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Sinus in Cosinus umwandeln?! - Trigonometrische Funktionen

Sinus- und Kosinusfunktionen Grundlagen

Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind unverzichtbare Konzepte in der Mathematik. Sie helfen dir bei der Berechnung von Winkeln in Dreiecken. Auch in der Physik benötigst du die Sinus- und Kosinusfunktionen immer wieder, um zu verstehen, wie Schwingungen, Wellen und Schallwellen funktionieren.

Wie genau hängen die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion zusammen? Was genau ist die Periode der Sinus- Kosinusfunktionen? Wie viele Nullstellen hat eine Sinusfunktion?

Simpleclub hilft dir diese Fragen zu beantworten und das Thema leicht zu verstehen.

Sinus- und Kosinusfunktionen einfach erklärt

Die Sinus- und Kosinusfunktionen geben das Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis an. Genauer gesagt kannst du mit den trigonometrischen Funktionen also die Winkel von rechtwinkligen Dreiecken berechnen, abhängig von den Längen der Seiten des Dreiecks. Genau deshalb werden die x $x$ -Werte der Sinus- und Kosinusfunktion auch immer in Grad (360°) $(360°)$ oder Bogenmaß (auch: Radiant) (2\pi) $(2\pi)$ angegeben.

Die Sinus- und Kosinusfunktionen verlaufen immer periodisch. Das bedeutet, dass sich die Funktionen immer nach einer Zeit (bei Sinus- und Kosinusfunktionen ist das genau 2\pi $2\pi$ oder 360° $360°$ ) wiederholen und bis ins Unendliche verlaufen.

Du kannst die x $x$ -Achse durch das Gradmaß oder das Bogenmaß darstellen.

Achsenwert

Bogenmaß

Gradmaß

Am Anfang fällt es dir bestimmt leichter, die Gradzahlen zu benutzen. Spätestens, wenn du aber viel mit den Sinus- und Kosinusfunktionen arbeitest, ist die Bogenmaßeinheit aber deutlich praktischer.

Merke dir einfach für die Umrechnung \boxed{2\pi = 360°} $\boxed{2\pi = 360°}$ .

Funktionsgleichung Sinus- und Kosinusfunktionen

Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind beides trigonometrische Funktionen, die periodisch verlaufen.

f(x)=\sin(x)

f(x)=\sin(x)

g(x)=\cos(x)

g(x)=\cos(x)

Sinus- und Kosinusfunktionen Eigenschaften

Die wichtigsten Eigenschaften, die du über die Sinus- und Kosinusfunktionen verstanden haben solltest, sind die Periodizität und die Verbindung der Sinus- und Kosinusfunktion. Anhand der beiden Eigenschaften kannst du dann alles andere super leicht nachvollziehen.

Periodizität der Sinus- und Kosinusfunktion

Die Periodizität beschreibt, wie sich eine Funktion im Laufe der Zeit wiederholt. Das ist genau wie bei den periodischen Dezimalzahlen.
Dort wiederholen sich die gleichen Zahlen irgendwann nur noch.

0,\overline{123}=0,\underbrace{123}_{} \ \underbrace{123}_{}\ \underbrace{123}_{}\ \underbrace{123}_{}...

0,\overline{123}=0,\underbrace{123}_{} \ \underbrace{123}_{}\ \underbrace{123}_{}\ \underbrace{123}_{}...

Genau wie sich periodische Dezimalzahlen unendlich oft wiederholen, so wiederholt sich eine periodische Funktion auch unendlich oft.

Die Länge der Periode gibt an, ab wann ein vollständiger Zyklus der Funktion abgeschlossen ist und die Funktion wieder von vorne beginnt.

Die Sinus- und Kosinusfunktion haben eine Periodenlänge von 2\pi $2\pi$ oder 360 ° $360 °$ .

Die Periode der SInusfunktion beträgt 2\pi.

Daraus können wir folgende Formeln ableiten:

\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\\ \cos(x + 2\pi) = \cos(x)

\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\\ \cos(x + 2\pi) = \cos(x)

Wenn k $k$ eine natürliche Zahl ist, dann gilt sogar:

\begin{aligned} \sin(x + 2\cdot k\cdot\pi) &= \sin(x)\\ \cos(x + 2\cdot k\cdot\pi) &= \cos(x) \end{aligned}

\begin{aligned} \sin(x + 2\cdot k\cdot\pi) &= \sin(x)\\ \cos(x + 2\cdot k\cdot\pi) &= \cos(x) \end{aligned}

Denn anstatt die Funktion nur um eine Periode zu verschieben, kannst du die Funktion natürlich auch um zwei oder mehr Perioden verschieben und du erhältst immer denselben y $y$ -Wert.

