Rationale Zahlen addieren & subtrahieren

In der Mathematik und im Alltag stolperst du oftmals über Rechnungen die sowohl Brüche als auch Dezimalzahlen enthalten.

Aber wie genau funktioniert das Addieren & Subtrahieren hier? Welche Tricks gibt es und welche Rechengesetze darfst du hier anwenden?

simpleclub hilft dir dabei, auch diese Rechnungen mit links zu meistern.

Rationale Zahlen addieren & subtrahieren einfach erklärt

Rationale Zahlen kannst du miteinander addieren & subtrahieren indem du alle Zahlen als Dezimalzahlen, ganze Zahlen oder als Brüche ausdrückst. Als nächstes wendest du dann einfach die dir bekannten Rechenregeln an und berechnest das Ergebnis.

Rationale Zahlen addieren & subtrahieren Definition

Rationale Zahlen kannst du miteinander addieren & subtrahieren indem du alle Zahlen als Dezimalzahlen oder als Bruch ausdrückst und mit den dir bekannten Regeln rechnest.


Rationale Zahlen addieren & subtrahieren Erklärung

Addieren & Subtrahieren von rationalen Zahlen kannst du weiterhin auf dem Zahlenstrahl betrachten, allerdings kannst du dir auch einfach die Zahlen im Kopf berechnen und dir folgendes merken:

  • Eine rationale Zahl wird größer, wenn du eine positive Zahl addierst oder eine negative Zahl subtrahierst.

  • Eine rationale Zahl wird kleiner, wenn du eine positive Zahl subtrahierst oder eine negative Zahl addierst.

Addieren mit einer positiven Zahl

4+4,5= 8,54+4,5=8,54+4,5= 8,5

\rarr\rarr Zahl wird größer

Subtrahieren mit einer positiven Zahl

4-4,5=-0,544,5=0,54-4,5=-0,5

\rarr\rarr Zahl wird kleiner

Addieren mit einer negativen Zahl

8-6=286=28-6=2

\rarr\rarr Zahl wird kleiner

Subtrahieren mit einer negativen Zahl

8-(-6)=8+6=148(6)=8+6=148-(-6)=8+6=14

\rarr\rarr Zahl wird größer

Um zwei rationale Zahlen zu addieren oder zu subtrahieren, musst du darauf achten, dass die beiden Zahlen von derselben Zahlenart sind.
\rarr\rarr Wenn das nicht der Fall ist, dann musst du eine oder mehrere Zahlen in eine andere Zahlenart umwandeln und als Bruch, Dezimalzahl oder ganze Zahl ausdrücken.

Zum Glück weißt du aber auch, dass du jede rationale Zahl auch als Bruch ausdrücken kannst, somit ist das gar nicht schwer.

Umformen der Zahlenarten

Umformen von Dezimalzahl zu Bruch

Gehe einfach die drei Schritte zur Umwandlung von endlichen Dezimalzahlen in Brüche durch.

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} **Zähler** bestimmen

Die Zahl hinter dem Komma bestimmt den Zähler deines Bruches:

18 \rarr \col[1]{ 18 }181818 \rarr \col[1]{ 18 }

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} **Nenner** bestimmen

Die Anzahl der Ziffern deiner Zahl hinter dem Komma bestimmt den Nenner:

18 \rarr \col[2]{ 2}18218 \rarr \col[2]{ 2} Ziffern \Rarr\Rarr Nenner = \col[2]{ 100 }=100= \col[2]{ 100 }

\fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\fcolorbox{white}{grey}{3.} Bruch aufschreiben

\frac{ 18 } { 100 }18100\frac{ 18 } { 100 }

Umformen von Bruch zu Dezimalzahl

Wenn du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln willst und der Nenner von der bestimmten Form ist, dann kannst du einfach immer die folgenden Schritte anwenden:

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Bruch zu Zehnerbruch **erweitern**

\frac{2\col[5]{\cdot 2}}{5\col[5]{\cdot 2}}=\frac{4}{10}2252=410\frac{2\col[5]{\cdot 2}}{5\col[5]{\cdot 2}}=\frac{4}{10}

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Kommaverschiebung

Die Anzahl der Nullen im Nenner bestimmt die Anzahl der Stellen, um die du das Komma nach links verschieben musst.

