Summenregel & Faktorregel für Integrale

Wenn du dich in der Schule gerade mit dem Thema Analysis, genauer gesagt mit den Integrationsregeln beschäftigst, wirst du auch die Summenregel für Integrale und die Potenzregel für Integrale kennenlernen.

Diese beiden Regeln sind zwei der wichtigsten Regeln zum Integrieren, da sie sehr oft vorkommen.

Wie die Regeln lauten und wie du sie anwendest, zeigt dir simpleclub.


Integrationsregeln einfach erklärt

Summenregel für Integrale

Die Summenregel besagt, dass du Funktionen, die durch ein +++ getrennt sind, auch jeweils einzeln voneinander integrieren kannst. Das macht das Integrieren deutlich einfacher.

Faktorregel

Die Faktorregel besagt, dass du konstante Faktoren, wie z. B. die Zahl 222, beim Integrieren vor das Integral ziehen kannst.

Summenregel für Integrale Definition

Mit der Summenregel für Integrale kannst du Summen integrieren und ihre Stammfunktion bestimmen.

\int \textcolor{sc_color_1}{f(x)} + \textcolor{sc_color_2}{g(x)} \space \text{d}x = \int \textcolor{sc_color_1}{f(x)} \space \text{d}x + \int \textcolor{sc_color_2}{g(x)}\space \text{d}xf(x)+g(x) dx=f(x) dx+g(x) dx\int \textcolor{#7F7706}{f(x)} + \textcolor{#0069FC}{g(x)} \space \text{d}x = \int \textcolor{#7F7706}{f(x)} \space \text{d}x + \int \textcolor{#0069FC}{g(x)}\space \text{d}x

Faktorregel für Integrale Definition

Beim Integrieren bleiben konstante Faktoren immer erhalten. Diese konstanten Faktoren können aus dem Integral gezogen werden. Es git:

\int \col[1]{k} \cdot f(x) \ \text{d}x = \col[1]{k} \cdot \int f(x) \ \text{d}xkf(x) dx=kf(x) dx\int \col[1]{k} \cdot f(x) \ \text{d}x = \col[1]{k} \cdot \int f(x) \ \text{d}x

Erklärung

Summenregel

Wenn du eine Funktion der Form

f(x) + g(x)f(x)+g(x)f(x) + g(x)

(also die Summe von zwei Funktionen) integrieren willst, musst du gliedweise integrieren. Du bildest also von jeder Funktion das Integral und summierst dann die Integrale auf. Also:

\int \textcolor{sc_color_1}{f(x)} + \textcolor{sc_color_2}{g(x)} \space \text{d}x = \int \textcolor{sc_color_1}{f(x)} \space \text{d}x + \int \textcolor{sc_color_2}{g(x)}\space \text{d}xf(x)+g(x) dx=f(x) dx+g(x) dx\int \textcolor{#7F7706}{f(x)} + \textcolor{#0069FC}{g(x)} \space \text{d}x = \int \textcolor{#7F7706}{f(x)} \space \text{d}x + \int \textcolor{#0069FC}{g(x)}\space \text{d}x

Die Summenregel für Integrale ist die Umkehrung der Summenregel für Ableitungen.

Faktorregel

Die Faktorregel kannst du immer anwenden, sobald eine konstante Zahl im Integral steht. Diese kannst du immer aus dem Integral herausziehen, wie im folgenden Beispiel:

\int \col[1]{4}x \ \text{d}x = \col[1]4 \int x \ \text{d}x4x dx=4x dx\int \col[1]{4}x \ \text{d}x = \col[1]4 \int x \ \text{d}x

Das Integral kannst du nun wie gewohnt mit der Potenzregel bestimmen. Denke dabei an die Konstante CCC des unbestimmten Integrals.

\int \col[1]{4}x \ \text{d}x = \col[1]4 \int x \ \text{d}x=\col[1]4 \cdot \frac{1}{2}x^2+C=2x^2+C4x dx=4x dx=412x2+C=2x2+C\int \col[1]{4}x \ \text{d}x = \col[1]4 \int x \ \text{d}x=\col[1]4 \cdot \frac{1}{2}x^2+C=2x^2+C

Die Faktorregel wirst du häufig nur indirekt anwenden, indem du die Konstante einfach im Integral stehen lässt.

