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Potenzregel

Wenn du dich in Mathe gerade mit Ableitungen beschäftigst, begegnen dir auch Potenzfunktionen. Diese sehen in etwa so aus:

f(x) = ax^b. f(x)=axb. f(x) = ax^b.

Eine Potenzfunktion abzuleiten, ist nicht schwierig. Hierfür benötigst du die Potenzregel.

simpleclub zeigt dir, wie du diese verwendest und Potenzfunktionen ableitest.

Potenzregel einfach erklärt

Wenn du eine Funktion der Form

f(x) = ax^bf(x)=axbf(x) = ax^b

(also eine Potenz) ableiten willst, musst du

  • die Hochzahl (den Exponenten) nach vorne ziehen und
  • die Hochzahl minus 1 nehmen.

Also wird die Funktion von oben zu:

f'(x) = b\cdot ax^{b-1}f′(x)=b⋅axb−1f'(x) = b\cdot ax^{b-1}

Potenzregel Definition

Mit der Potenzregel kannst du Potenzen ableiten.

f(x)= a x^bf(x)=axbf(x)= a x^bf'(x)=b \cdot a x^{b-1}f′(x)=b⋅axb−1f'(x)=b \cdot a x^{b-1}

Beispiele

Potenzregel einfach

f(x)= x^2f(x)=x2f(x)= x^2f'(x)=2\cdot x^{2-1} = 2x^1 = 2xf′(x)=2⋅x2−1=2x1=2xf'(x)=2\cdot x^{2-1} = 2x^1 = 2x

Potenzregel mit Vorfaktor

f(x)= 5x^3f(x)=5x3f(x)= 5x^3f'(x)=3\cdot 5x^{3-1} = 15x^2f′(x)=3⋅5x3−1=15x2f'(x)=3\cdot 5x^{3-1} = 15x^2

Potenzregel mit Konstanten

Die Potenzregel gilt auch für Konstanten.

Merke: Konstanten fallen weg!

f(x)= 8 =8\cdot 1= 8x^0f(x)=8=8⋅1=8x0f(x)= 8 =8\cdot 1= 8x^0f'(x)=0\cdot 8x^{0-1} = 0f′(x)=0⋅8x0−1=0f'(x)=0\cdot 8x^{0-1} = 0

0 mal irgendwas ist 0.

Potenzregel mit x

f(x)= 2x = 2\cdot x^1f(x)=2x=2⋅x1f(x)= 2x = 2\cdot x^1f'(x)=1\cdot 2 x^{1-1} = 2 x^0 = 2\cdot 1=2f′(x)=1⋅2x1−1=2x0=2⋅1=2f'(x)=1\cdot 2 x^{1-1} = 2 x^0 = 2\cdot 1=2

Irgendwas hoch 0 ist 1.

Potenzregel mit negativen Hochzahlen

Die Potenzregel gilt auch für negative Hochzahlen.

f(x)= 3x^{-1}f(x)=3x−1f(x)= 3x^{-1}f'(x)=(-1)\cdot 3x^{(-1)-1} = -3x^{-2}f′(x)=(−1)⋅3x(−1)−1=−3x−2f'(x)=(-1)\cdot 3x^{(-1)-1} = -3x^{-2}

Potenzregel mit rationalen Hochzahlen

Die Potenzregel gilt auch für rationale Hochzahlen (also Brüche).

f(x)= 2x^{\frac{1}{2}}f(x)=2x12f(x)= 2x^{\frac{1}{2}}f'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2x^{\frac{1}{2}-1} = 1\cdot x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}}f′(x)=12⋅2x12−1=1⋅x−12=x−12f'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2x^{\frac{1}{2}-1} = 1\cdot x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}}
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