Nenner = \col[2]{{\textsf{ 10}}} \rarr10\col[2]{{\textsf{ 10}}} \rarr Anzahl der Nullen = \col[2]{{1}}1\col[2]{{1}}

\implies\implies Du musst das Komma um \col[2]{1}1\col[2]{1} Stellen nach links verschieben

\fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\fcolorbox{white}{grey}{3.} Dezimalzahl aufschreiben

\implies \frac{2}{5}= \lsg{0,4} 25=0,4\implies \frac{2}{5}= \lsg{0,4}

Wenn du das gemacht hast und alle Zahlen derselben Zahlenart entsprechen, dann kannst mit den dir bereits bekannten Rechenregeln der Brüche, Dezimalzahlen und ganzen Zahlen weiter rechnen.

Rechenregeln & Tricks beim addieren & subtrahieren von rationalen Zahlen

Rechengesetze

Bei längeren Rechnungen kann es oft helfen die Rechnung erst zu vereinfachen und dann zu rechnen. Die Rechengesetze zeigen dir wie du die Rechenausdrücke vereinfachen darfst.

  1. Das Kommutativgesetz (auch Vertauschungsgesetz) ermöglicht es dir in einer Summe die Plätze der einzelnen Summanden zu tauschen.
\begin{aligned} &26,6+\frac{21}{5}+55,7\\ =&26,6+55,7+\frac{21}{5} \end{aligned}26,6+215+55,7=26,6+55,7+215\begin{aligned} &26,6+\frac{21}{5}+55,7\\ =&26,6+55,7+\frac{21}{5} \end{aligned}
  1. Assoziativgesetz (auch Verknüpfungsgesetz) erlaubt dir in Summen beliebig Klammer hinzuzufügen oder wegzunehmen.
\begin{aligned} &26,6+55,7+\frac{21}{5}\\ =&(26,6+55,7)+\frac{21}{5} \end{aligned}26,6+55,7+215=(26,6+55,7)+215\begin{aligned} &26,6+55,7+\frac{21}{5}\\ =&(26,6+55,7)+\frac{21}{5} \end{aligned}

Achtung: diese Rechengesetzte darfst du nur bei Summen also in der Addition anwenden.

Trick für Summen

Es gibt allerdings einen Trick, wie du jede Subtraktion auch als Addition schreiben kannst. Den zeigen wir dir jetzt.

Wenn du eine beliebige Rechnung mit einer Subtraktion zu einer Addition überführen willst, musst du das **Rechenzeichen** von dem **Vorzeichen** trennen. Dabei musst du immer eine Klammer um das **Vorzeichen** und die einzelne Zahl machen.

\begin{aligned} &\frac{33}{50}+ 2,7-\frac{13}{50}\\ =&\left(\col[2]+\frac{33}{50}\right)\col[1]+ (\col[2]+2,7)\col[1]+\left(\col[2]-\frac{13}{50}\right) \end{aligned}3350+2,71350=(+3350)+(+2,7)+(1350)\begin{aligned} &\frac{33}{50}+ 2,7-\frac{13}{50}\\ =&\left(\col[2]+\frac{33}{50}\right)\col[1]+ (\col[2]+2,7)\col[1]+\left(\col[2]-\frac{13}{50}\right) \end{aligned}

Wenn das **Vorzeichen** einer Zahl ein +++ ist, dann kannst du sowohl das **Vorzeichen** als auch die Klammer einfach weglassen. Falls das Vorzeichen ein -- ist, lässt du die Klammer stehen.

Bei den Zahlen mit dem Vorzeichen -- kannst du als Rechenzeichen jetzt ein +++ vor die Klammer setzten und das -- ziehst du in die Klammer hinein.

=\frac{33}{50}\col[1]+ 2,7\col[1]+\left(\col[2]-\frac{13}{50}\right)=3350+2,7+(1350)=\frac{33}{50}\col[1]+ 2,7\col[1]+\left(\col[2]-\frac{13}{50}\right)

Jetzt hast du also anstatt einer Subtraktion eine Addition mit einer negativen Zahl.

Trick ganze Zahlen & Dezimalzahlen

Wenn du eine ganze Zahl mit einer Dezimalzahl addieren oder subtrahieren möchtest, dann kannst du dir das Umformen sparen, denn eine ganze Zahl ist eigentlich nur eine Dezimalzahl mit einer 000 nach dem Komma.

In der Aufgabe 4 +12,74+12,74 +12,7 hast du zwar eine Dezimalzahl und eine ganze Zahl gegeben, die 444 ist aber nichts anderes als eine 4,04,04,0 als Dezimalzahl und du kannst ohne großes Umformen weiter rechnen und weißt also 4+ 12,7 = 16,74+12,7=16,74+ 12,7 = 16,7.


