Bei der Komposition f \circ g $f \circ g$ wird jedem Urbild x $x$ aus der Menge L $L$ genau ein Bild (f \circ g)(x) $(f \circ g)(x)$ aus der Menge N $N$ zugeordnet.

Beachte: Zuerst wird g $g$ auf x $x$ und danach f $f$ auf g(x) $g(x)$ angewendet.

Hier ist eine Komposition von L nach M nach N abgebildet.

\begin{aligned} (f \circ g)(x)=f(g(x)) \end{aligned}

\begin{aligned} (f \circ g)(x)=f(g(x)) \end{aligned}

Wird gelesen als: „g $g$ verkettet mit f $f$ “.
Dabei ist f $f$ die äußere Funktion und g $g$ die innere Funktion.

Aufpassen: Auch wenn das f $f$ als erstes geschrieben wird, werden die Abbildungen von rechts nach links aufgerufen.

Vorgehen

Setze das Funktionsargument x $x$ in die Funktion g $g$ ein.

\rarr $\rarr$ Als Funktionswert erhältst du dann g(x) $g(x)$ .
g(x) $g(x)$ setzt du wiederum in die Funktion f(x) $f(x)$ ein und erhältst als neuen Funktionswertf(g(x)) $f(g(x))$ .

Es ist auch möglich eine beliebige Anzahl an Funktionen zu verketten. Bei drei Funktionen würde das wie folgt aussehen:

\begin{aligned} (f \circ g \circ h)(x)=f(g(h(x))) \end{aligned}

\begin{aligned} (f \circ g \circ h)(x)=f(g(h(x))) \end{aligned}

Eigenschaften von Kompositionen

Kompositionen von Abbildungen sind assoziativ, es gilt also

\begin{aligned} \quad f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h . \end{aligned}

\begin{aligned} \quad f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h . \end{aligned}

Kompositionen von Abbildungen sind i.A. nicht kommutativ, d.h.

\begin{aligned} \quad f \circ g \neq g \circ f . \end{aligned}

\begin{aligned} \quad f \circ g \neq g \circ f . \end{aligned}

~\quad \rarr $~\quad \rarr$ Bei Kompositionen muss stets auf die Reihenfolge geachtet werden

Die Komposition zweier injektiver (bzw. surjektiver, bijektiver) Abbildungen ist injektiv (surjektiv, bijektiv).
Stimmt der Wertebereich mit dem Definitionsbereich überein, dann kann die n-fache Komposition von f $f$ gebildet werden. Diese schaut dann wie folgt aus:

\begin{aligned} \qquad f^n= \underbrace{{f\circ f \circ ... \circ f}}_{\textsf{n-mal}} \end{aligned}

\begin{aligned} \qquad f^n= \underbrace{{f\circ f \circ ... \circ f}}_{\textsf{n-mal}} \end{aligned}

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Umkehrabbildung

Handelt es sich bei f:M \rarr N $f:M \rarr N$ um eine bijektive Abbildung, dann ist f $f$ umkehrbar. Die Abbildung

\begin{aligned} f^{-1}: N \rarr M, \ y \mapsto f(y):=x, \end{aligned}

\begin{aligned} f^{-1}: N \rarr M, \ y \mapsto f(y):=x, \end{aligned}

die jedem y \in N $y \in N$ das eindeutig bestimmte Urbild x \in M $x \in M$ zuordnet, wird als Umkehrabbildung oder Inverse von f $f$ bezeichnet.

Hier sind eine Abbildung und deren Inverse abgebildet.

Beispiel

Aufgabe

Gegeben seien die Funktionen f $f$ und g $g$ :

\begin{aligned} &f(x)=x+1,\ g(x)=x^2 \end{aligned}

\begin{aligned} &f(x)=x+1,\ g(x)=x^2 \end{aligned}

Bestimme die Komposition g \circ f $g \circ f$ .

Lösung

In diesem Fall würde die Komposition von f $f$ und g $g$ folgendes ergeben:

\begin{aligned} (g \circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(x+1)\\ &=(x+1)^2 \end{aligned}

\begin{aligned} (g \circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(x+1)\\ &=(x+1)^2 \end{aligned}

Dieses Zusammenspiel kannst du dir wie folgt veranschaulichen:

Hier ist die Komposition g(f(x)) mit den Abbildungsvorschrifen f und g abgebildet.

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