Verschiebung von Sinus- zur Kosinusfunktion

Die Sinus- und Kosinusfunktion sind eng miteinander verknüpft und können durch einfache Verschiebungen der Graphen ineinander überführt werden.
Die Sinusfunktion wird zur Kosinusfunktion, indem du die Funktion um \frac{\pi}{2} $\frac{\pi}{2}$ in die negative x $x$ -Richtung (links) verschiebst.

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

Und umgekehrt kann die Kosinusfunktion zur Sinusfunktion verschoben werden, indem du die Funktion um \frac{\pi}{2} $\frac{\pi}{2}$ in die positve x $x$ -Richtung (rechts) schiebst.

\sin(x)=\cos\left(x -\frac{\pi}{2}\right)

\sin(x)=\cos\left(x -\frac{\pi}{2}\right)

Funktion

Sinus

Cosinus

Definitions- und Wertebereich

Definitionsbereich

Bei den Sinus- und Kosinusfunktionen darfst du ohne Einschränkung jede reelle Zahl in die Funktion einsetzen. Deshalb entspricht der Definitionsbereich der Sinus- und Kosinusfunktionen den reellen Zahlen \boxed{\mathbb D= \R} $\boxed{\mathbb D= \R}$ .

Wertebereich

Vielleicht hast du auch schon erkannt, dass die Sinus- und Kosinusfunktionen wellenartig aussehen und genau wie Wellen nicht unendlich groß werden.

Egal, welche reelle Zahl du in f(x)=\sin(x) $f(x)=\sin(x)$ oder g(x)=\cos(x) $g(x)=\cos(x)$ einsetzt, das Ergebnis ist immer eine Zahl im Bereich von y=-1 $y=-1$ bis y=1 $y=1$ .

\implies $\implies$ Der Wertebereich der Funktionen ist \boxed{\mathbb W =[-1 ,1]} $\boxed{\mathbb W =[-1 ,1]}$ .

Merke: Wenn du die Sinus- und Kosinusfunktionen nach oben oder unten verschiebst, oder die Funktion in y $y$ -Richtung streckst, dann ändert sich der Wertebereich.

Nullstellen

Sinusfunktion

Da die Sinusfunktionen periodisch verläuft und sich deshalb immer wiederholt, kannst du einfach die Nullstellen auf dem Intervall [0,2\pi] $[0,2\pi]$ bestimmen und musst dann nur noch die Periodizität verwenden, um die anderen Nullstellen zu bestimmen.

Die Nullstellen auf dem Intervall [0,2\pi] $[0,2\pi]$ sind x_0=0, \quad x_1=\pi,\quad x_2=2\pi $x_0=0, \quad x_1=\pi,\quad x_2=2\pi$ .

Daraus kannst du also schnell die allgemeine Formel herleiten. Wenn k $k$ eine natürliche Zahl ist, dann gilt:

Nullstellen der Sinusfunktion

\boxed{x=k\cdot\pi}

\boxed{x=k\cdot\pi}

Kosinusfunktion

Da die Sinusfunktion einfach nur die Kosinusfunktion - \frac \pi 2 $- \frac \pi 2$ ist, kannst du die Nullstellen also auch einfach um \frac \pi 2 $\frac \pi 2$ verschieben und schon hast du die Nullstellen der Kosinusfunktion.

{\sin(x)=\cos\left(x \col[5]{-\frac{\pi}{2}}\right)}

{\sin(x)=\cos\left(x \col[5]{-\frac{\pi}{2}}\right)}

Nullstellen der Kosinusfunktion

\boxed{x=k\cdot\pi-\frac\pi2}

\boxed{x=k\cdot\pi-\frac\pi2}

Funktion

Sinus

Kosinus

Merke: Beim Verschieben und Strecken der Funktionen können sich die Nullstellen ändern.

Extremstellen

Wir gehen hier genau wie bei den Nullstellen vor:

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Extremstellen der Sinusfunktion auf [0,2\pi] $[0,2\pi]$ bestimmen.

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Durch die Periodizität auf alle Extremstellen schließen.

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Um die Extremstellen der Kosinusfunktion zu erhalten, verschiebe einfach die Extremstellen der Sinusfunktion.

