Kompositionen & Umkehrabbildungen

Die Komposition zweier Abbildungen fff und ggg ist folgendermaßen definiert:

\begin{aligned} (f \circ g)(x)=f(g(x)) \end{aligned}(fg)(x)=f(g(x))\begin{aligned} (f \circ g)(x)=f(g(x)) \end{aligned}

Allgemeines

Bei der Komposition f \circ gfgf \circ g wird jedem Urbild xxx aus der Menge LLL genau ein Bild (f \circ g)(x)(fg)(x)(f \circ g)(x) aus der Menge NNN zugeordnet.

Beachte: Zuerst wird ggg auf xxx und danach fff auf g(x)g(x)g(x) angewendet.

Hier ist eine Komposition von L nach M nach N abgebildet.
\begin{aligned} (f \circ g)(x)=f(g(x)) \end{aligned}(fg)(x)=f(g(x))\begin{aligned} (f \circ g)(x)=f(g(x)) \end{aligned}

Wird gelesen als: „ggg verkettet mit fff“.
Dabei ist fff die äußere Funktion und ggg die innere Funktion.

Aufpassen: Auch wenn das fff als erstes geschrieben wird, werden die Abbildungen von rechts nach links aufgerufen.

Vorgehen

  1. Setze das Funktionsargument xxx in die Funktion ggg ein.

    \rarr\rarr Als Funktionswert erhältst du dann g(x)g(x)g(x).

  2. g(x)g(x)g(x) setzt du wiederum in die Funktion f(x)f(x)f(x) ein und erhältst als neuen Funktionswertf(g(x))f(g(x))f(g(x)).

Es ist auch möglich eine beliebige Anzahl an Funktionen zu verketten. Bei drei Funktionen würde das wie folgt aussehen:

\begin{aligned} (f \circ g \circ h)(x)=f(g(h(x))) \end{aligned}(fgh)(x)=f(g(h(x)))\begin{aligned} (f \circ g \circ h)(x)=f(g(h(x))) \end{aligned}

Eigenschaften von Kompositionen

  • Kompositionen von Abbildungen sind assoziativ, es gilt also
\begin{aligned} \quad f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h . \end{aligned}f(gh)=(fg)h.\begin{aligned} \quad f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h . \end{aligned}
  • Kompositionen von Abbildungen sind i.A. nicht kommutativ, d.h.
\begin{aligned} \quad f \circ g \neq g \circ f . \end{aligned}fggf.\begin{aligned} \quad f \circ g \neq g \circ f . \end{aligned}

~\quad \rarr~\quad \rarr Bei Kompositionen muss stets auf die Reihenfolge geachtet werden

  • Die Komposition zweier injektiver (bzw. surjektiver, bijektiver) Abbildungen ist injektiv (surjektiv, bijektiv).
  • Stimmt der Wertebereich mit dem Definitionsbereich überein, dann kann die n-fache Komposition von fff gebildet werden. Diese schaut dann wie folgt aus:
\begin{aligned} \qquad f^n= \underbrace{{f\circ f \circ ... \circ f}}_{\textsf{n-mal}} \end{aligned} fn=ff...fn-mal\begin{aligned} \qquad f^n= \underbrace{{f\circ f \circ ... \circ f}}_{\textsf{n-mal}} \end{aligned}

Umkehrabbildung

Handelt es sich bei f:M \rarr Nf:MNf:M \rarr N um eine bijektive Abbildung, dann ist fff umkehrbar. Die Abbildung

\begin{aligned} f^{-1}: N \rarr M, \ y \mapsto f(y):=x, \end{aligned}f1:NM,yf(y):=x,\begin{aligned} f^{-1}: N \rarr M, \ y \mapsto f(y):=x, \end{aligned}

die jedem y \in NyNy \in N das eindeutig bestimmte Urbild x \in MxMx \in M zuordnet, wird als Umkehrabbildung oder Inverse von fff bezeichnet.

Hier sind eine Abbildung und deren Inverse abgebildet.

Beispiel

Aufgabe

Gegeben seien die Funktionen fff und ggg:

\begin{aligned} &f(x)=x+1,\ g(x)=x^2 \end{aligned}f(x)=x+1,g(x)=x2\begin{aligned} &f(x)=x+1,\ g(x)=x^2 \end{aligned}

Bestimme die Komposition g \circ fgfg \circ f.

Lösung

In diesem Fall würde die Komposition von fff und ggg folgendes ergeben:

\begin{aligned} (g \circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(x+1)\\ &=(x+1)^2 \end{aligned}(gf)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)2\begin{aligned} (g \circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(x+1)\\ &=(x+1)^2 \end{aligned}

Dieses Zusammenspiel kannst du dir wie folgt veranschaulichen:

Hier ist die Komposition g(f(x)) mit den Abbildungsvorschrifen f und g abgebildet.
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