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Punktprobe bei einer Ebene

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Punktprobe bei einer Ebene

Beschäftigst du dich in Mathe gerade mit der Lagebeziehungen von Punkten und Ebenen?

Dann solltest du sicherlich auch prüfen können, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt.

simpleclub erklärt dir Schritt für Schritt, wie du eine solche Überprüfung machst.

Punktprobe bei einer Ebene einfach erklärt

Punktprobe bei einer Ebene Definition

Für die Punktprobe bei einer Ebene musst du den jeweiligen Punkt in die Ebenengleichung einsetzen.

Punktprobe bei einer Ebene Vorgehensweise

Du hast einen Punkt und eine Ebene gegeben.

Schritt 1: Punkt in Ebene einsetzen.

Schritt 2: Gleichung bzw. Gleichungssystem lösen.

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Falls du für das Gleichungssystem bzw. die Gleichung eine Lösung erhältst, so liegt der Punkt in der Ebene. Falls nicht, liegt er nicht in der Ebene.

Punktprobe bei einer Ebene Beispiele

Ebene in Parameterform

Überprüfe, ob der Punkt auf der Ebene liegt!

E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}E:x⃗=(241)+r⋅(−580)+s⋅(−372)E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}P~(7|-4|1)P(7∣−4∣1)P~(7|-4|1)

Schritt 1: Punkt in Ebene einsetzen.

\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} +r\cdot\begin{pmatrix} -5 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}(7−41)=(241)+r⋅(−580)+s⋅(−372)\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} +r\cdot\begin{pmatrix} -5 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}

Schritt 2: Gleichung bzw. Gleichungssystem lösen.

\textit{I.)}~~~~7=2-5r-3sI.)7=2−5r−3s\textit{I.)}~~~~7=2-5r-3s\textit{II.)}~~~-4=4+8r+7sII.)−4=4+8r+7s\textit{II.)}~~~-4=4+8r+7s\textit{III.)}~~1=1+2sIII.)1=1+2s\textit{III.)}~~1=1+2s

Aus III ergibt sich:

1=1+2s \ \ \ |-1 \\ \Leftrightarrow 0=2s \implies \underline{s=0}1=1+2s∣−1⇔0=2s⟹s=0‾1=1+2s \ \ \ |-1 \\ \Leftrightarrow 0=2s \implies \underline{s=0}

Setze s=0 in II ein.

\implies -4=4+8r \ \ \ |-4 \\ \Leftrightarrow -8=8r \ \ \ |:8 \\ \Leftrightarrow \underline{r=-1}⟹−4=4+8r∣−4⇔−8=8r∣:8⇔r=−1‾\implies -4=4+8r \ \ \ |-4 \\ \Leftrightarrow -8=8r \ \ \ |:8 \\ \Leftrightarrow \underline{r=-1}

Setze r=-1 und s=0 in I ein.

\implies 7=2-5\cdot(-1)-3\cdot0 \\ \Leftrightarrow 7=7 ~~ \textit{ w.A.}⟹7=2−5⋅(−1)−3⋅0⇔7=7w.A.\implies 7=2-5\cdot(-1)-3\cdot0 \\ \Leftrightarrow 7=7 ~~ \textit{ w.A.}

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Das Gleichungssystem hat eine Lösung. Demzufolge liegt der Punkt in der Ebene.

Ebene in Normalenform

Überprüfe, ob der Punkt auf der Ebene liegt!

E:~\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=0E:(203)⋅(x⃗−(2−31))=0E:~\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=0Q~(1|2|5)Q(1∣2∣5)Q~(1|2|5)

Schritt 1: Punkt in Ebene einsetzen.

\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix})=0(203)⋅((125)−(2−31))=0\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix})=0

Schritt 2: Gleichung bzw. Gleichungssystem lösen.

\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}=0(203)⋅(−154)=0\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}=0\Leftrightarrow 2\cdot(-1) + 0 \cdot 5 +3\cdot4=0⇔2⋅(−1)+0⋅5+3⋅4=0\Leftrightarrow 2\cdot(-1) + 0 \cdot 5 +3\cdot4=0\Leftrightarrow -2+12=0 \\ \Leftrightarrow 10=0 ~~ \textit{ f.A.}⇔−2+12=0⇔10=0f.A.\Leftrightarrow -2+12=0 \\ \Leftrightarrow 10=0 ~~ \textit{ f.A.}

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Die Gleichung hat keine Lösung. Demzufolge liegt der Punkt nicht in der Ebene.

Ebene in Koordinatenform

Überprüfe, ob der Punkt auf der Ebene liegt!

E:~2x-3y+4z=5E:2x−3y+4z=5E:~2x-3y+4z=5R~(6|1|-1)R(6∣1∣−1)R~(6|1|-1)

Schritt 1: Punkt in Ebene einsetzen.

2\cdot6-3\cdot1+4\cdot(-1)=52⋅6−3⋅1+4⋅(−1)=52\cdot6-3\cdot1+4\cdot(-1)=5

Schritt 2: Gleichung bzw. Gleichungssystem lösen.

\Leftrightarrow 12-3-4=5 \\ \Leftrightarrow 5=5 ~~ \textit{ w.A.}⇔12−3−4=5⇔5=5w.A.\Leftrightarrow 12-3-4=5 \\ \Leftrightarrow 5=5 ~~ \textit{ w.A.}

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Die Gleichung hat eine Lösung. Demzufolge liegt der Punkt in der Ebene.

\mathrm{e}e\mathrm{e}
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