Funktion

Sinus

Cosinus

Sinusfunktion

Hochpunkte

Auf dem Intervall [0,2\pi] $[0,2\pi]$ liegt der Hochpunkt bei x= \frac{\pi}{2} $x= \frac{\pi}{2}$ . Dann beachten wir, dass sich die Funktion nach 2\pi $2\pi$ wiederholt. Also tauchen die Hochpunkte immer bei \frac \pi 2 +2\pi \cdot k $\frac \pi 2 +2\pi \cdot k$ auf (k $k$ ist eine natürliche Zahl).

Hochpunkte Sinusfunktion

x=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k

x=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k

Für die Sinusfunktion gilt an den Hochpunkten für den Funktionswert f(x)=1 $f(x)=1$ .

Die Hochpunkte liegen bei \boxed{\text{H}\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\mid 1\right)} $\boxed{\text{H}\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\mid 1\right)}$ .

Tiefpunkte

Auf dem Intervall [0,2\pi] $[0,2\pi]$ liegt der Tiefpunkt bei x= \frac{ 3 \pi}{2} $x= \frac{ 3 \pi}{2}$ . Jetzt musst du nur wieder die Periode berücksichtigen, also die x $x$ -Koordinate + 2\pi \cdot k $+ 2\pi \cdot k$ rechnen und schon hast du alle Tiefpunkte gegeben (k $k$ ist eine natürliche Zahl).

Tiefpunkte Sinusfunktion

x=\frac{3\pi}{2}+2\pi\cdot k

x=\frac{3\pi}{2}+2\pi\cdot k

Bei den Tiefpunkten gilt f(x)=-1 $f(x)=-1$ .

Die Tiefpunkte liegen bei \boxed{\text{T}\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi\cdot k\mid -1\right)} $\boxed{\text{T}\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi\cdot k\mid -1\right)}$ .

Kosinusfunktion

Es gilt

\sin(x)=\cos\left(x \col[5]{-\frac{\pi}{2}}\right)

\sin(x)=\cos\left(x \col[5]{-\frac{\pi}{2}}\right)

Also musst du die Formeln für die Hoch- und Tiefpunkte einfach verschieben.

Hochpunkte

\begin{aligned} 1=&\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\right)\quad&&\mid\textsf{Verschiebung} \\[2mm] =&\cos\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\col[5]{-\frac{\pi}{2}}\right)\\[2mm] =&\cos\left(\cancel{\frac{\pi}{2}}+2\pi\cdot k\cancel\col[5]{-\frac{\pi}{2}}\right)\quad&&\mid\textsf{Formel vereinfachen}\\[2mm] =&\cos\left(2\pi\cdot k\right) \end{aligned}

\begin{aligned} 1=&\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\right)\quad&&\mid\textsf{Verschiebung} \\[2mm] =&\cos\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\col[5]{-\frac{\pi}{2}}\right)\\[2mm] =&\cos\left(\cancel{\frac{\pi}{2}}+2\pi\cdot k\cancel\col[5]{-\frac{\pi}{2}}\right)\quad&&\mid\textsf{Formel vereinfachen}\\[2mm] =&\cos\left(2\pi\cdot k\right) \end{aligned}

Hochpunkte Kosinusfunktion

x=2\pi\cdot k

x=2\pi\cdot k

Die Hochpunkte liegen bei \boxed{\text{H}(2\pi\cdot k\mid 1)} $\boxed{\text{H}(2\pi\cdot k\mid 1)}$ .

Tiefpunkte

\begin{aligned} -1=&\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi\cdot k\right)\quad&&\mid\textsf{Verschiebung} \\[2mm] =&\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi\cdot k\col[5]{-\frac{\pi}{2}}\right)\\[2mm] =&\cos\left(\pi\cancel{+\frac{\pi}{2}}\cancel\col[5]{-\frac{\pi}{2}}+2\pi\cdot k\right)\quad&&\mid\textsf{Formel vereinfachen}\\[2mm] =&\cos\left(\pi+2\pi\cdot k\right)\\[2mm] \end{aligned}

\begin{aligned} -1=&\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi\cdot k\right)\quad&&\mid\textsf{Verschiebung} \\[2mm] =&\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi\cdot k\col[5]{-\frac{\pi}{2}}\right)\\[2mm] =&\cos\left(\pi\cancel{+\frac{\pi}{2}}\cancel\col[5]{-\frac{\pi}{2}}+2\pi\cdot k\right)\quad&&\mid\textsf{Formel vereinfachen}\\[2mm] =&\cos\left(\pi+2\pi\cdot k\right)\\[2mm] \end{aligned}

Tiefpunkte Kosinusfunktion

x=\pi+2\pi\cdot k

x=\pi+2\pi\cdot k

Die Tiefpunkte liegen bei \boxed{\text{T} \left( \pi+2\pi\cdot k\mid -1 \right)} $\boxed{\text{T} \left( \pi+2\pi\cdot k\mid -1 \right)}$ .

Merke: Beim Verschieben und Strecken der Funktionen können sich die Extremstellen noch ändern.

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Symmetrie

Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Deshalb gilt

\sin(-x)=-\sin(x)

\sin(-x)=-\sin(x)

Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y $y$ -Achse. Deshalb gilt

\cos(-x)=\cos(x)

\cos(-x)=\cos(x)

Funktion

Sinus

Kosinus

Merke: Durch das Verschieben und Strecken der Funktionen kann sich auch die Symmetrie ändern.

Einfluss der Parameter

Die Sinus- und Kosinusfunktionen können durch vier Parameter beliebig verschoben, gestreckt und gestaucht werden.

f(x)=\col[1]a\cdot \sin(\col[2]b\cdot x+\col[3]c)+\col[4]d\\ g(x)=\col[1]a\cdot \cos(\col[2]b\cdot x+\col[3]c)+\col[4]d

f(x)=\col[1]a\cdot \sin(\col[2]b\cdot x+\col[3]c)+\col[4]d\\ g(x)=\col[1]a\cdot \cos(\col[2]b\cdot x+\col[3]c)+\col[4]d

Übersicht

Streckung in y $y$ -Richtung	\col[1]{a} $\col[1]{a}$
Streckung in x $x$ -Richtung	\col[2]{b} $\col[2]{b}$
Verschiebung in x $x$ -Richtung	\col[3]c $\col[3]c$
Verschiebung in y $y$ -Richtung	\col[4]d $\col[4]d$

Schiebe die Regler.

a

b

c

d

Streckung in \large y $\large y$ -Richtung

Durch die Streckung in y $y$ -Richtung kannst du die Amplitude beeinflussen. Die Amplitude beschreibt den Abstand zwischen den Hoch- und Tiefpunkten der Funktion und der x $x$ -Achse.

Die Amplitude \col[1]a $\col[1]a$ berechnest du wie folgt:

\col[1]a=\frac{y_{max}-y_{min}}{2}

\col[1]a=\frac{y_{max}-y_{min}}{2}

Daraus folgt:

Negativer Wert für \col[1]a \implies $\col[1]a \implies$ Funktion wird an der x $x$ -Achse gespiegelt.
Großer Wert für \col[1]a \implies $\col[1]a \implies$ großer Abstand zwischen Hoch- und Tiefpunkt
Kleiner Wert für \col[1]a \implies $\col[1]a \implies$ kleiner Abstand zwischen Hoch- und Tiefpunkt

Streckung in \large x $\large x$ -Richtung

Durch die Streckung in x $x$ -Richtung kannst du die Länge der Periode p $p$ beeinflussen.

Mit dieser Formel kannst du \col[2] b $\col[2] b$ beinflussen:

\col[2]b=\frac {2\pi} p \iff p=\frac {2\pi} {\col[2]b}

\col[2]b=\frac {2\pi} p \iff p=\frac {2\pi} {\col[2]b}

Daraus folgt:

Negativer Wert für \col[2]b \implies $\col[2]b \implies$ Funktion wird an der y $y$ -Achse gespiegelt.
Großer Wert für \col[2]b \implies $\col[2]b \implies$ kleine Länge der Periode
Kleiner Wert für \col[2]b \implies $\col[2]b \implies$ große Länge der Periode

Verschiebung der Funktion

Die Verschiebung der Sinus- und Kosinusfunktionen funktioniert genauso wie die Verschiebung bei den ganzrationalen Funktionen.

Verschiebung in x $x$ -Richtung	Verschiebung in y $y$ -Richtung
f(x)=\sin(x+\col[3]c) $f(x)=\sin(x+\col[3]c)$	f(x)=\sin(x)+\col[4]d $f(x)=\sin(x)+\col[4]d$
Subtrahiere \col[3]c \rightarrow (x-\col[3]c) \implies $\col[3]c \rightarrow (x-\col[3]c) \implies$ Verschiebung um die Zahl nach rechts. Addiere \col[3]c \rightarrow (x+\col[3]c) \implies $\col[3]c \rightarrow (x+\col[3]c) \implies$ Verschiebung um die Zahl nach links. Achtung: Hier musst du wieder umdenken. Obwohl eine Zahl addiert wird, wird die Funktion nach links, also in die negative x $x$ -Richtung, verschoben.	Konstante addieren \implies $\implies$ Verschiebung um die Zahl nach oben. Konstante abziehen \implies $\implies$ Verschiebung um die Zahl nach unten.

