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Lagebeziehung zweier Kreise

Ihr beschäftigt euch in der Schule gerade mit Kreisen und habt jetzt zwei Kreise, deren Lagebeziehung ihr bestimmen sollt?

Habt ihr zwei Kreise gezeichnet, könnt ihr deren Lagebeziehung einfach durch Hinsehen bestimmen. Was aber, wenn ihr nur die Werte gegeben habt? Muss man dann immer eine Skizze anfertigen, um die Lage der beiden Kreise zueinander festzustellen?

simpleclub zeigt dir, wovon die Lagebeziehung zweier Kreise abhängt und wie du sie auch ohne Zeichnung bestimmen kannst.

Lagebeziehung zweier Kreise einfach erklärt

Zwei Kreise können keinen, einen, zwei oder unendlich viele gemeinsame Punkte haben.

Der letzte Fall mit unendlich viele tritt auf, wenn zwei Kreise identisch sind. Identisch sind sie, wenn sie den gleichen Radius und denselben Mittelpunkt haben.

In der Schule sind aber vor allem die Fälle kein, ein und zwei gemeinsame Punkte relevant.

Zwei gemeinsame Punkte

Haben zwei Kreise zwei gemeinsame Punkte, dann spricht man von zwei Schnittpunkten.

Zwei Kreise, die sich in zwei Punkten schneiden. — Kreise mit zwei Schnittpunkte

Ein gemeinsamer Punkt

Haben zwei Kreise einen gemeinsamen Punkt, dann wird dieser Punkt Berührpunkt genannt.

Dabei unterscheidet noch genauer:

Ein Kreis berührt den anderen von innen.
Ein Kreis berührt den anderen von außen.

Zwei Kreise, bei denen ein Kreis im Inneren des anderen Kreises liegt. Der innere Kreis berührt den äußeren von innen. — Berührung von innen

Zwei Kreise, die genau nebeneinander liegen. Sie berühren sich von außen. — Berührung von außen

Kein gemeinsamer Punkt

Haben zwei Kreise keinen gemeinsamen Punkt, dann liegt

entweder ein Kreis komplett im Inneren des anderen Kreises
oder so weit außerhalb des anderen Kreises, dass sie sich nicht berühren.

Zwei Kreise, bei denen ein Kreis genau im Inneren des anderen Kreises liegt. Sie haben keinen Berührpunkt. — innerhalb

Zwei Kreise, bei denen ein Kreis neben dem anderen Kreis liegt, ohne dass sie sich berühren oder schneiden. Sie haben keinen Berührpunkt. — außerhalb

Bei Kreisen ohne Berührpunkt gibt es auch noch eine besondere Lagebeziehung. Sie ist besonders, wenn die beiden Kreise denselben Mittelpunkt haben.
Solche Kreise mit gleichem Mittelpunkt und unterschiedlichen Radien heißten konzentrische Kreise.

Zwei Kreise mit unterschiedlichen Radien, die denselben Mittelpunkt haben. — Konzentrische Kreise

Ob zwei Kreise keinen, einen oder zwei gemeinsame Punkte haben, hängt von den Radien der beiden Kreise und dem Abstand der Mittelpunkte ab. Alleine mit diesen Angaben kannst du die Anzahl der gemeinsamen Punkte bestimmen, ohne dass du eine Skizze hast.

Formeln zur Lagebeziehung zweier Kreise

Besondere Lage	Skizze
Kein gemeinsamer Punkt
Konzentrische Kreise \col[2]{M_1}=\col[2]{M_2} \textsf{ und } \col[1]{r_1}\neq \col[3]{r_2} $\col[2]{M_1}=\col[2]{M_2} \textsf{ und } \col[1]{r_1}\neq \col[3]{r_2}$
Ein Kreis liegt komplett im Inneren des anderen Kreises. \col[2]{\overline{M_1M_2}}<\|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}\| $\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}\|$
Ein Kreis liegt komplett außerhalb des anderen Kreises. \col[2]{\overline{M_1M_2}}>\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2} $\col[2]{\overline{M_1M_2}}>\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}$
Ein gemeinsamer Punkt
Berührpunkt von innen \col[2]{\overline{M_1M_2}}=\|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}\| $\col[2]{\overline{M_1M_2}}=\|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}\|$
Berührpunkt von außen \col[2]{\overline{M_1M_2}}=\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2} $\col[2]{\overline{M_1M_2}}=\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}$
Zwei gemeinsame Punkte
Zwei Schnittpunkte \|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}\|<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2} $\|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}\|<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}$

Lagebeziehung zweier Kreise Erklärung

Die vielen Formeln musst du nicht auswendig lernen. Du kannst sie dir nämlich auch herleiten.

