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Kreise und Kugeln - Fläche, Umfang, Volumen

Kreis - Flächeninhalt & Umfang

Ihr berechnet in der Schule gerade wieder Flächeninhalte und Umfänge von Figuren? Dann ist der Kreis sicherlich auch nicht weit weg und der hat's ganz schön in sich!

Was genau ist denn dieses \pi $\pi$ , das ständig in Zusammenhang mit dem Kreis auftaucht? Und wie genau berechnest du daraus dann auch noch dem Umfang oder den Flächeninhalt eines Kreises?

In der simpleclub-App wird dir alles Schritt für Schritt erklärt und am Ende dieses Kapitels bist du ein Kreis-Profi!

Kreisumfang & Kreisfläche einfach erklärt

Der Kreis ist eine ganz besondere Figur, denn er hat (im Gegensatz zu den meisten anderen Figuren) keine Ecken, sondern ist rund.

Das macht es auch nicht so einfach seinen Umfang oder Flächeninhalt zu berechnen, denn der Kreis hat ja keine Höhe oder Breite, sondern einen Radius \text{r} $\text{r}$ oder auch einen Durchmesser \text{d} $\text{d}$ .
Würdest du den Radius \text{r} $\text{r}$ quadrieren, würdest du ja die Fläche eines Quadrats berechnen und nicht die eines Kreises - das ist also schon mal falsch.

Um den Umfang oder den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, brauchst du einen Trick. Dieser Trick nennt sich Kreiszahl \pi $\pi$ ("pi").
\rarr $\rarr$ Dieses \pi $\pi$ ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik und hilft dir dabei sämtliche Berechnungen am Kreis durchzuführen. \pi $\pi$ ist zwar eine konstante Zahl (ca. 3,14... $3,14...$ ), aber sie hat unendlich viele Nachkommastellen.

Für den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises ergeben sich mithilfe des \pi $\pi$ wieder zwei einfache Formeln, in die du nur noch den Radius (oder Duchmesser) einsetzen musst. Merke sie dir also gut!

Die Kreiszahl \Large \pi $\Large \pi$ Definition

Die **Kreiszahl** \col[3]{ \pi} $\col[3]{ \pi}$ ist eine unendlich lange, aber konstante Zahl, die sich aus dem Verhältnis zwischen dem Umfang \text{U} $\text{U}$ eines Kreises und dessen Durchmesser \text{d} $\text{d}$ berechnen lässt.

\col[3]{\pi}= \frac{ \text{U}}{ \text{d}} =\col[3]{3,141592653589793...}

\col[3]{\pi}= \frac{ \text{U}}{ \text{d}} =\col[3]{3,141592653589793...}

Mai hat verschiedene runde Gegenstände und soll nun deren Umfang und Durchmesser messen. Außerdem soll sie den Quotient \frac{\text{U}}{\text{d}} $\frac{\text{U}}{\text{d}}$ berechnen.

Sie trägt ihre Messungen und Berchungen in folgende Tabelle ein:

Gegenstand	\text{U} ~[\text{cm}] $\text{U} ~[\text{cm}]$	\text{d} ~[\text{cm}] $\text{d} ~[\text{cm}]$	\frac{\text{U}}{\text{d}} $\frac{\text{U}}{\text{d}}$
Pizza	94,2 $94,2$	30 $30$	\col[3]{3,14} $\col[3]{3,14}$
Rad	195,4 $195,4$	62,2 $62,2$	\col[3]{3,14} $\col[3]{3,14}$
Globus	78,5 $78,5$	25 $25$	\col[3]{3,14} $\col[3]{3,14}$

\rarr $\rarr$ Mai stellt fest: Der **Quotient** aus \col[3]{\large \frac{\text{U}}{\text{d}}} $\col[3]{\large \frac{\text{U}}{\text{d}}}$ ist bei ALLEN runden Gegenständen gleich, obwohl sie alle unterschiedlich groß sind!

Diese Zahl ist in der Mathematik nämlich eine ganz besondere Zahl, die heißt **Kreiszahl** \col[3]{\pi} $\col[3]{\pi}$ ("pi").

\pi $\pi$ ist eine irrationale Zahl.

\rarr $\rarr$ Das heißt, sie kann nicht als Bruch geschrieben werden.

\rarr $\rarr$ Das bedeutet, dass \pi $\pi$ unendlich viele Nachkommastellen hat, die sich nicht periodisch wiederholen.

Kreisumfang \Large\textsf{U} $\Large\textsf{U}$ Formel

Der Umfang eines Kreises berechnet sich aus dem Produkt des Durchmessers \text{d} $\text{d}$ und der Kreiszahl \pi $\pi$ eines Kreises.