Beispiele Sinus- und Kosinusfunktionen

Aufgabe

Gegeben sei die Funktion:

f(x)= 2\cdot\sin\left(x+\frac {3\pi}2\right)+2

f(x)= 2\cdot\sin\left(x+\frac {3\pi}2\right)+2

Gib an, mit welchen Parametern die Funktion h(x)=\sin(x) $h(x)=\sin(x)$ verschoben und gestreckt/gestaucht wurde.
Gib eine Kosinusfunktion an, die denselben Funktionsgraphen wie f(x) $f(x)$ besitzt.
Gib den Definitions- und Wertebereich der Funktion an.

Lösung

Parameter angeben

Die Sinusfunktion kann durch Parameter wie folgt verändert werden.

f(x)=\col[1]a\cdot \sin(\col[2]b\cdot (x+\col[3]c))+\col[4]d\\ g(x)=\col[1]a\cdot \cos(\col[2]b\cdot (x+\col[3]c))+\col[4]d

f(x)=\col[1]a\cdot \sin(\col[2]b\cdot (x+\col[3]c))+\col[4]d\\ g(x)=\col[1]a\cdot \cos(\col[2]b\cdot (x+\col[3]c))+\col[4]d

\col[1]{a} \implies $\col[1]{a} \implies$ Streckung in y $y$ -Richtung

\col[2]{b} \implies $\col[2]{b} \implies$ Streckung in x $x$ -Richtung

\col[3]{c} \implies $\col[3]{c} \implies$ Verschiebung in x $x$ -Richtung

\col[4]{d} \implies $\col[4]{d} \implies$ Verschiebung in y $y$ -Richtung

f(x)= \col[1]2\cdot\sin\left(x+\col[3]{\frac {3\pi}{2}}\right)+\col[4]2

f(x)= \col[1]2\cdot\sin\left(x+\col[3]{\frac {3\pi}{2}}\right)+\col[4]2

Die Funktion wurde also mit dem Faktor \col[1] 2 $\col[1] 2$ gestreckt. Das heißt, die Amplitude wurde verdoppelt und beträgt jetzt 2 $2$ .

Die Funktion wurde um \col[3] {\frac{3\pi}{2}} $\col[3] {\frac{3\pi}{2}}$ Stellen in die negative x $x$ -Richtung verschoben. (Innerhalb der Klammern ist die Verschiebung kontraintuitiv. Positive Zahl \implies $\implies$ Verschiebung ins Negative)

Die Funktion wurde um \col[4] 2 $\col[4] 2$ Stellen in die positive y $y$ -Richtung verschoben.

Koordinatensystem, in dem die Funktion f(x) eingezeichnet ist.

Kosinusfunktion angeben

Hier gibt es unendlich viele Lösungen.

\begin{aligned} \cos(x) &= \sin\left(x + k\cdot\frac{\pi}{2}\right)\\[3mm] &\textsf{mit} \quad k \in\N \end{aligned}

\begin{aligned} \cos(x) &= \sin\left(x + k\cdot\frac{\pi}{2}\right)\\[3mm] &\textsf{mit} \quad k \in\N \end{aligned}

Du kannst also einfach die gegebene Sinusfunktion um \frac{\pi}{2} $\frac{\pi}{2}$ in die negative x $x$ -Richtung verschieben und schon hast du eine mögliche Kosinusfunktion.

\begin{aligned} g(x)&= 2\cdot\cos\left(x+\frac {3\pi}2\col[5]{-\frac{\pi}{2}}\right)+2\\ &= 2\cdot\cos\left(x+\frac {2\pi}2\right)+2\\ &= 2\cdot\cos\left(x+{\pi}\right)+2 \end{aligned}

\begin{aligned} g(x)&= 2\cdot\cos\left(x+\frac {3\pi}2\col[5]{-\frac{\pi}{2}}\right)+2\\ &= 2\cdot\cos\left(x+\frac {2\pi}2\right)+2\\ &= 2\cdot\cos\left(x+{\pi}\right)+2 \end{aligned}