Baumdiagramm

Hast du im Matheunterricht gerade das Thema Stochastik und beschäftigst dich mit bedingter Wahrscheinlichkeit? 

Dann begegnen dir sicherlich auch Baumdiagramme.

Wie Baumdiagramme aussehen und wie du sie nutzt, erklärt dir simpleclub.


Baumdiagramm einfach erklärt

Ein Baumdiagramm sieht allgemein geschrieben folgendermaßen aus:

ein Baumdiagramm
Beispiel: Baumdiagramm

Auf den einzelnen Ästen des Diagramms werden die Wahrscheinlichkeiten für die zugehörigen Ereignisse (z.B. P(A)P(A)P(A) oder P(\overline{A})P(A)P(\overline{A})) eingetragen.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten (z. B. P(B | A)P(BA)P(B | A)) lassen sich so geschickt über ein mehrstufiges Baumdiagramm darstellen und berechnen.

Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste mit dem gleichen Ursprung addieren sich zu 1 ~(100~\%)1(100%)1 ~(100~\%) auf.

Baumdiagramm Definition

Ein Baumdiagramm ist eine übersichtliche Art, mehrstufige Zufallsexperimente darzustellen.

Erste Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten auf diesem Pfad.

Beispiel:

P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B|A)P(AB)=P(A)P(BA)P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

Zweite Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

Beispiel:

P(B) = P(A\cap B) + P( \overline A \cap B)P(B)=P(AB)+P(AB)P(B) = P(A\cap B) + P( \overline A \cap B)

Die Pfadregeln

Wirfst du eine Münze zweimal, so ergibt sich das in der folgenden Animation dargestellte Baumdiagramm.

Dabei steht KKK für Kopf und ZZZ für Zahl.

1. Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit des Pfades Z,KZ,KZ,K ist gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten auf diesem Pfad.

Drücke auf den Button.

2. Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zweimal das Gleiche Symbol ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade, die zu diesem Ergebnis führen. Also der Pfade Z,ZZ,ZZ,Z und K,KK,KK,K.

Drücke auf den Button.

Baumdiagramm Beispiel

Schulklasse: männlich und groß

In Jans Schulklasse befinden sich insgesamt 30 Schüler und Schülerinnen. Er hat seine Klasse nun in männliche und weibliche Personen sowie in große und kleine Personen unterteilt.

Außerdem hat er ein Baumdiagramm erstellt, in dem er die Wahrscheinlichkeiten, mit der eine zufällige Person in eine Kategorie passt, eingetragen hat.

Jans Baumdiagramm sieht folgendermaßen aus:

Baumdiagramm mit Jans Schulklasse
Jans Schulklasse

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine zufällige Person aus Jans Klasse, männlich und groß zu sein?

Lösung

Definiere dir zuerst die gesuchten Eigenschaften:

\col[1]M:M:\col[1]M: männlich

\col[2]W:W:\col[2]W: weiblich

\col[3]G:G:\col[3]G: groß

\col[4]K:K:\col[4]K: klein

Du suchst die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person männlich und groß ist, also P(\col[1]M \cap \col[3]G)P(MG)P(\col[1]M \cap \col[3]G) .

Du suchst also nach der Wahrscheinlichkeit des gesamten ersten Pfades (siehe Bild). Du benötigst hier jetzt die erste Pfadregel, d.h. du musst das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten auf den Ästen des Diagramms bilden.

\begin{aligned} P(\col[1]M \cap \col[3]G) &= P(\col[1]M) \cdot P(\col[3]G|\col[1]M) \\[3mm] & =0,5 \cdot 0,6 = \lsg{0,3} \end{aligned}P(MG)=P(M)P(GM)=0,50,6=0,3\begin{aligned} P(\col[1]M \cap \col[3]G) &= P(\col[1]M) \cdot P(\col[3]G|\col[1]M) \\[3mm] & =0,5 \cdot 0,6 = \lsg{0,3} \end{aligned}

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 30 ~\%30%30 ~\%.

Schulklasse: groß und weiblich

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit groß zu sein, unter der Bedingung, dass man weiblich ist?

Lösung

In diesem Fall suchst du die bedingte Wahrscheinlichkeit P(\col[3]G|\col[2]W)P(GW)P(\col[3]G|\col[2]W), also die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Person groß ist, bedingt darauf, dass sie weiblich ist.