Gehen wir also alle Fälle noch einmal durch und überlegen, wie die jeweilige Formel zustande kommt.

Konzentrische Kreise

\col[2]{M_1}=\col[2]{M_2} \textsf{ und } \col[1]{r_1}\neq \col[3]{r_2}

\col[2]{M_1}=\col[2]{M_2} \textsf{ und } \col[1]{r_1}\neq \col[3]{r_2}

Die beiden Kreise sind auf einen Mittelpunkt konzentriert. Deshalb haben sie denselben Mittelpunkt.

\implies \col[2]{M_1}=\col[2]{M_2} $\implies \col[2]{M_1}=\col[2]{M_2}$

Sie sind aber nicht gleich groß. Sonst wären sie nämlich identisch und nicht konzentrisch.

\implies \col[1]{r_1}\neq\col[3]{r_2} $\implies \col[1]{r_1}\neq\col[3]{r_2}$

Komplett ineinander liegende Kreise

Ein Kreis liegt komplett im Inneren des anderen Kreises.

\col[2]{\overline{M_1M_2}}<|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}|

\col[2]{\overline{M_1M_2}}<|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}|

Zwei Kreise, bei denen ein Kreis innerhalb des anderen liegt. Die beiden Kreise haben unterschiedliche Mittelpunkte und berühren sich nicht.

Die beiden Kreise sind nicht konzentrisch und haben deshalb unterschiedliche Mittelpunkte. Der Abstand der Mittelpunkte wird mit \col[2]{\overline{M_1M_2}} $\col[2]{\overline{M_1M_2}}$ oder kurz mit \col[2]{d} $\col[2]{d}$ für Distanz benannt.

Der Radius des kleineren Kreises \col[3]{r_2} $\col[3]{r_2}$ plus der Abstand der Mittelpunkte \col[2]{\overline{M_1M_2}} $\col[2]{\overline{M_1M_2}}$ zusammen, müssen kleiner als der Radius des großen Kreises \col[1]{r_2} $\col[1]{r_2}$ sein. Sonst würden sie sich ja schneiden.

\implies \col[3]{r_2}+ \col[2]{\overline{M_1M_2}}<\col[1]{r_1} $\implies \col[3]{r_2}+ \col[2]{\overline{M_1M_2}}<\col[1]{r_1}$

Das wurde mit einer Umkehraufgabe noch umgeschrieben. So erreicht man wieder den Stil , bei dem \col[2]{\overline{M_1M_2}} $\col[2]{\overline{M_1M_2}}$ auf einer Seite alleine steht.

\implies \col[2]{\overline{M_1M_2}}<\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2} $\implies \col[2]{\overline{M_1M_2}}<\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}$

Die Betragsstriche brauchst du nicht unbedingt. Da Beträge genauso wie Abstände immer positiv sind, werden sie aber meist noch hingeschrieben. So gehst du sicher, dass du nicht versehentlich mit negativen Abständen weiterrechnest, sollte z. B. \col[1]{r_1} $\col[1]{r_1}$ mal der Radius des kleineren Kreises sein.

Komplett nebeneinander liegende Kreise

Ein Kreis liegt komplett außerhalb des anderen Kreises.

\col[2]{\overline{M_1M_2}}>\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}

\col[2]{\overline{M_1M_2}}>\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}

Zwei Kreise, die so weit nebeneinander liegen, dass sie sich nicht berühren.

Wäre der Abstand der Mittelpunkte \col[2]{\overline{M_1M_2}} $\col[2]{\overline{M_1M_2}}$ genauso groß wie die Summe der Radien \col[1]{r_1}+\col[3]{r_2} $\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}$ , dann würden sich die beiden Kreise ja berühren.

Deshalb muss der Abstand der Mittelpunkte größer sein als die Summe der Radien, damit die Kreise vollständig und ohne Berührpunkt nebeneinander liegen.

\implies \col[2]{\overline{M_1M_2}}>\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2} $\implies \col[2]{\overline{M_1M_2}}>\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}$

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Berührpunkt von außen

Berührpunkt von außen

\col[2]{\overline{M_1M_2}}=\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}

\col[2]{\overline{M_1M_2}}=\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}

Zwei Kreise, die direkt nebeneinander lieben. Sie berühren sich in einem Punkt.

