Stochastische Unabhängigkeit

Hast du im Matheunterricht gerade das Thema Stochastik und befasst dich mit bedingter Wahrscheinlichkeit? 

Dann begegnet dir sicherlich auch der Begriff stochastische Unabhängigkeit.

Welche Ereignisse die stochastische Unabhängigkeit beschreibt, erklärt dir simpleclub!


Stochastische Unabhängigkeit einfach erklärt

Sind je zwei Ereignisse voneinander stochastisch unabhängig, bedeutet das, dass zwischen ihnen mathematisch gesehen kein Zusammenhang besteht.

Stochastische Unabhängigkeit Definition

Der Begriff "Stochastische Unabhängigkeit" beschreibt zwei Ereignisse ( AAA und BBB ), bei denen das Eintreten des einen Ereignisses AAA keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses BBB hat und umgekehrt.

Die stochastische Unabhängigkeit hat folgenden Einfluss auf die bedingte Wahrscheinlichkeit:

Sind zwei Ereignisse voneinander stochastisch unabhängig, so gilt:

P(\col[1]A|\col[2]B)= P(\col[1]A)P(AB)=P(A)P(\col[1]A|\col[2]B)= P(\col[1]A)P(\col[2]B|\col[1]A)=P(\col[2]B)P(BA)=P(B)P(\col[2]B|\col[1]A)=P(\col[2]B)

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist also jeweils gleich der Einzelwahrscheinlichkeiten der Ereignisse AAA und BBB, da das Eintreten des einen Ereignisses das andere nicht beeinflusst.

Außerdem gilt bei stochastischer Unabhängigkeit:

P(\col[1]A\cap \col[2]B) = P(\col[1]A) \cdot P(\col[2]B)P(AB)=P(A)P(B)P(\col[1]A\cap \col[2]B) = P(\col[1]A) \cdot P(\col[2]B)

Diese Gleichheit kannst du dir direkt über die allgemeine Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit herleiten:

\begin{aligned} P(\col[1]A|\col[2]B) &= \frac{P(\col[1]A \cap \col[2]B)}{P(\col[2]B)} &&\quad\mid\cdot P(\col[2]B) \\[3mm] P(\col[1]A \cap \col[2]B) &= P(\col[1]A|\col[2]B) \cdot P(\col[2]B) \\[3mm] &= P(\col[1]A) \cdot P(\col[2]B) \end{aligned}P(AB)=P(AB)P(B)P(B)P(AB)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)\begin{aligned} P(\col[1]A|\col[2]B) &= \frac{P(\col[1]A \cap \col[2]B)}{P(\col[2]B)} &&\quad\mid\cdot P(\col[2]B) \\[3mm] P(\col[1]A \cap \col[2]B) &= P(\col[1]A|\col[2]B) \cdot P(\col[2]B) \\[3mm] &= P(\col[1]A) \cdot P(\col[2]B) \end{aligned}

Die Schnittmenge beider Ereignisse ist also gleich dem Produkt beider Einzelwahrscheinlichkeiten.

eine Schnittmenge von zwei Ereignissen
Schnittmenge

Stochastische Unabhängigkeit Beispiele

Würfel

Jan würfelt einmal mit einem normalen Würfel. Er fragt sich, ob ein mathematischer Zusammenhang zwischen den Ereignissen A :A:A : "Er würfelt eine gerade Zahl" und B :B:B : " Er würfelt eine Zahl größer oder gleich 333" besteht oder ob diese voneinander stochastisch unabhängig sind. Kannst du ihm helfen?

Lösung

Überlege dir zuerst, was die Ereignisse mathematisch bedeuten:

A :A:A : " Jan würfelt eine gerade Zahl" = \{ 2, 4, 6 \}={2,4,6}= \{ 2, 4, 6 \}

B :B:B : " Jan würfelt eine Zahl größer oder gleich 333" = \{ 3, 4, 5, 6 \}={3,4,5,6}= \{ 3, 4, 5, 6 \}

Jetzt kannst du jeweils die Wahrscheinlichkeit , dass eine Zahl aus der Menge gewürfelt wird, berechnen:

