Extrempunkte

Wenn du in Mathe gerade Analysis hast, werden dir bei dem Thema Kurvendiskussion auch Hoch- und Tiefpunkte von Funktionen begegnen.

Diese Punkte nennt man Extrempunkte oder Extrema. In Tests oder Klausuren musst du häufig Extrempunkte berechnen.

simpleclub erklärt dir, was Extrempunkte sind und wie du die Extrema einer Funktion herausfindest!

Extrempunkte einfach erklärt

Extrempunkte sind besondere Punkte auf dem Graphen einer Funktion.

Die x^{}_{}$x^{}_{}$-Werte/x^{}_{}$x^{}_{}$-Koordinaten der Extrempunkte heißen Extremstellen.

Es gibt Hochpunkte und Tiefpunkte.

Extrempunkt Definition

Vorgehensweise Extrempunkte bestimmen

Wenn du Extrempunkte bestimmen möchtest, kannst du dich an diesen Schritten orientieren:

1. Erste und zweite Ableitung bilden.
2. Erste Ableitung gleich 0$0$ setzen und nach x$x$ auflösen: f'(x) = 0$f'(x) = 0$
3. Überprüfen, ob eine Extremstelle vorliegt durch Einsetzen in die 2. Ableitung oder einen Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung. Du kannst auch entscheiden, ob ein Hoch- bzw. Tiefpunkt vorliegt.
4. Die y$y$-Werte ausrechnen durch Einsetzen in die Funktion.

Lokales Minimum/Maximum und Globales Minimum/Maximum

Lokale Minima/Maxima

Liegt ein Tiefpunkt vor, so ist er in seiner Umgebung der tiefste Punkt. Er wird daher auch als lokales Minimum (auch relatives Minimum) bezeichnet.

Liegt ein Hochpunkt vor, so ist er in seiner Umgebung der höchste Punkt. Er wird daher auch als lokales Maximum (auch relatives Maximum) bezeichnet.

Globale Minima/Maxima

Ist ein Tiefpunkt gleichzeitig auch der tiefste Punkt der gesamten Funktion, bezeichnet man ihn als globales Minimum (auch absolutes Minimum).

Ist ein Hochpunkt gleichzeitig auch der höchste Punkt der gesamten Funktion, bezeichnet man ihn als globales Maximum (auch absolutes Maximum).

Beispiel für ein globales Minimum

Die Funktion f(x) = x^2$f(x) = x^2$ hat einen Tiefpunkt bei (0|\col[3]{0})$(0|\col[3]{0})$. In seiner Umgebung ist dies der tiefste Punkt. Es handelt sich also immer um ein lokales Minimum.

Gleichzeitig ist dies aber auch der tiefste Punkt der gesamten Funktion. Denn es gilt für alle x$x$:

Es gibt also keinen Punkt, der tiefer als (0|\col[3]{0})$(0|\col[3]{0})$ liegt. Damit ist der Tiefpunkt ein globales Minimum.

Beispiel für kein globales Minimum/Maximum

Die Funktion f(x) = x^3 - 3x^2$f(x) = x^3 - 3x^2$ hat einen Tiefpunkt bei (2|\col[2]{-4})$(2|\col[2]{-4})$. In seiner Umgebung ist dies der tiefste Punkt. Es handelt sich also immer um ein lokales Minimum.

Allerdings gibt es Funktionswerte, die tiefer liegen. Z.B. gilt:

Der Tiefpunkt ist also kein globales Minimum.

Die Funktion f(x) = x^3 - 3x^2$f(x) = x^3 - 3x^2$ hat einen Hochpunkt bei (0|\col[3]{0})$(0|\col[3]{0})$. In seiner Umgebung ist dies der höchste Punkt. Es handelt sich also immer um ein lokales Maximum.

Allerdings gibt es Funktionswerte, die höher liegen. Z.B. gilt:

Der Hochpunkt ist also kein globales Maximum.

Notwendiges Kriterium

An den Extrempunkten ist die Steigung 0$0$.

Deswegen ist die 1. Ableitung an Extremstellen 0$0$.

Das ist das sogenannte notwendige Kriterium (auch notwendige Bedingung).

Es gibt aber auch Fälle, in denen zwar die 1. Ableitung 0$0$ ist, aber keine Extremstelle vorliegt.

Deshalb reicht diese Bedingung nicht aus.

Hinreichendes Kriterium

Vorzeichenwechsel

An Extrempunkten wechselt der Graph die Steigung.