Jetzt sind wir genau bei dem Fall, dass die zwei Radien zusammen \col[1]{r_1}+\col[3]{r_2} $\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}$ so groß sind wie der Abstand der Mittelpunkte \col[2]{\overline{{M_1M;_2}}} $\col[2]{\overline{{M_1M;_2}}}$ .

Die beiden Kreise liegen schließlich genau nebeneinander. Deshalb kannst du die Radien der Kreise genau auf dem Abstand der Mittelpunkte einzeichnen. Die beiden Strecken überdecken sich vollständig.

\implies \col[2]{\overline{M_1M_2}}=\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2} $\implies \col[2]{\overline{M_1M_2}}=\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}$

Berührpunkt von innen

Berührpunkt von innen

\col[2]{\overline{M_1M_2}}=|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}|

\col[2]{\overline{M_1M_2}}=|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}|

Zwei Kreise, bei denen ein Kreis im Inneren des anderen Kreises liegt. Sie haben unterschiedliche Mittelpunkte und berühren sich in einem Punkt.

Die beiden Kreise sind ja unterschiedlich groß. Das zeigt dir der Unterschied in den Radien \col[1]{r_1} $\col[1]{r_1}$ und \col[3]{r_2} $\col[3]{r_2}$ . Die Differenz \col[1]{r_1}-\col[3]{r_2} $\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}$ gibt an, wie groß der Größenunterschied der Kreise ist.

Damit sich die Kreise von innen berühren, musst du den Mittelpunkt des kleinen Kreises in Richtung Kreislinie des großen Kreises verschieben. Und zwar genauso weit, wie der Größenunterschied beträgt.

\implies \col[2]{\overline{M_1M_2}}=\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2} $\implies \col[2]{\overline{M_1M_2}}=\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}$

Die Betragsstriche brauchst du wieder nur, um zu vermeiden, dass du versehentlich den Radius des großen Kreises vom Radius des kleinen Kreises abziehst und so ein negatives Ergebnis erhältst.

Zwei Schnittpunkte

|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}|<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}

|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}|<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}

Zwei Kreise, die nebeneinander, aber leicht ineinander liegen. Sie haben zwei Schnittpunkte.

Diese Formel leitest du aus den Formeln vom Berührpunkt von innen und von außen her.
Dazu stellst du dir am besten mit zwei ausgeschnittenen Kreisen vor. Lege die Kreise so hin, dass ein Kreis den anderen von innen berührt. Jetzt schiebst du den inneren Kreis langsam nach außen. Du siehst, dass sich die beiden Kreise zuerst einige Zeit überlappen, bis sie sich nur noch außen berühren. In der Phase, in der sie sich überlappen, haben sie zwei Schnittpunkte.

Setze daher einfach die Formel zum Berührpunkt von innen und von außen mit < $<$ statt = $=$ als Verbindung (mit = $=$ wäre es ja ein Berührpunkt) hintereinander.

\implies \underbrace{|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}|}_{\textsf{Berührpunkt von innen}}<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\underbrace{\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}}_{\textsf{ Berührpunkt von außen}}

\implies \underbrace{|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}|}_{\textsf{Berührpunkt von innen}}<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\underbrace{\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}}_{\textsf{ Berührpunkt von außen}}

Lagebeziehung zweier Kreise Beispiele

Aufgabe

Wie weit müssen die Mittelpunkte der Kreise mit Radius \col[1]{r_1=2}\text{ cm} $\col[1]{r_1=2}\text{ cm}$ und \col[3]{r_2=3}\text{ cm} $\col[3]{r_2=3}\text{ cm}$ voneinander entfernt sein, damit ...

a) ... sich die beiden Kreise innen berühren?

b) ... sich die beiden Kreise schneiden?

c) ... die beiden Kreise so weit voneinander entfernt sind, dass sie keinen gemeinsamen Punkt haben?

Berechne jeweils den notwendigen Abstand der Mittelpunkte \col[2]{\overline{M_1M_2}} $\col[2]{\overline{M_1M_2}}$ .

