Kompositionen & Umkehrabbildungen

Die Komposition zweier Abbildungen f$f$ und g$g$ ist folgendermaßen definiert:

Allgemeines

Bei der Komposition f \circ g$f \circ g$ wird jedem Urbild x$x$ aus der Menge L$L$ genau ein Bild (f \circ g)(x)$(f \circ g)(x)$ aus der Menge N$N$ zugeordnet.

Beachte: Zuerst wird g$g$ auf x$x$ und danach f$f$ auf g(x)$g(x)$ angewendet.

Aufpassen: Auch wenn das f$f$ als erstes geschrieben wird, werden die Abbildungen von rechts nach links aufgerufen.

Vorgehen

1. Setze das Funktionsargument x$x$ in die Funktion g$g$ ein.

   \rarr$\rarr$ Als Funktionswert erhältst du dann g(x)$g(x)$.

2. g(x)$g(x)$ setzt du wiederum in die Funktion f(x)$f(x)$ ein und erhältst als neuen Funktionswertf(g(x))$f(g(x))$.

Es ist auch möglich eine beliebige Anzahl an Funktionen zu verketten. Bei drei Funktionen würde das wie folgt aussehen:

Eigenschaften von Kompositionen

• Kompositionen von Abbildungen sind assoziativ, es gilt also

• Kompositionen von Abbildungen sind i.A. nicht kommutativ, d.h.

~\quad \rarr$~\quad \rarr$ Bei Kompositionen muss stets auf die Reihenfolge geachtet werden

• Die Komposition zweier injektiver (bzw. surjektiver, bijektiver) Abbildungen ist injektiv (surjektiv, bijektiv).
• Stimmt der Wertebereich mit dem Definitionsbereich überein, dann kann die n-fache Komposition von f$f$ gebildet werden. Diese schaut dann wie folgt aus:

Umkehrabbildung

Handelt es sich bei f:M \rarr N$f:M \rarr N$ um eine bijektive Abbildung, dann ist f$f$ umkehrbar. Die Abbildung

die jedem y \in N$y \in N$ das eindeutig bestimmte Urbild x \in M$x \in M$ zuordnet, wird als Umkehrabbildung oder Inverse von f$f$ bezeichnet.

Beispiel

Aufgabe

Gegeben seien die Funktionen f$f$ und g$g$:

Bestimme die Komposition g \circ f$g \circ f$.

Lösung

In diesem Fall würde die Komposition von f$f$ und g$g$ folgendes ergeben:

Dieses Zusammenspiel kannst du dir wie folgt veranschaulichen: