Potenzregel für Integrale

Wenn du dich in der Schule gerade mit dem Thema Analysis, genauer gesagt mit den Integrationsregeln beschäftigst, wirst du auch die Potenzregel für Integrale kennenlernen.

Durch sie kannst du zum Beispiel Potenzen integrieren oder Stammfunktionen bestimmen.

Wie die Potenzregel lautet und wie du sie anwendest, zeigt dir simpleclub.


Potenzregel für Integrale einfach erklärt

Wenn du eine Funktion der Form

f(x) = ax^bf(x)=axbf(x) = ax^b

(also eine Potenz) integrieren willst, musst du die Hochzahl (den Exponenten) um 1 erhöhen und durch die neue Hochzahl teilen. Also:

\int a\cdot x^{b}\space dx = \dfrac{1}{b+1} \cdot a\cdot x^{b + 1} + Caxbdx=1b+1axb+1+C\int a\cdot x^{b}\space dx = \dfrac{1}{b+1} \cdot a\cdot x^{b + 1} + C

Die Potenzregel für Integrale ist die Umkehrung der Potenzregel für Ableitungen.

Potenzregel für Integrale Definition

Mit der Potenzregel für Integrale kannst du Potenzen integrieren und ihre Stammfunktion bestimmen.

\int a\cdot x^{b}\space dx = \dfrac{1}{b+1} \cdot a\cdot x^{b + 1} + Caxbdx=1b+1axb+1+C\int a\cdot x^{b}\space dx = \dfrac{1}{b+1} \cdot a\cdot x^{b + 1} + C

Potenzregel für Integrale Beispiele

Potenzregel für Integrale - einfach

Integriere die Funktion

f(x) = x^2f(x)=x2f(x) = x^2

Bedenke, dass gilt:

x^2 = 1\cdot x^2x2=1x2x^2 = 1\cdot x^2

Jetzt kannst du die Potenzregel für Integrale anwenden.

\int 1\cdot x^{2}\space dx = \dfrac{1}{2+1} \cdot 1\cdot x^{2 + 1} + C1x2dx=12+11x2+1+C\int 1\cdot x^{2}\space dx = \dfrac{1}{2+1} \cdot 1\cdot x^{2 + 1} + C= \dfrac{1}{3}\cdot x^3+C=13x3+C= \dfrac{1}{3}\cdot x^3+C

Zur Probe kannst du diese Funktion ableiten.

\left( \dfrac{1}{3}\cdot x^3 + C\right)' = x^2(13x3+C)=x2\left( \dfrac{1}{3}\cdot x^3 + C\right)' = x^2

Potenzregel für Integrale mit Vorfaktor

Integriere die Funktion

f(x) = 4x^3f(x)=4x3f(x) = 4x^3

Jetzt kannst du die Potenzregel für Integrale anwenden.

\int 4\cdot x^{3}\space dx = \dfrac{1}{3+1} \cdot 4\cdot x^{3 + 1} + C4x3dx=13+14x3+1+C\int 4\cdot x^{3}\space dx = \dfrac{1}{3+1} \cdot 4\cdot x^{3 + 1} + C=\dfrac{4}{4}\cdot x^4+C = x^4+C=44x4+C=x4+C=\dfrac{4}{4}\cdot x^4+C = x^4+C

Zur Probe kannst du diese Funktion ableiten.

\left( x^4+C\right)' = 4x^3(x4+C)=4x3\left( x^4+C\right)' = 4x^3

Potenzregel für Integrale - Konstanten

Integriere die Funktion

f(x) = 2f(x)=2f(x) = 2

Bedenke, dass für Konstanten gilt:

2 = 2\cdot x^02=2x02 = 2\cdot x^0

Jetzt kannst du die Potenzregel für Integrale anwenden.

\int 2\cdot x^{0}\space dx = \dfrac{1}{0+1} \cdot 2\cdot x^{0 + 1} + C2x0dx=10+12x0+1+C\int 2\cdot x^{0}\space dx = \dfrac{1}{0+1} \cdot 2\cdot x^{0 + 1} + C= \frac{2}{1}\cdot x^1+C = 2x+C=21x1+C=2x+C= \frac{2}{1}\cdot x^1+C = 2x+C

Zur Probe kannst du diese Funktion ableiten.

\left( 2x + C\right)' = 2(2x+C)=2\left( 2x + C\right)' = 2

Potenzregel für Integrale - negative Hochzahl

Integriere die Funktion

f(x) = \dfrac{1}{x^2}f(x)=1x2f(x) = \dfrac{1}{x^2}

Bedenke, dass gilt:

\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}1x2=x2\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}

Negative Exponenten bilden den Kehrwert.

Jetzt kannst du die Potenzregel für Integrale anwenden.

\int 1\cdot x^{-2}\space dx = \dfrac{1}{-2+1} \cdot 1\cdot x^{-2 + 1} + C1x2dx=12+11x2+1+C\int 1\cdot x^{-2}\space dx = \dfrac{1}{-2+1} \cdot 1\cdot x^{-2 + 1} + C=-\dfrac{1}{1} \cdot x^{-1} = -\dfrac{1}{x}=11x1=1x=-\dfrac{1}{1} \cdot x^{-1} = -\dfrac{1}{x}

Auch hier bedeuetet der negative Exponent, dass du den Kehrwert bilden musst.

Zur Probe kannst du diese Funktion ableiten.

\left( -\dfrac{1}{x}\right)' = \dfrac{1}{x^2}(1x)=1x2\left( -\dfrac{1}{x}\right)' = \dfrac{1}{x^2}

Potenzregel für Integrale - Wurzel - kompliziert

Integriere die Funktion

f(x) = \sqrt{x}f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

Bedenke, dass gilt:

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

Jetzt kannst du die Potenzregel für Integrale anwenden.

\int 1\cdot x^{\frac{1}{2}}\space dx = \dfrac{1}{\frac{1}{2}+1} \cdot 1\cdot x^{\frac{1}{2} + 1} + C1x12dx=112+11x12+1+C\int 1\cdot x^{\frac{1}{2}}\space dx = \dfrac{1}{\frac{1}{2}+1} \cdot 1\cdot x^{\frac{1}{2} + 1} + C=\dfrac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3 + C=132x32+C=23(x12)3+C=\dfrac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3 + C= \dfrac{2}{3}\left(\sqrt{x}\right)^3+C=23(x)3+C= \dfrac{2}{3}\left(\sqrt{x}\right)^3+C

Zur Probe kannst du diese Funktion ableiten.

\left( \dfrac{2}{3}\cdot \left(\sqrt{x}\right)^3 + C\right)' = \sqrt{x}(23(x)3+C)=x\left( \dfrac{2}{3}\cdot \left(\sqrt{x}\right)^3 + C\right)' = \sqrt{x}
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