Lösung

a) Berührpunkt von innen

Damit sich zwei unterschiedlich große Kreise von innen berühren, muss die Differenz der Radien genau dem Abstand der Mittelpunkte entsprechen.

\begin{aligned} \col[2]{\overline{M_1M_2}}&=|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}|\\[2mm] \col[2]{\overline{M_1M_2}}&=|\col[1]{2}\text{ cm}-\col[3]{3}\text{ cm}|\\[2mm] \col[2]{\overline{M_1M_2}}&=|-1\text{ cm}|\\[2mm] \col[2]{\overline{M_1M_2}}&=\lsg{1\text{ cm}} \end{aligned}

\begin{aligned} \col[2]{\overline{M_1M_2}}&=|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}|\\[2mm] \col[2]{\overline{M_1M_2}}&=|\col[1]{2}\text{ cm}-\col[3]{3}\text{ cm}|\\[2mm] \col[2]{\overline{M_1M_2}}&=|-1\text{ cm}|\\[2mm] \col[2]{\overline{M_1M_2}}&=\lsg{1\text{ cm}} \end{aligned}

\rarr $\rarr$ Damit sich die beiden Kreise von innen berühren, müssen die Mittelpunkte einen Abstand von 1\text{ cm} $1\text{ cm}$ haben.

b) Zwei Schnittpunkte

Auch hier setzt du wieder in die Formel ein, die sich aus dem Berührpunkt von innen und von außen herleitet.

\begin{aligned} \underbrace{|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}|}_{\textsf{Berührpunkt von innen}}&<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\underbrace{\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}}_{\textsf{ Berührpunkt von außen}}\\[2mm] |\col[1]2\text{ cm}-\col[3]3\text{ cm} |&<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\col[1]2\text{ cm}+\col[3]{3}\text{ cm}\\[2mm] |-1\text{ cm}|&<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<5\text{ cm}\\[2mm] \lsg{1\text{ cm}}&<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\lsg{5\text{ cm}} \end{aligned}

\begin{aligned} \underbrace{|\col[1]{r_1}-\col[3]{r_2}|}_{\textsf{Berührpunkt von innen}}&<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\underbrace{\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}}_{\textsf{ Berührpunkt von außen}}\\[2mm] |\col[1]2\text{ cm}-\col[3]3\text{ cm} |&<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\col[1]2\text{ cm}+\col[3]{3}\text{ cm}\\[2mm] |-1\text{ cm}|&<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<5\text{ cm}\\[2mm] \lsg{1\text{ cm}}&<\col[2]{\overline{M_1M_2}}<\lsg{5\text{ cm}} \end{aligned}

\rarr $\rarr$ Die beiden Kreise schneiden sich, wenn der Abstand der Mittelpunkte größer als 1\text{ cm} $1\text{ cm}$ und kleiner als 5\text{ cm} $5\text{ cm}$ ist.

c) Nebeneinander und kein gemeinsamer Punkt

Jetzt müssen die beiden Mittelpunkte so weit auseinanderliegen, dass die Radien sich nicht berühren.

\begin{aligned} \col[2]{\overline{M_1M_2}}&>\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}\\[2mm] \col[2]{\overline{M_1M_2}}&>\col[1]{2}\text{ cm}+\col[3]{3}\text{ cm}\\[2mm] \col[2]{\overline{M_1M_2}}&>\lsg{5\text{ cm}} \end{aligned}

\begin{aligned} \col[2]{\overline{M_1M_2}}&>\col[1]{r_1}+\col[3]{r_2}\\[2mm] \col[2]{\overline{M_1M_2}}&>\col[1]{2}\text{ cm}+\col[3]{3}\text{ cm}\\[2mm] \col[2]{\overline{M_1M_2}}&>\lsg{5\text{ cm}} \end{aligned}

\rarr $\rarr$ Wenn der Abstand der Mittelpunkte größer als 5\text{ cm} $5\text{ cm}$ ist, dann liegen die Kreise so weit nebeneinander, dass sie keinen gemeinsamen Punkt haben.

Lagebeziehung zweier Kreise Zusammenfassung

Zwei Kreise können keinen, einen, zwei oder unendlich viele gemeinsame Punkte haben.

Haben sie einen gemeinsamen Punkt, dann nennt man diesen auch Berührpunkt. Zwei gemeinsame Punkte heißen Schnittpunkte. Zwei Kreise haben unendlich viele gemeinsame Punkte, wenn sie identisch sind.

Wie viele gemeinsame Punkte zwei Kreise miteinander haben, hängt vom Abstand der Mittelpunkte \col[2]{\overline{M_1M_2}} $\col[2]{\overline{M_1M_2}}$ und von den Radien \col[1]{r_1} $\col[1]{r_1}$ und \col[3]{r_2} $\col[3]{r_2}$ ab.

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