Du kannst die beiden mittleren Schritte also einfach überspringen und Folgendes schreiben:

\int \col[1]4 x \ \text{d}x = \frac{\col[1]4}{2}x^2 +C4x dx=42x2+C\int \col[1]4 x \ \text{d}x = \frac{\col[1]4}{2}x^2 +C

Beispiele

Faktorregel anwenden

Bei dem folgenden Beispiel ist es sehr sinnvoll die Faktorregel anzuwenden.

\int \frac{\col[1]3}{x}\ \text{d}x= \int \col[1]3 \frac{1}{x} \ \text{d}x= \col[1]3 \cdot \int\frac{1}{x} \ \text{d}x3x dx=31x dx=31x dx\int \frac{\col[1]3}{x}\ \text{d}x= \int \col[1]3 \frac{1}{x} \ \text{d}x= \col[1]3 \cdot \int\frac{1}{x} \ \text{d}x

Durch Herausziehen des Faktors kannst du nun das unbestimmte Integral bestimmen, denn die Stammfunktion von \frac{1}{x}1x\frac{1}{x} ist ja der \ln(x)ln(x)\ln(x).

\col[1]3 \cdot \int\frac{1}{x} \ \text{d}x=\col[1]3 \cdot \ln(x) +C31x dx=3ln(x)+C\col[1]3 \cdot \int\frac{1}{x} \ \text{d}x=\col[1]3 \cdot \ln(x) +C

Summenregel für Integrale - einfach

\int \textcolor{sc_color_1}{x} + \textcolor{sc_color_2}{1} \space \text{d}x = \int \textcolor{sc_color_1}{x} \space \text{d}x + \int \textcolor{sc_color_2}{1}\space \text{d}xx+1 dx=x dx+1 dx\int \textcolor{#7F7706}{x} + \textcolor{#0069FC}{1} \space \text{d}x = \int \textcolor{#7F7706}{x} \space \text{d}x + \int \textcolor{#0069FC}{1}\space \text{d}x=\textcolor{sc_color_1}{ \frac{1}{2}x^2 + C_1} +\textcolor{sc_color_2}{ x + C_2}=12x2+C1+x+C2=\textcolor{#7F7706}{ \frac{1}{2}x^2 + C_1} +\textcolor{#0069FC}{ x + C_2}= \frac{1}{2}x^2 + x + C=12x2+x+C= \frac{1}{2}x^2 + x + C

Bei beiden Integralen kommt noch eine Konstante dazu. Die kannst du am Ende zu einer Konstanten zusammenfassen.

Summenregel für Integrale mit Sinus

\int \textcolor{sc_color_1}{x^2} + \textcolor{sc_color_2}{\sin(x)} \space \text{d}x = \int \textcolor{sc_color_1}{x^2} \space \text{d}x + \int \textcolor{sc_color_2}{\sin(x)}\space \text{d}xx2+sin(x) dx=x2 dx+sin(x) dx\int \textcolor{#7F7706}{x^2} + \textcolor{#0069FC}{\sin(x)} \space \text{d}x = \int \textcolor{#7F7706}{x^2} \space \text{d}x + \int \textcolor{#0069FC}{\sin(x)}\space \text{d}x=\textcolor{sc_color_1}{ \dfrac{1}{3}x^3 + C_1} + \textcolor{sc_color_2}{(-\cos(x)) + C_2}=13x3+C1+(cos(x))+C2=\textcolor{#7F7706}{ \dfrac{1}{3}x^3 + C_1} + \textcolor{#0069FC}{(-\cos(x)) + C_2}= \dfrac{1}{3}x^3 -\cos(x) + C=13x3cos(x)+C= \dfrac{1}{3}x^3 -\cos(x) + C

Bei beiden Integralen kommt noch eine Konstante dazu. Die kannst du am Ende zu einer Konstanten zusammenfassen.

Summenregel für Integrale - Differenzen

Die Summenregel für Integrale gilt auch für Differenzen.

