Kreis Grundlagen

Ein Kreis ist eine Figur in einer Ebene, bei der alle Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben.


Erklärung

Kreise begegnen dir im Alltag ständig, z.B. bei Autoreifen, Geldmünzen, Tellern und Pizzen.

Kreise sind, wie du bestimmt weißt, runde Figuren.

Bild eines Kreises

Da es aber verschiedene runde Figuren gibt, wurde durch eine mathematische Definition geklärt, was einen Kreis genau ausmacht.

Definition Kreis

Ein Kreis bezeichnet die Menge aller Punkte in einer Ebene, die von einem Mittelpunkt denselben Abstand haben.

Das klingt vielleicht etwas kompliziert, ist es aber gar nicht!

Stell dir die Definition so vor:

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Du zeichnest einen Punkt auf ein Blockblatt. Das ist dein Mittelpunkt.

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Um den Mittelpunkt zeichnest du einige Punkte, die alle denselben Abstand vom Mittelpunkt haben. Du erkennst, dass sich ein Kreis andeutet.

\fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\fcolorbox{white}{grey}{3.} In der Definition heißt es, dass alle Punkte gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Du müsstest also unendlich viele Punkte zeichnen. Irgendwann kannst du die Punkte nicht mehr unterscheiden und es ergibt sich eine Linie.

Die Linie liegt flach auf dem Blockblatt. Sie liegt also in einer Ebene.

Bewege den Slider

\rightarrow\rightarrow Alle Eigenschaften der Kreisdefinition sind erfüllt. Es handelt sich um einen Kreis!

Wichtige Begriffe

Es gibt ein paar Begriffe, mit denen du die Bestandteile eines Kreises benennst.

Begriff, Abkürzung, Erklärung

Bild

Kreislinie kkk

Hierauf liegen alle Punkte, die gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Spricht man von einem Kreis, dann meint man genau genommen die Kreislinie.

Kreis, bei dem die Kreislinie markiert und mit k beschriftet ist.

Mittelpunkt MMM

Zentrum des Kreises. Von ihm sind alle Punkte der Kreislinie gleich weit entfernt.

Kreis, bei dem der Mittelpunkt markiert und mit M beschriftet ist.

Radius rrr

Abstand zwischen Mittelpunkt und einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.

Kreis, bei dem der Radius markiert und mit r beschriftet ist.

Durchmesser ddd

Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie, die gegenüber liegen. Der Durchmesser verläuft durch den Mittelpunkt.
Es gilt \boxed{d=2\cdot r}d=2r\boxed{d=2\cdot r}

Kreis, bei dem der Durchmesser markiert und mit d beschriftet ist.

Sehne sss

Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie, die nicht unbedingt gegenüber liegen. Die Sehne kann durch den Mittelpunkt verlaufen, muss sie aber nicht.
Der Durchmesser ist der Spezialfall der Sehne, wenn sie durch den MIttelpunkt verläuft.

Kreis, bei dem die Sehne markiert und mit s beschriftet ist.

Kreisbogen bbb

Abschnitt der Kreislinie von einem Punkt auf der Kreislinie zu einem anderen.

Kreis, bei dem der Kreisbogen markiert und mit b beschriftet ist.

Kreisfläche A_{\text{Kreis}}AKreisA_{\text{Kreis}}

Gesamte Fläche innerhalb der Kreislinie.

Kreis, bei dem die Kreisfläche markiert und mit A_Kreis beschriftet ist.

Kreissektor (auch Kreisausschnitt) A_{\text{Sektor}}ASektorA_{\text{Sektor}}

Teilfläche des Kreises, die durch zwei Radien und dem dazwischenliegenden Kreisbogen begrenzt ist.

Kreis, bei dem ein Kreissektor markiert und mit A_Sektor beschriftet ist.

Kreissegment (auch Kreisabschnitt) A_{\text{Segment}}ASegmentA_{\text{Segment}}

Teilfläche des Kreises, die durch eine Kreissehne und dem dazwischenliegenden Kreisbogen begrenzt ist.

Kreis, bei dem ein Kreissegment markiert und mit A_Segment beschriftet ist.

Beispiel

Aufgabe

Benenne die farbig hervorgehobenen Bestandteile eines Kreises.

Roter Kreis, bei dem in grün die Strecke von zwei gegenüberliegenden Punkten auf der Kreislinie markiert ist, in blau die Strecke vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf der Kreislinie, in violett die Strecke von zwei nicht gegenüberliegenden Punkten auf der Kreislinie. In gelb ist eine Fläche markiert, die von zwei Strecken zwischen Mittelpunkt und einem Punkt auf der Kreislinie eingeschlossen ist.

Lösung

  • Die rote Linie umfasst alle Punkte, die gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind.

\qquad\implies\qquad\implies Kreislinie \col[3]k\col[3]k\col[3]k

  • Die blaue Strecke beschreibt die Entfernung zwischen dem Mittelpunkt und einem Punkt auf der Kreislinie.

\qquad \implies\qquad \implies Radius \col[2]r\col[2]r\col[2]r

  • Die grüne Strecke verbindet zwei gegenüberliegende Punkte der Kreislinie und verläuft durch den Mittelpunkt.

\qquad \implies\qquad \implies Durchmesser \col[4]d\col[4]d\col[4]d

  • Die violette Strecke verbindet zwei nicht gegenüberliegende Punkte der Kreislinie und verläuft nicht durch den Mittelpunkt.

\qquad\implies\qquad\implies Sehne \col[6]s\col[6]s\col[6]s

  • Die gelbe Fläche ist durch zwei Radien und dem dazwischenliegenden Kreisbogen beschränkt.

\qquad\implies\qquad\implies Kreissektor \col[1]{A_{\text{Sektor}}}\col[1]ASektor\col[1]{A_{\text{Sektor}}}

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