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Stammfunktion der Wurzelfunktion

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Stammfunktion der Wurzelfunktion

Wenn du in Mathe gerade das Thema Analysis hast und dich mit Stammfunktionen beschäftigst, wird dir auch die Stammfunktion von Wurzelfunktionen begegnen.

Wie stellt man eine Stammfunktion der Wurzelfunktion auf?

simpleclub erklärt dir, wie es geht.

Stammfunktion von Wurzelfunktionen einfach erklärt

Zur Erinnerung

Will man die Stammfunktion einer Potenzfunktion bilden, dann geht man folgendermaßen vor:

f(x)=x^nf(x)=xnf(x)=x^nF(x)=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}F(x)=1n+1⋅xn+1F(x)=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}

Man kann die Wurzel auch als Potenz schreiben:

\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}xmn=xmn\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}

Stammfunktion der Wurzelfunktion

Bei Wurzelfunktionen kann dementsprechend wie bei Potenzfunktionen vorgegangen werden:

f(x)=\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}f(x)=xmn=xmnf(x)=\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}F(x)=\frac{1}{{\frac{m}{n}}+1}\cdot x^{\frac{m}{n}+1}F(x)=1mn+1⋅xmn+1F(x)=\frac{1}{{\frac{m}{n}}+1}\cdot x^{\frac{m}{n}+1}

Stammfunktion von Wurzelfunktionen Definition

Die Stammfunktion der Wurzel ist die Aufleitung einer Wurzelfunktion.

Stammfunktion von Wurzelfunktionen Beispiel

Einfaches Beispiel ohne Exponent

f(x)=\sqrt[2]{x^1}=x^{\frac{1}{2}}f(x)=x12=x12f(x)=\sqrt[2]{x^1}=x^{\frac{1}{2}}F(x)=\frac{1}{{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}F(x)=112+1⋅x12+1=23⋅x32F(x)=\frac{1}{{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}

Einfaches Beispiel mit Exponent

f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}f(x)=x23=x23f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}F(x)=\frac{1}{{\frac{2}{3}}+1}\cdot x^{\frac{2}{3}+1}=\frac{3}{5}\cdot x^{\frac{5}{3}}F(x)=123+1⋅x23+1=35⋅x53F(x)=\frac{1}{{\frac{2}{3}}+1}\cdot x^{\frac{2}{3}+1}=\frac{3}{5}\cdot x^{\frac{5}{3}}

Schwieriges Beispiel ohne Exponent

f(x)=\sqrt[10]{x^1}=x^{\frac{1}{10}}f(x)=x110=x110f(x)=\sqrt[10]{x^1}=x^{\frac{1}{10}}F(x)=\frac{1}{{\frac{1}{10}}+1}\cdot x^{\frac{1}{10}+1}=\frac{10}{11}\cdot x^{\frac{11}{10}}F(x)=1110+1⋅x110+1=1011⋅x1110F(x)=\frac{1}{{\frac{1}{10}}+1}\cdot x^{\frac{1}{10}+1}=\frac{10}{11}\cdot x^{\frac{11}{10}}

Schwieriges Beispiel mit Exponent

f(x)=\sqrt[7]{x^3}=x^{\frac{3}{7}}f(x)=x37=x37f(x)=\sqrt[7]{x^3}=x^{\frac{3}{7}}F(x)=\frac{1}{{\frac{3}{7}}+1}\cdot x^{\frac{3}{7}+1}=\frac{7}{10}\cdot x^{\frac{10}{7}}F(x)=137+1⋅x37+1=710⋅x107F(x)=\frac{1}{{\frac{3}{7}}+1}\cdot x^{\frac{3}{7}+1}=\frac{7}{10}\cdot x^{\frac{10}{7}}
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