Erwartungswert

Wenn du im Matheunterricht das Thema Stochastik bekommst, wird dir auch der Begriff Erwartungswert begegnen.

Zu wissen, was der Erwartungswert ist, ist ein Grundpfeiler für den gesamten Themenbereich der Stochastik.

simpleclub erklärt dir, was du zum Erwartungswert wissen solltest!


Erwartungswert einfach erklärt

Beim Erwartungswert werden die Werte, die eine Zufallsvariable annimmt, mit der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit mulitpliziert. Anschließend wird die Summe all dieser Werte gebildet.

E(X) = \sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)E(X)=i=1nxiP(X=xi)E(X) = \sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)

Erwartungswert Definition

Der Erwartungswert ist die Zahl, die eine Zufallsvariable im Mittel annimmt.


Erwartungswert Beispiel

Einfaches Beispiel

Welchen Erwartungswert hat ein Würfel mit vier Seiten?

\text{Augenzahl }x_iAugenzahl xi\text{Augenzahl }x_i
111
222
333
444
\text{Wahrscheinlichkeit }P(X=x_i)Wahrscheinlichkeit P(X=xi)\text{Wahrscheinlichkeit }P(X=x_i)
\frac{1}{4}14\frac{1}{4}
\frac{1}{4}14\frac{1}{4}
\frac{1}{4}14\frac{1}{4}
\frac{1}{4}14\frac{1}{4}
E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=(1\cdot \frac{1}{4})+(2\cdot \frac{1}{4})+(3\cdot \frac{1}{4})+(4\cdot \frac{1}{4})=2,5E(X)=i=1nxiP(X=xi)=(114)+(214)+(314)+(414)=2,5E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=(1\cdot \frac{1}{4})+(2\cdot \frac{1}{4})+(3\cdot \frac{1}{4})+(4\cdot \frac{1}{4})=2,5

Der Erwartungswert liegt bei 2,5.

Schwierigeres Beispiel

Ein Glücksrad hat drei Felder. Landet man auf dem Feld, das die Hälfte der Fläche einnimmt, gewinnt man 5€. Die anderen beiden Felder nehmen jeweils ein Viertel der Fläche ein. Landet man auf einem dieser Felder, muss man 4€ bzw. 1€ zahlen. Lohnt es sich das Glücksrad zu drehen?

E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=(5\cdot 0,5)+(-4\cdot 0,25)+(-1 \cdot 0,25)=1,25E(X)=i=1nxiP(X=xi)=(50,5)+(40,25)+(10,25)=1,25E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=(5\cdot 0,5)+(-4\cdot 0,25)+(-1 \cdot 0,25)=1,25

Im Mittel ist ein Gewinn von 1,25€ zu erwarten. Es lohnt sich also am Rad zu drehen.

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