Lineare Funktion aufstellen

Eine Gerade kann in einem Koordinatensystem mithilfe des zugehörigen Funktionsterms der linearen Funktion dargestellt werden.

Eine lineare Funktion ist eine Funktion 1. Grades und hat als Graph eine Gerade.

y = \textcolor{sc_color_1} {m} \cdot x + \textcolor{sc_color_2} {c}y=mx+cy = \textcolor{#7F7706} {m} \cdot x + \textcolor{#0069FC} {c}\textcolor{sc_color_1} {\textit{m = Steigung}}m=Steigung\textcolor{#7F7706} {\textit{m = Steigung}}\textcolor{sc_color_2} {\textit{c = Schnittstelle mit y-Achse}}c=Schnittstellemity-Achse\textcolor{#0069FC} {\textit{c = Schnittstelle mit y-Achse}}

Vorgehensweise

Gegeben sind zwei Punkte A und B.

Schritt 1: Steigung m berechnen

Setze zur Berechnung der Steigung die Punkte in die folgende Gleichung ein:

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}m=ΔyΔxm=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=yByAxBxA=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Schritt 2: Schnittstelle mit y-Achse c berechnen

Setze m sowie einen der Punkte in die Ursprungsgleichung ein. Zum Beispiel:

y_A=mx_A+cyA=mxA+cy_A=mx_A+c

Schritt 3: Gerade aufstellen

Vervollständige die Usprungsgleichung mit c.

Zeichnen

Gucke dir zunächst deine Schnittstelle mit der y-Achse an und markiere dir diese Stelle.

Von dort aus erstellst du mit der Steigung m ein Steigungsdreieck.

Auf der Grafik siehst du zwei Beispiele für die folgende Erklärung.

Schreibe dir die Steigung dafür als Bruch auf. Dann gehst du von der Schnittstelle aus so viele Einheiten nach rechts, wie der Nenner anzeigt und so viele Einheiten nach oben (falls Bruch positiv) bzw. nach unten (falls Bruch negativ), wie der Zähler anzeigt.

Markiere den entstehenden Punkt und zeichne durch ihn und die Schnittstelle deine fertige Gerade.


Beispiele

Standardbeispiel

Stelle eine Gerade aus den Punkten P und Q auf!

P~(1|-2)P(12)P~(1|-2)Q~(3|5)Q(35)Q~(3|5)

Schritt 1: Steigung m berechnen

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-(-2)}{3-1}=\frac{7}{2}m=ΔyΔx=5(2)31=72m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-(-2)}{3-1}=\frac{7}{2}

Schritt 2: Schnittstelle mit y-Achse c berechnen

y=\frac{7}{2}x+cy=72x+cy=\frac{7}{2}x+c

Setze P ein.

\implies -2=\frac{7}{2}+c \ \ \ | -\frac{7}{2} \\ \Leftrightarrow c=-\frac{11}{2}2=72+c72c=112\implies -2=\frac{7}{2}+c \ \ \ | -\frac{7}{2} \\ \Leftrightarrow c=-\frac{11}{2}

Schritt 3: Gerade aufstellen

y=\frac{7}{2}x-\frac{11}{2}y=72x112y=\frac{7}{2}x-\frac{11}{2}
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Gerade durch Koordinatenursprung

Stelle eine Gerade aus den Punkten P und Q auf!

P~(4|2)P(42)P~(4|2)Q~(-2|-1)Q(21)Q~(-2|-1)

Schritt 1: Steigung m berechnen

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(-1)-2}{(-2)-4}=\frac{1}{2}m=ΔyΔx=(1)2(2)4=12m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(-1)-2}{(-2)-4}=\frac{1}{2}

Schritt 2: Schnittstelle mit y-Achse c berechnen

y=\frac{1}{2}x+cy=12x+cy=\frac{1}{2}x+c

Setze P ein.

\implies 2=\frac{1}{2}\cdot4+c \\ \Leftrightarrow 2=2+c \ \ \ |-2 \\ \Leftrightarrow c=02=124+c2=2+c2c=0\implies 2=\frac{1}{2}\cdot4+c \\ \Leftrightarrow 2=2+c \ \ \ |-2 \\ \Leftrightarrow c=0

Schritt 3: Gerade aufstellen

y = \frac{1}{2} \cdot x + 0y=12x+0y = \frac{1}{2} \cdot x + 0

oder

y=\frac{1}{2}xy=12xy=\frac{1}{2}x
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Gerade parallel zur \Large{x}_{}x\Large{x}_{}-Achse

Stelle eine Gerade aus den Punkten P und Q auf!

P~(2|3)P(23)P~(2|3)Q~(-1|3)Q(13)Q~(-1|3)

Schritt 1: Steigung m berechnen

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3-3}{(-1)-2}=0m=ΔyΔx=33(1)2=0m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3-3}{(-1)-2}=0

Schritt 2: Schnittstelle mit y-Achse c berechnen

y = 0 \cdot x + cy=0x+cy = 0 \cdot x + c

Setze Q ein.

\implies 3=0\cdot(-1)+c \\ \Leftrightarrow c=33=0(1)+cc=3\implies 3=0\cdot(-1)+c \\ \Leftrightarrow c=3

Schritt 3: Gerade aufstellen

y = 0 \cdot x + 3y=0x+3y = 0 \cdot x + 3

oder

y=3y=3y=3
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