\int \textcolor{sc_color_1}{3x^2} + \textcolor{sc_color_2}{\left(-\e^x\right)} \space \text{d}x = \int \textcolor{sc_color_1}{3x^2} \space \text{d}x + \int \textcolor{sc_color_2}{\left(-\e^x\right)}\space \text{d}x3x2+(ex) dx=3x2 dx+(ex) dx\int \textcolor{#7F7706}{3x^2} + \textcolor{#0069FC}{\left(-\e^x\right)} \space \text{d}x = \int \textcolor{#7F7706}{3x^2} \space \text{d}x + \int \textcolor{#0069FC}{\left(-\e^x\right)}\space \text{d}x= \int \textcolor{sc_color_1}{3x^2}\space \text{d}x \textcolor{sc_color_2}{-} \int \textcolor{sc_color_2}{\e^x}\space \text{d}x=3x2 dxex dx= \int \textcolor{#7F7706}{3x^2}\space \text{d}x \textcolor{#0069FC}{-} \int \textcolor{#0069FC}{\e^x}\space \text{d}x= \textcolor{sc_color_1}{x^3+C_1} \textcolor{sc_color_2}{-\e^x + C_2}=x3+C1ex+C2= \textcolor{#7F7706}{x^3+C_1} \textcolor{#0069FC}{-\e^x + C_2}= x^3-\e^x+C=x3ex+C= x^3-\e^x+C

Bei beiden Integralen kommt noch eine Konstante dazu. Die kannst du am Ende zu einer Konstanten zusammenfassen.

Summenregel für Integrale - mehrere Summanden

Die Summenregel für Integrale gilt auch für mehrere Summanden und komplizierte Funktionen.

\int \left(\textcolor{sc_color_1}{2x} + \textcolor{sc_color_2}{\cos(x)} + \textcolor{sc_color_3}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} \right)\space \text{d}x(2x+cos(x)+12x) dx\int \left(\textcolor{#7F7706}{2x} + \textcolor{#0069FC}{\cos(x)} + \textcolor{#DD2238}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} \right)\space \text{d}x= \int \textcolor{sc_color_1}{2x} \space \text{d}x + \int\textcolor{sc_color_2}{ \cos(x)}\space \text{d}x + \int \textcolor{sc_color_3}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} \space \text{d}x=2x dx+cos(x) dx+12x dx= \int \textcolor{#7F7706}{2x} \space \text{d}x + \int\textcolor{#0069FC}{ \cos(x)}\space \text{d}x + \int \textcolor{#DD2238}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} \space \text{d}x= \textcolor{sc_color_1}{x^2 + C_1} +\textcolor{sc_color_2}{ \sin(x) + C_2} + \textcolor{sc_color_3}{\sqrt{x} + C_3}=x2+C1+sin(x)+C2+x+C3= \textcolor{#7F7706}{x^2 + C_1} +\textcolor{#0069FC}{ \sin(x) + C_2} + \textcolor{#DD2238}{\sqrt{x} + C_3}= x^2+\sin(x)+\sqrt{x} + C=x2+sin(x)+x+C= x^2+\sin(x)+\sqrt{x} + C

Bei allen Integralen kommt noch eine Konstante dazu. Die kannst du am Ende zu einer Konstanten zusammenfassen.

Zusammenfassung

Summenregel

Die Summenregel für Integrale besagt, dass du Funktionen in einem Integral, die durch ein +++ oder ein -- getrennt sind, jeweils einzeln integrieren darfst. Es gilt also:

\int \textcolor{sc_color_1}{{f}} + \textcolor{sc_color_2}{{g}} \space \text{d}x = \int \textcolor{sc_color_1}{{f}} \space \text{d}x + \int \textcolor{sc_color_2}{{g}}\space \text{d}xf+g dx=f dx+g dx\int \textcolor{#7F7706}{{f}} + \textcolor{#0069FC}{{g}} \space \text{d}x = \int \textcolor{#7F7706}{{f}} \space \text{d}x + \int \textcolor{#0069FC}{{g}}\space \text{d}x

Faktorregel

Beim Integrieren bleiben konstante Faktoren immer erhalten. Diese konstanten Faktoren können aus dem Integral gezogen werden. Es git:

\int \col[1]{k} \cdot f(x) \ \text{d}x = \col[1]{k} \cdot \int f(x) \ \text{d}xkf(x) dx=kf(x) dx\int \col[1]{k} \cdot f(x) \ \text{d}x = \col[1]{k} \cdot \int f(x) \ \text{d}x
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