In Mathe begegnet dir früher oder später das Thema Analysis. Dabei lernst du zum Beispiel Funktionen kennen, die du in einem Graphen darstellen kannst.

Diese Funktionen und die Achsen des Graphen können sich schneiden. Wie du berechnest, wo Funktionen und Achsen ihre Schnittpunkte haben, zeigt dir simpleclub!

Schnittpunkte einfach erklärt

Schneidet eine Funktion eine Achse oder eine andere Funktion, dann entsteht ein Schnittpunkt.

Ein Schnittpunkt ist damit ein gemeinsamer Punkt der Funktion mit einer Achse oder mit einer anderen Funktion.

Schnittpunkte Definition

Ein Schnittpunkt einer Funktion mit einer Achse oder einer anderen Funktion ist ein gemeinsamer Punkt, den beide durchlaufen.

Schnittpunkt \large y $\large y$ -Achsenabschnitt

Der y $y$ -Achsenabschnitt einer Funktion ist der Schnittpunkt des Graphen mit der y $y$ -Achse.

Merke: es gibt nur einen y $y$ -Achsenabschnitt.

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Berechnung:

Setze in die Funktion Null ein.

f(x) = 2x+1

f(x) = 2x+1

f(\textcolor{sc_color_1}{0}) = 2\cdot 0 +1 = \textcolor{sc_color_2}{1}

f(\textcolor{#7F7706}{0}) = 2\cdot 0 +1 = \textcolor{#0069FC}{1}

Der y-Achsenabschnitt liegt also bei

P(\textcolor{sc_color_1}{0}|\textcolor{sc_color_2}{1})

P(\textcolor{#7F7706}{0}|\textcolor{#0069FC}{1})

Schnittpunkte Nullstellen

Eine Funktion kann auch Schnittpunkte mit der x $x$ -Achse haben. Das sind die sogenannten Nullpunkte.

An diesen Punkten ist der Funktionswert 0 $0$ .

Die zugehörigen x $x$ -Werte heißen Nullstellen!

Schnittpunkt mit anderen Funktionen

Eine Funktion kann auch eine andere Funktion schneiden.

f(x) = 2x+1

f(x) = 2x+1

g(x) = -x+4

g(x) = -x+4

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Um Schnittpunkte zu bestimmen, musst du die Funktionen gleichsetzen. Die Schnittpunkte sind nämlich gemeinsame Punkte.

f(x) = g(x)

f(x) = g(x)

2x+1 = -x+4

2x+1 = -x+4

Dann musst du nach x $x$ umformen.

\begin{aligned} 2x+1 &= -x+4 &&\quad\mid+x \\ 3x+1& = 4&&\quad\mid-1 \\ 3x &= 3&&\quad\mid:3 \end{aligned}

\begin{aligned} 2x+1 &= -x+4 &&\quad\mid+x \\ 3x+1& = 4&&\quad\mid-1 \\ 3x &= 3&&\quad\mid:3 \end{aligned}

\textcolor{sc_color_1}{x=1}

\textcolor{#7F7706}{x=1}

An der Stelle \textcolor{sc_color_1}{x=1} $\textcolor{#7F7706}{x=1}$ haben die beiden Funktionen einen gemeinsamen Punkt - also einen Schnittpunkt.

Den Wert \col[1]{x=1} $\col[1]{x=1}$ musst du jetzt noch in eine der beiden Funktionen einsetzen, um den Funktionswert zu bekommen.

Es ist egal, in welche Funktion du den x $x$ -Wert einsetzt. Die Funktionen haben dort ja einen gemeinsamen Punkt!

f(\textcolor{sc_color_1}{1}) = 2\cdot 1 + 1 =2+1=\textcolor{sc_color_2}{3}

f(\textcolor{#7F7706}{1}) = 2\cdot 1 + 1 =2+1=\textcolor{#0069FC}{3}

g(\textcolor{sc_color_1}{1}) = -1+4 = \textcolor{sc_color_2}{3}

g(\textcolor{#7F7706}{1}) = -1+4 = \textcolor{#0069FC}{3}

Der Schnittpunkt liegt also bei

P(\textcolor{sc_color_1}{1}|\textcolor{sc_color_2}{3})

P(\textcolor{#7F7706}{1}|\textcolor{#0069FC}{3})

Übungen gefällig?

Nutze den Übungstest, um zu sehen, wie gut du das Thema verstehst. Wenn du dich bereit fühlst, kannst du dich selbst testen und sehen, welche Note du bekommen würdest!

Lerne mehr und teste dein Wissen mit dem Übungstest.

Beispiele Schnittpunkte

\large y $\large y$ -Achsenabschnitt

Bestimme zur Funktion

f(x) = -x^2+1

f(x) = -x^2+1

den y $y$ -Achsenabschnitt.

Zur Lösung musst du nur den Wert Null in die Funktion einsetzen.

f(0) = -0^2+1 = 0+1 = 1

f(0) = -0^2+1 = 0+1 = 1

Der y $y$ -Achsenabschnitt liegt bei

P(0,1)

P(0,1)

Schnittpunkt zweier Funktionen

Bestimme die Schnittpunkte der Funktionen

f(x) = x^2+1

f(x) = x^2+1

g(x) = 2x+1

g(x) = 2x+1

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Setze die Funktionen gleich und forme nach x $x$ um:

x^2+1 = 2x+1 \space\space\space|-2x

x^2+1 = 2x+1 \space\space\space|-2x

x^2-2x+1 = 1 \space\space\space|-1

x^2-2x+1 = 1 \space\space\space|-1

x^2-2x = 0 \space\space\space

x^2-2x = 0 \space\space\space

Bestimme die x $x$ -Werte, indem du ein x $x$ ausklammerst:

x(x-2)=0

x(x-2)=0

\textcolor{sc_color_3}{x_1 = 0}

\textcolor{#DD2238}{x_1 = 0}

\textcolor{sc_color_1}{x_2 =2}

\textcolor{#7F7706}{x_2 =2}

Setze nun die beiden x $x$ -Werte noch in eine der beiden Funktionen ein.

f(\textcolor{sc_color_3}{0}) =0^2+1=\textcolor{sc_color_4}{1}

f(\textcolor{#DD2238}{0}) =0^2+1=\textcolor{#00856C}{1}

Der erste Schnittpunkt ist bei

\implies P_{S1}(\textcolor{sc_color_3}{0}|\textcolor{sc_color_4}{1})

\implies P_{S1}(\textcolor{#DD2238}{0}|\textcolor{#00856C}{1})

f(\textcolor{sc_color_1}{2}) = 2^2+1 = 4+1=\textcolor{sc_color_2}{5}

f(\textcolor{#7F7706}{2}) = 2^2+1 = 4+1=\textcolor{#0069FC}{5}

Der zweite Schnittpunkt ist bei

\implies P_{S2}(\textcolor{sc_color_1}{2}|\textcolor{sc_color_2}{5})

\implies P_{S2}(\textcolor{#7F7706}{2}|\textcolor{#0069FC}{5})

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