\boxed{\text{U}= \text{d} \cdot \col[3]{\pi}}

\boxed{\text{U}= \text{d} \cdot \col[3]{\pi}}

\boxed{\text{U}= 2\text{r} \cdot \col[3]{\pi}}

\boxed{\text{U}= 2\text{r} \cdot \col[3]{\pi}}

Du weißt nun also, dass der Quotient \large \frac{\text{U}}{\text{d}} $\large \frac{\text{U}}{\text{d}}$ immer \pi $\pi$ ergibt, also \large \frac{\text{U}}{\text{d}}= \col[3]{\pi} $\large \frac{\text{U}}{\text{d}}= \col[3]{\pi}$ .

Wenn du diese Gleichung nun umformst, erhältst du eine Formel, mit der du immer dem Umfang eines Kreises berechnen kannst:

\begin{aligned} \frac{\text{U}}{\text{d}}& = \col[3]{\pi} && \quad \mid \cdot \text{d} \\[2mm] \text{U} &= \lsg{\text{d} \cdot\col[3]{\pi}} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\text{U}}{\text{d}}& = \col[3]{\pi} && \quad \mid \cdot \text{d} \\[2mm] \text{U} &= \lsg{\text{d} \cdot\col[3]{\pi}} \end{aligned}

\rarr $\rarr$ Da der Durchmesser \text{d} $\text{d}$ das gleiche wie der doppelte Radius \text{r} $\text{r}$ ist, kannst du den Umfang also auch über den Radius berechnen.

\text{U} = \lsg{2~\text{r} \cdot\col[3]{\pi}}

\text{U} = \lsg{2~\text{r} \cdot\col[3]{\pi}}

Kreisfläche \Large \text{A}_{\textsf{Kreis}} $\Large \text{A}_{\textsf{Kreis}}$ Formel

Die Fläche eines Kreises berechnet sich aus dem Quadrat des Radius \text{r} $\text{r}$ mal die Kreiszahl \pi $\pi$ .

\boxed{\text{A}_{\textsf{Kreis}}= \text{r}^2 \cdot \col[3]{\pi}}

\boxed{\text{A}_{\textsf{Kreis}}= \text{r}^2 \cdot \col[3]{\pi}}

Die Fläche eines Kreises lässt sich sehr gut über die Fläche eines Rechtecks herleiten.
Zerschneide dazu einen Kreis in viele, gleich große Stücke und lege sie so zusammen, dass die annähernd ein Rechteck ergeben:

Tippe auf die Buttons & wechsle die Ansichten.

Kreise

6

12

24

Der Kreis halt also denselben Flächeninhalt wie das gelegte Rechteck. Und vom Rechteck weißt du ja wie du den Flächeininhalt bestimmst!

\begin{aligned} \text{A}_{\textsf{Kreis}} & = \text{A}_{\textsf{Rechteck}} \\[1mm] &= a \cdot b \end{aligned}

\begin{aligned} \text{A}_{\textsf{Kreis}} & = \text{A}_{\textsf{Rechteck}} \\[1mm] &= a \cdot b \end{aligned}

Die Seite a $a$ entspricht dabei dem Radius \text{r} $\text{r}$ des Kreises und die Seite b $b$ dem halben Umfang \frac{1}{2} \text{ U} $\frac{1}{2} \text{ U}$ :

\begin{aligned} \quad \qquad &= \text{r} \cdot \frac{1}{2} ~\col[4]{\text{U}} \\[1mm] &= \text{r} \cdot \frac{1}{2} \cdot \col[4]{\underline{ \col[0]{2 \text{r} \cdot \pi}}} \\[1mm] &= \text{r} \cdot \text{r} \cdot \pi \\[1mm] &= \text{r}^2 \cdot \pi \end{aligned}

\begin{aligned} \quad \qquad &= \text{r} \cdot \frac{1}{2} ~\col[4]{\text{U}} \\[1mm] &= \text{r} \cdot \frac{1}{2} \cdot \col[4]{\underline{ \col[0]{2 \text{r} \cdot \pi}}} \\[1mm] &= \text{r} \cdot \text{r} \cdot \pi \\[1mm] &= \text{r}^2 \cdot \pi \end{aligned}

Und damit ist die Formel für die Brechung der Kreisfläche \text{A}_{\textsf{Kreis}} $\text{A}_{\textsf{Kreis}}$ wunderschön hergeleitet!
Von nun an brauchst du nur noch den Radius, setzt ihn in die Formel ein und berechnest damit den Flächeninhalt!

