Sinus, Kosinus & Tangens in rechtwinkligen Dreiecken

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Sinus, Kosinus & Tangens in rechtwinkligen Dreiecken

Sinus, Kosinus und Tangens sind die zentralen Winkelfunktionen.

  • Beschreiben das Verhältnis von den Seitenlängen und den Winkeln in einem Dreieck

  • Mit ihnen lassen sich Winkel in einem Dreieck berechnen

Sinus

\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}sin⁡(α)=GegenkatheteHypotenuse\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

Kosinus

\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}cos⁡(α)=AnkatheteHypotenuse\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

Tangens

\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}tan⁡(α)=GegenkatheteAnkathete\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

Vorgehen bei der Berechnung

  1. Gesuchte Seitenlängen herausfinden
  2. Seitenlängen in die passende Formel einsetzen und ausrechnen
  3. Umkehrfunktion von Sinus, Kosinus oder Tangens auf beide Seiten anwenden

Beispiel

Sinus

Gegeben ist ein Dreieck, dessen Hypotenuse 4cm lang ist. Berechne den Winkel α, dessen Gegenkathete 2cm lang ist.

\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{2}{4}=0,5sin⁡(α)=GegenkatheteHypotenuse=24=0,5\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{2}{4}=0,5\sin(\alpha)=0,5 \ \ \ \ \ \ |\sin^{-1} \\ \Leftrightarrow \alpha=30°sin⁡(α)=0,5∣sin⁡−1⇔α=30°\sin(\alpha)=0,5 \ \ \ \ \ \ |\sin^{-1} \\ \Leftrightarrow \alpha=30°

Der Winkel ist 30° groß.

Kosinus

Gegeben ist ein Dreieck, dessen Hypotenuse 10cm lang ist. Berechne den Winkel α, dessen Ankathete 6cm lang ist.

\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{6}{10}=0,6cos⁡(α)=AnkatheteHypotenuse=610=0,6\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{6}{10}=0,6\cos(\alpha)=0,6 \ \ \ \ \ \ |\cos^{-1} \\ \Leftrightarrow \alpha=53,13°cos⁡(α)=0,6∣cos⁡−1⇔α=53,13°\cos(\alpha)=0,6 \ \ \ \ \ \ |\cos^{-1} \\ \Leftrightarrow \alpha=53,13°

Der Winkel ist 53,13° groß.

Tangens

Gegeben ist ein Dreieck. Berechne den Winkel α, dessen Gegenkathete 7cm lang ist und dessen Ankathete 4cm lang ist.

\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{7}{4}=1,75tan⁡(α)=GegenkatheteAnkathete=74=1,75\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{7}{4}=1,75\tan(\alpha)=1,75 \ \ \ \ \ \ |\tan^{-1} \\ \Leftrightarrow \alpha=60,26°tan⁡(α)=1,75∣tan⁡−1⇔α=60,26°\tan(\alpha)=1,75 \ \ \ \ \ \ |\tan^{-1} \\ \Leftrightarrow \alpha=60,26°

Der Winkel ist circa 60,26° groß.

Schwierigeres Beispiel

Gegeben ist ein Dreieck. Bestimme den Winkel α, dessen Ankathete 9cm lang ist. Die Hypotenuse des Dreiecks ist 13,5cm lang.

\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{9}{13,5}=0,\overline{6}cos⁡(α)=AnkatheteHypotenuse=913,5=0,6‾\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{9}{13,5}=0,\overline{6}\cos(\alpha)=0,\overline{6} \ \ \ \ \ \ |\cos^{-1} \\ \Leftrightarrow \alpha=48,19°cos⁡(α)=0,6‾∣cos⁡−1⇔α=48,19°\cos(\alpha)=0,\overline{6} \ \ \ \ \ \ |\cos^{-1} \\ \Leftrightarrow \alpha=48,19°

Der Winkel ist circa 48,19° groß.

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