Hier musst du die obige Formel umstellen:

\begin{aligned} P(\col[2]W \cap \col[3]G) &= P(\col[2]W) \cdot P(\col[3]G|\col[2]W) \\[3mm] P(\col[3]G|\col[2]W) &= \frac{P(\col[3]G\cap \col[2]W)}{P(\col[2]W)} \\[3mm] & = \frac{0,25}{0,5} = \lsg{0,5} \end{aligned}P(WG)=P(W)P(GW)P(GW)=P(GW)P(W)=0,250,5=0,5\begin{aligned} P(\col[2]W \cap \col[3]G) &= P(\col[2]W) \cdot P(\col[3]G|\col[2]W) \\[3mm] P(\col[3]G|\col[2]W) &= \frac{P(\col[3]G\cap \col[2]W)}{P(\col[2]W)} \\[3mm] & = \frac{0,25}{0,5} = \lsg{0,5} \end{aligned}

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 50~\%50%50~\%.

Urne: Kugel ziehen

In einer Urne befinden sich mehrere Kugeln und mehrere Würfel, die zusätzlich alle entweder blau oder rot sind (siehe Bild).

Baumdiagramm mit Urnenobjekten
Verteilung der Urnenobjekte

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Ziehen eine Kugel zu ziehen?

Lösung

Definiere dir zuerst wieder alle Eigenschaften:

\col[3]{R}:R:\col[3]{R}: rot

\col[2]B :B:\col[2]B : blau

\col[1]{K} :K:\col[1]{K} : Kugel

\col[4]W :W:\col[4]W :Würfel

Du suchst nun nach dem Ereignis, dass eine Kugel aus der Urne gezogen wird.

Nach der zweiten Pfadregel musst du also die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade bilden. In dem Fall sind das alle Pfade, in denen eine Kugel gezogen wird (siehe Bild):

\begin{aligned} P(\col[1]K) &= P(\col[2]B \cap \col[1]K) + P(\col[3]R \cap \col[1]K) \\[3mm] &= 0,2+ 0,36 = \lsg{0,56} \end{aligned}P(K)=P(BK)+P(RK)=0,2+0,36=0,56\begin{aligned} P(\col[1]K) &= P(\col[2]B \cap \col[1]K) + P(\col[3]R \cap \col[1]K) \\[3mm] &= 0,2+ 0,36 = \lsg{0,56} \end{aligned}

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 56~ \%56%56~ \%.

Urne: Würfel ziehen

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Würfel aus der Urne zu ziehen?

Lösung

Wie beim ersten Beispiel benötigst du die zweite Pfadregel, um die Summe aller Pfade zu bilden, in denen ein Würfel gezogen wird.

Da du hier aber nicht alle Wahrscheinlichkeiten gegeben hast, musst du erst die erste Pfadregel benutzen, um die einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Hier musst du wieder das Produkt über die einzelnen Wahrscheinlichkeiten bilden (siehe Bild):

\begin{aligned} P(\col[2]B \cap \col[4]E) &= P(\col[2]B) \cdot P(\col[4]E|\col[2]B) \\[3mm] &= 0,4 \cdot 0,5 = 0,2 \end{aligned}P(BE)=P(B)P(EB)=0,40,5=0,2\begin{aligned} P(\col[2]B \cap \col[4]E) &= P(\col[2]B) \cdot P(\col[4]E|\col[2]B) \\[3mm] &= 0,4 \cdot 0,5 = 0,2 \end{aligned}\begin{aligned} P(\col[3]R \cap \col[4]E) &= P(\col[3]R) \cdot P(\col[4]E|\col[3]R) \\[3mm] &= 0,6 \cdot 0,4 = 0,24 \end{aligned}P(RE)=P(R)P(ER)=0,60,4=0,24\begin{aligned} P(\col[3]R \cap \col[4]E) &= P(\col[3]R) \cdot P(\col[4]E|\col[3]R) \\[3mm] &= 0,6 \cdot 0,4 = 0,24 \end{aligned}

Jetzt kannst du die zweite Pfadregel anwenden, um die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Würfel zu berechnen:

\begin{aligned} P(\col[4]E) &= P(\col[2]B \cap \col[4]E) + P(\col[3]R \cap \col[4]E) \\[3mm] &= 0,2 + 0,24 = \lsg{0,44} \end{aligned}P(E)=P(BE)+P(RE)=0,2+0,24=0,44\begin{aligned} P(\col[4]E) &= P(\col[2]B \cap \col[4]E) + P(\col[3]R \cap \col[4]E) \\[3mm] &= 0,2 + 0,24 = \lsg{0,44} \end{aligned}

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 44 ~\%44%44 ~\% .

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