\implies\boxed{\text{A}_{\textsf{Kreis}}= \text{r}^2 \cdot \pi}

\implies\boxed{\text{A}_{\textsf{Kreis}}= \text{r}^2 \cdot \pi}

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Kreisumfang & Kreisfläche Beispiele

Kreisumfang berechnen

Aufgabe

Berechne dem Umfang \text{U} $\text{U}$ eines Kreises mit einem Durchmesser von \text{d}=13\text{ cm} $\text{d}=13\text{ cm}$ .

Lösung

Du hast also den Duchmesser mit \text{d}=13\text{ cm} $\text{d}=13\text{ cm}$ gegeben. Diesen setzt du nun einfach die Formel ein:

\begin{aligned} \text{U}_{\textsf{Kreis}} & =\text{d} \cdot \col[3]{\pi} \\[1mm] &= 13 \text{ cm} \cdot \col[3]{\pi} \\[1mm] &\approx \lsg{40,84 \text{ cm}} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{U}_{\textsf{Kreis}} & =\text{d} \cdot \col[3]{\pi} \\[1mm] &= 13 \text{ cm} \cdot \col[3]{\pi} \\[1mm] &\approx \lsg{40,84 \text{ cm}} \end{aligned}

Hinweis: Du kannst in deinen Taschenrechner \col[3]{\pi} $\col[3]{\pi}$ einfach als \col[3]{\pi} $\col[3]{\pi}$ eingeben. Dein Taschenrechner rechnet damit dann weiter, sodass du am Ende eine Dezimalzahl herausbekommst, die du nur noch richtig runden musst.

Kreisfläche berechnen

Aufgabe

Ein runder Hubschrauberlandeplatz hat einen Durchmesser von \text{d}=26 \text{ m} $\text{d}=26 \text{ m}$ . Berechne dessen Flächeninhalt.

Lösung

Du hast einen Durchmesser von \text{d} =26 \text{ m} $\text{d} =26 \text{ m}$ gegeben. Für die Berechnung des Flächeninhalts benötigst du aber den Radius. Den musst du also vorher noch schnell berechnen:

\text{r} = \frac{1}{2} ~\text{d}= \frac{1}{2} \cdot 26 \text{ m}= \underline{13 \text{ m}}

\text{r} = \frac{1}{2} ~\text{d}= \frac{1}{2} \cdot 26 \text{ m}= \underline{13 \text{ m}}

Danach kannst du den Radius in die Formel einsetzen:

\begin{aligned} \text{A}_{\textsf{Kreis}} & =\text{r}^2 \cdot \col[3]{\pi} \\[1mm] &= (13 \text{ m})^2 \cdot \col[3]{\pi} \\[1mm] &= 169 \col[3]{\pi} \text{ m}^2 \\[1mm] &\approx \lsg{530,93 \text{ m}^2} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{A}_{\textsf{Kreis}} & =\text{r}^2 \cdot \col[3]{\pi} \\[1mm] &= (13 \text{ m})^2 \cdot \col[3]{\pi} \\[1mm] &= 169 \col[3]{\pi} \text{ m}^2 \\[1mm] &\approx \lsg{530,93 \text{ m}^2} \end{aligned}

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Kreisumfang & Kreisfläche Zusammenfassung

Die **Kreiszahl** \col[3]{\pi} $\col[3]{\pi}$ ist eine konstante Zahl von ca. \col[3]{3,14...} $\col[3]{3,14...}$ , die aber unendlich viele Nachkommastellen hat. Mit dieser Zahl lassen sich verschiedene Berechungen am Kreis durchführen:

Für die Berechnung des Umfangs eines Kreises brauchst du nur den Durchmesser oder den Radius und setzt diese in die passende Formel ein:

\qquad \boxed{\text{U}_{\textsf{Kreis}}=\text{d} \cdot \col[3]{\pi}}

\qquad \boxed{\text{U}_{\textsf{Kreis}}=\text{d} \cdot \col[3]{\pi}}

\qquad \boxed{\text{U}_{\textsf{Kreis}}=2 \text{ r} \cdot \col[3]{\pi}}

\qquad \boxed{\text{U}_{\textsf{Kreis}}=2 \text{ r} \cdot \col[3]{\pi}}

Für die Berechung der Fläche eines Kreises ist der Radius wichtig. Diesen setzt du einfach in diese Formel ein:

\qquad \boxed{\text{A}_{\textsf{Kreis}}= \text{r}^2 \cdot \col[3]{\pi}}

\qquad \boxed{\text{A}_{\textsf{Kreis}}= \text{r}^2 \cdot \col[3]{\pi}}

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