Rationale Zahlen addieren & subtrahieren Beispiele

1. Rechnung

Hier siehst du einmal alle Tricks und Rechengesetze in einer Aufgabe angewendet.

\begin{aligned} &16+\frac{17}{20}-7,5-\frac{1}{10}\\ =&16+\frac{17}{20}+(-7,5)+\left(-\frac{1}{10}\right)\\ =&(16+(-7,5))+\frac{17}{20}+\left(-\frac{1}{10}\right)\\ =&8,5+\frac{17}{20}+\left(-\frac{1\cdot2}{10\cdot 2}\right)\\ =&\frac{85}{10}+\frac{17}{20}+\left(-\frac{2}{20}\right)\\ =&\frac{85\cdot 2}{10\cdot 2}+\frac{17}{20}+\left(-\frac{2}{20}\right)\\ =&\frac{170}{20}+\frac{17}{20}+\left(-\frac{2}{20}\right)\\ =&\frac{170+17+(-2)}{20}\\ =&\lsg{\frac{185}{20}} \end{aligned}16+17207,5110=16+1720+(7,5)+(110)=(16+(7,5))+1720+(110)=8,5+1720+(12102)=8510+1720+(220)=852102+1720+(220)=17020+1720+(220)=170+17+(2)20=18520\begin{aligned} &16+\frac{17}{20}-7,5-\frac{1}{10}\\ =&16+\frac{17}{20}+(-7,5)+\left(-\frac{1}{10}\right)\\ =&(16+(-7,5))+\frac{17}{20}+\left(-\frac{1}{10}\right)\\ =&8,5+\frac{17}{20}+\left(-\frac{1\cdot2}{10\cdot 2}\right)\\ =&\frac{85}{10}+\frac{17}{20}+\left(-\frac{2}{20}\right)\\ =&\frac{85\cdot 2}{10\cdot 2}+\frac{17}{20}+\left(-\frac{2}{20}\right)\\ =&\frac{170}{20}+\frac{17}{20}+\left(-\frac{2}{20}\right)\\ =&\frac{170+17+(-2)}{20}\\ =&\lsg{\frac{185}{20}} \end{aligned}

2. Rechnung

Aufgabe:

Berechne.

(-0,4)+\frac{5}{10}(0,4)+510(-0,4)+\frac{5}{10}

Lösung:

Halte dich einfach an diese Schritte, um die Aufgabe zu lösen.

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Zahlenarten umformen

(-0,4)+\frac{5}{10}(0,4)+510(-0,4)+\frac{5}{10}

Jetzt kannst du entweder den Bruch als Dezimalzahl ausdrücken oder die Dezimalzahl als Bruch. Wir haben dir hier einmal beide Varianten aufgezeigt.

Variante 1

\left(-\frac{4}{10}\right)+\frac{5}{10}(410)+510\left(-\frac{4}{10}\right)+\frac{5}{10}

Hier kann es sein, dass du, je nachdem welche Zahl gegeben ist, noch eine Nebenrechnung zum Umwandeln der Zahlenart benötigst.

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Ergebnis berechnen

\left(-\frac{4}{10}\right)+\frac{5}{10}=\lsg{\frac{1}{10}} (410)+510=110\left(-\frac{4}{10}\right)+\frac{5}{10}=\lsg{\frac{1}{10}}

Variante 2

Hier kann es sein, dass du, je nachdem welche Zahl gegeben ist, noch eine Nebenrechnung zum Umwandeln der Zahlenart benötigst.

(-0,4)+0,5(0,4)+0,5(-0,4)+0,5

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Ergebnis berechnen

(-0,4)+0,5=\lsg{0,1}(0,4)+0,5=0,1(-0,4)+0,5=\lsg{0,1}

Zum Ende Überprüfen wir noch einmal, ob beide Ergebnisse übereinstimmen.

\frac{1}{10}=0,1 \quad \col[1]{\checkmark}110=0,1\frac{1}{10}=0,1 \quad \col[1]{\checkmark}

Rationale Zahlen addieren & subtrahieren Zusammenfassung

\\\\
  • Du kannst rationale Zahlen addieren & subtrahieren, indem du alle Zahlen als dieselbe Zahlenart ausdrückst (ganze Zahlen, Brüche und Dezimalzahlen).

  • Nach dem Umformen musst du nur noch die dir bereits bekannten Rechenregeln anwenden.

  • Eine rationale Zahl wird größer, wenn du eine positive Zahl addierst oder eine negative Zahl subtrahierst.

  • Eine rationale Zahl wird kleiner, wenn du eine positive Zahl subtrahierst oder eine negative Zahl addierst.

  • Bei den rationalen Zahlen gilt für Summen sowohl das Kommutativgesetz (auch Vertauschungsgesetz) als auch das Assoziativgesetz (auch Verknüpfungsgesetz).

  • Die Rechengesetze kannst du nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen.

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