P(\col[1]A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}P(A)=36=12P(\col[1]A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}P(\col[2]B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}P(B)=46=23P(\col[2]B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Außerdem kannst du die Schnittmenge der beiden Ereignisse berechnen, also alle Zahlen, die sowohl in AAA als auch in BBB liegen:

(A\cap B) = \{ 4, 6 \}(AB)={4,6}(A\cap B) = \{ 4, 6 \}

Auch hier kannst du die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl aus dieser Menge gewürfelt wird, direkt berechnen:

P(\col[1]A \cap \col[2]B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}P(AB)=26=13P(\col[1]A \cap \col[2]B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Mit der allgemeinen Formel für stochastische Unabhängigkeit kannst du diese beiden Ereignisse nun darauf überprüfen:

P(\col[1]A \cap \col[2]B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = P(\col[1]A) \cdot P(\col[2]B)P(AB)=26=1223=P(A)P(B)P(\col[1]A \cap \col[2]B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = P(\col[1]A) \cdot P(\col[2]B)

Die Gleichheit gilt! Also sind die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig voneinander .

Urne

In einer Urne liegen 666 rote und 444 schwarze Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln ohne Zurücklegen. Im ersten Zug ziehst du eine schwarze Kugel, im zweiten Zug eine rote Kugel. Sind die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig voneinander?

Lösung

Definiere dir zuerst deine beiden Ereignisse AAA und B :B:B :

A :A:A : "Im ersten Zug wird eine schwarze Kugel gezogen"

B :B:B : "Im zweiten Zug wird eine rote Kugel gezogen"

Jetzt kannst du die Wahrscheinlichkeiten beider Ereignisse berechnen (für Ereignis BBB musst du hierbei berücksichtigen, dass es sein kann, dass im ersten Zug eine rote Kugel oder eine schwarze Kugel gezogen wird) :

P(\col[1]A) = \frac{4}{10}P(A)=410P(\col[1]A) = \frac{4}{10}\begin{aligned} P(\col[2]B) &= \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} + \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \\[3mm] &= \frac{54}{90} \\[3mm]&= \frac{3}{5} \end{aligned}P(B)=41069+61059=5490=35\begin{aligned} P(\col[2]B) &= \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} + \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \\[3mm] &= \frac{54}{90} \\[3mm]&= \frac{3}{5} \end{aligned}

Du kannst auch hier wieder über die Schnittmenge P(A \cap B)P(AB)P(A \cap B) auf stochastische Unabhängigkeit prüfen.

Alternativ kannst du aber in diesem Fall auch die von BBB auf AAA bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A)P(BA)P(B|A) bestimmen, denn auch mit der bedingten Wahrscheinlichkeiten kannst du stochastische Unabhängigkeit prüfen:

P(B|A) :P(BA):P(B|A) : "Im zweiten Zug wird eine rote Kugel gezogen unter der Bedingung, dass im ersten Zug eine schwarze Kugel gezogen wurde".

P(\col[2]B|\col[1]A) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}P(BA)=69=23P(\col[2]B|\col[1]A) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

Das ist also einfach die Wahrscheinlichkeit mit der eine rote Kugel gezogen wird, nachdem bereits eine schwarze Kugel aus der Urne rausgezogen wurde.

Jetzt siehst du direkt:

\begin{aligned} P(\col[2]B|\col[1]A) = \frac{2}{3} &= \frac{10}{15} \neq \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = P(\col[2]B) \end{aligned}P(BA)=23=1015915=35=P(B)\begin{aligned} P(\col[2]B|\col[1]A) = \frac{2}{3} &= \frac{10}{15} \neq \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = P(\col[2]B) \end{aligned}

Da die Gleichung nicht erfüllt ist, sind die Ereignisse stochastisch abhängig voneinander.

Next topic:
Satz von Bayes

Continue
Satz von Bayes

Jetzt unlimited holen!

Mit simpleclub unlimited bekommst du Vollzugang zur App: Du boostest deine Noten, hast mehr Freizeit und gehst sicher in jede Klausur!

Jetzt unlimited holen

Jetzt simpleclub Azubi holen!

Mit simpleclub Azubi bekommst du Vollzugang zur App: Wir bereiten dich in deiner Ausbildung optimal auf deine Prüfungen in der Berufsschule vor. Von Ausbilder*innen empfohlen.

Jetzt simpleclub Azubi holen