17 \text{ cm}})^2 \\ &= \lsg{289 \text{ cm}^2} \end{aligned}A=a2=(17 cm)2=289 cm2\begin{aligned} \text{A}_\square & =\col[1]{a}^2 \\ &= ( \col[1]{17 \text{ cm}})^2 \\ &= \lsg{289 \text{ cm}^2} \end{aligned}

Umfang eines Quadrats berechnen

Aufgabe

Gegeben ist ein Rechteck mit \col[1]{a= 52 \text{ cm} }a=52 cm\col[1]{a= 52 \text{ cm} }.

Berechne dessen Umfang.

Lösung

Setze auch hier die Seitenlängen \col[1]{a= 52 \text{ cm} }a=52 cm\col[1]{a= 52 \text{ cm} } einfach in die Formel \boxed{ \text{A}_\square=4 \cdot \col[1]{a} }A=4a\boxed{ \text{A}_\square=4 \cdot \col[1]{a} }:

\begin{aligned} \text{A}_\square & = 4 \cdot \col[1]{a} \\ &= 4 \cdot \col[1]{ 52 \text{ cm}} \\ &= \lsg{ 208 \text{ cm}} \end{aligned}A=4a=452 cm=208 cm\begin{aligned} \text{A}_\square & = 4 \cdot \col[1]{a} \\ &= 4 \cdot \col[1]{ 52 \text{ cm}} \\ &= \lsg{ 208 \text{ cm}} \end{aligned}\\\\

Flächeninhalt & Umfang eines Rechtecks & Quadrats Zusammenfassung

Rechteck:

  • Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich mit:
\qquad \boxed{ \text{A}_{\boxed{~}}= \col[1]{a} \cdot \col[2]{b} }A=ab\qquad \boxed{ \text{A}_{\boxed{~}}= \col[1]{a} \cdot \col[2]{b} }
  • Der Umfang eines Rechtecks berechnet sich mit:
\qquad \boxed{ \text{U}_{\boxed{~}}= 2 \cdot \col[1]{a}+2 \cdot \col[2]{b} }U=2a+2b\qquad \boxed{ \text{U}_{\boxed{~}}= 2 \cdot \col[1]{a}+2 \cdot \col[2]{b} }

Quadrat:

  • Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich mit:
\qquad \boxed{ \text{A}_{\square}= \col[1]{a}^2 }A=a2\qquad \boxed{ \text{A}_{\square}= \col[1]{a}^2 }
  • Der Umfang eines Quadrats berechnet sich mit:
\qquad \boxed{ \text{U}_{\square}= 4 \cdot \col[1]{a} }U=4a\qquad \boxed{ \text{U}_{\square}= 4 \cdot \col[1]{a} }
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