Eine häufige Anwendung der Integralrechnung ist die Berechnung der Bogenlänge. Von einem gegebenem Graph kannst du mithillfe des Integrals die Länge des Graphen auf einem bestimmten Intervall berechnen.

simpleclub zeigt dir, wie das geht!

Bogenlänge Definition

Die Bogenlänge einer Funktion f(x) $f(x)$ über dem Intervall [\col[1]{a};\col[2]{b}] $[\col[1]{a};\col[2]{b}]$ beschreibt die Länge der Funktionskurve in dem genannten Intervall. Sie lässt sich mit

L=\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ \text{d}x

L=\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ \text{d}x

berechnen.

Erklärung

Tippe den Schalter!

Stell dir vor, die Funktion f(x) $f(x)$ über dem Intervall [\col[1]{0};\col[2]{1280}] $[\col[1]{0};\col[2]{1280}]$ modelliert das Hauptkabel der Brooklyn Bridge in New York.

Du möchtest nun wissen, wie lang das Hauptkabel ist.

Diese kannst du mit der sogenannten Bogenlänge bestimmen:

Die Bogenlänge einer Funktion f (x) $f (x)$ über dem Intervall [\col[1]{a};\col[2]{b}] $[\col[1]{a};\col[2]{b}]$ beschreibt die genaue Länge der Funktionskurve.

Man sieht die Brooklyn Bridge und deren Kabel in Form einer Parabel ist mit Bogenlänge beschriftet.

Die Bogenlänge lässt sich dann mit folgender Formel berechnen:

L=\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ \text{d}x

L=\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ \text{d}x

Hierbei ist

\col[2]{b} $\col[2]{b}$ die obere Intervallgrenze und
\col[1]{a} $\col[1]{a}$ die untere Intervallgrenze

Vorgehensweise

\fcolorbox{grey}{grey}{1} $\fcolorbox{grey}{grey}{1}$ Ableitung \large f'(x) $\large f'(x)$ bestimmen

Zunächst bestimmst du von der gegebenen Funktion f(x) $f(x)$ die Ableitung, damit du diese im nächsten Schritt in die Formel für die Bogenlänge einsetzen kannst.

Du erhältst:

f'(x)=\ ?

f'(x)=\ ?

\fcolorbox{grey}{grey}{2} $\fcolorbox{grey}{grey}{2}$ Bogenlänge \large L $\large L$ berechnen

Jetzt musst du die eben berechnete Ableitung f'(x) $f'(x)$ und die Intervallgrenzen \col[1]{a} $\col[1]{a}$ und \col[2]{b} $\col[2]{b}$ in die Formel

\boxed{L=\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ \text{d}x}

\boxed{L=\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ \text{d}x}

einsetzen. Den Ausdruck kannst du dann einfach in den Taschenrechner eingeben und ausrechnen.

Du erhältst:

L=\ ? \ \text{LE}

L=\ ? \ \text{LE}

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Beispiel

Aufgabenstellung

Bestimme die Bogenlänge L $L$ des Graphens der Funktion

f(x)=2-\frac{1}{2}x^2

f(x)=2-\frac{1}{2}x^2

über dem Intervall [\col[1]{-2};\col[2]{2}] $[\col[1]{-2};\col[2]{2}]$ .

Lösung

\fcolorbox{grey}{grey}{1} $\fcolorbox{grey}{grey}{1}$ Ableitung \large f'(x) $\large f'(x)$ bestimmen

Möchtest du die Bogenlänge berechnen, bildest du zunächst die Ableitung der Funktion

f(x)=2-\frac{1}{2}x^2

f(x)=2-\frac{1}{2}x^2

Du erhältst:

f'(x)=-x

f'(x)=-x

\fcolorbox{grey}{grey}{2} $\fcolorbox{grey}{grey}{2}$ Bogenlänge \large L $\large L$ berechnen

Nun musst du einfach die Ableitung f'(x) $f'(x)$ und die Intervallgrenzen \col[1]{-2} $\col[1]{-2}$ und \col[2]{2} $\col[2]{2}$ in die Formel für die Bogenlänge einsetzen und ganz normal integrieren.

Du erhältst:

\begin{aligned} L&=\int\limits_{\col[1]{-2}}^{\col[2]{2}}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ \text{d}x \\[2mm] &=\int\limits_{\col[1]{-2}}^{\col[2]{2}}\sqrt{1+(-x)^2}\ \text{d}x \\[2mm] &=\int\limits_{\col[1]{-2}}^{\col[2]{2}}\sqrt{1+x^2}\ \text{d}x \quad \longleftarrow \textsf{in Taschenrechner eingeben} \\[2mm] &\approx \lsg{5,92 \ \text{LE}} \end{aligned}

\begin{aligned} L&=\int\limits_{\col[1]{-2}}^{\col[2]{2}}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ \text{d}x \\[2mm] &=\int\limits_{\col[1]{-2}}^{\col[2]{2}}\sqrt{1+(-x)^2}\ \text{d}x \\[2mm] &=\int\limits_{\col[1]{-2}}^{\col[2]{2}}\sqrt{1+x^2}\ \text{d}x \quad \longleftarrow \textsf{in Taschenrechner eingeben} \\[2mm] &\approx \lsg{5,92 \ \text{LE}} \end{aligned}

Die Bogenlänge der Funktion f(x) $f(x)$ über dem Intervall [\col[1]{-2};\col[2]{2}] $[\col[1]{-2};\col[2]{2}]$ beträgt circa L=5,92 $L=5,92$ Längeneinheiten.

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Bogenlänge Zusammenfassung

Die Bogenlänge einer Kurve ist die Länge einer Funktionskurve auf einem bestimmten Intervall. Diese kannst du mithilfe des Integrals berechnen.

Die entsprechende Formel lautet:

L=\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ \text{d}x

L=\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ \text{d}x

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