Liegt ein Tiefpunkt vor, so wechselt die Steigung von negativ zu positiv.

Liegt ein Hochpunkt vor, so wechselt die Steigung von positiv zu negativ.

Um zu überprüfen, ob an einer Stelle ein Extrempunkt liegt, musst du die 1. Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen.

Dazu setzt du Werte links und rechts von der möglichen Extremstelle in die 1. Ableitung ein.

Wenn der Wert links von der Stelle positiv ist und rechts davon negativ, dann liegt ein Hochpunkt vor.

Wenn der Wert links von der Stelle negativ ist und rechts davon positiv, dann liegt ein Tiefpunkt vor.

Haben die Werte das gleiche Vorzeichen, dann liegt kein Extrempunkt vor. Solche Punkte werden als Sattelpunkte (auch Terrassenpunkte) bezeichnet.

An den Extrempunkten ist die Steigung Null UND wechselt dort ihr Vorzeichen.

Das ist das sogenannte hinreichende Kriterium (auch hinreichende Bedingung).

und

Die zweite Ableitung muss ungleich Null sein.

Ist dies erfüllt, so liegt ein Extrempunkt bei P\left(x\middle|f(x)\right)$P\left(x\middle|f(x)\right)$.

Wenn

dann liegt ein Hochpunkt vor.

Wenn

dann liegt ein Tiefpunkt vor.

Extrempunkte berechnen Beispiele

Extrempunkte mit 2. Ableitung bestimmen

Bestimme zur Funktion

die Extrempunkte.

Das notwendige Kriterium lautet:

Die 1. Ableitung muss 0 sein, damit überhaupt eine Extremstelle vorliegen kann.

Bestimme die 1. Ableitung der Funktion.

Setze jetzt die 1. Ableitung gleich 0 und löse nach x$x$ auf.

Du kannst ein x ausklammern.

Ein Produkt wird Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null wird.

Die Nullstellen der Ableitung lauten also:

Befinden sich hier wirklich Extrempunkte?

Das hinreichende Kriterium lautet:

Wenn die 2. Ableitung ungleich 0 ist, dann handelt es sich wirklich um eine Extremstelle.

Bestimme die 2. Ableitung der Funktion.

Setze jetzt die beiden möglichen Extremstellen ein.

Es handelt sich um eine Extremstelle.

Der Punkt

ist also ein Extrempunkt.

Da der Wert der zweiten Ableitung kleiner Null ist, ist dies ein Hochpunkt.

Überprüfe noch die zweite mögliche Extremstelle.

Es handelt sich um eine Extremstelle.

Der Punkt

ist also ein Extrempunkt.

Da der Wert der zweiten Ableitung größer Null ist, ist dies ein Tiefpunkt.

Der Graph dazu sieht so aus:

Extrempunkte mit Vorzeichenwechsel bestimmen

Bestimme zur Funktion

die Extrempunkte.

Das notwendige Kriterium lautet:

Die 1. Ableitung muss 0 sein, damit überhaupt eine Extremstelle vorliegen kann.

Bestimme die 1. Ableitung der Funktion.

Setze jetzt die 1. Ableitung gleich 0 und löse nach x$x$ auf.

Diese Gleichung hat nur die Lösung x = 0$x = 0$.

Befindet sich hier wirklich ein Extrempunkt?

Das hinreichende Kriterium lautet:

Wenn die 2. Ableitung ungleich 0 ist, dann handelt es sich wirklich um eine Extremstelle.

Bestimme die 2. Ableitung der Funktion.

Setze jetzt die mögliche Extremstelle ein.

Da f''(0) \neq 0$f''(0) \neq 0$ ist, kannst du noch nicht sagen, ob hier eine Extremstelle vorliegt.

Benutze also den Vorzeichenwechsel.

Setze in die 1. Ableitung f'(x)$f'(x)$ links und rechts von der möglichen Extremstelle x=0$x=0$ Werte ein.

Wähle die Werte möglichst klein!

Als Wert links von x=0$x=0$ kannst du z.B. -\frac{1}{10}$-\frac{1}{10}$ einsetzen:

Als Wert rechts von x=0$x=0$ kannst du z.B. +\frac{1}{10}$+\frac{1}{10}$ einsetzen:

Das Vorzeichen der 1. Ableitung (und damit der Steigung) wechselt also an der Stelle x= 0$x= 0$ von negativ zu positiv.

Deswegen liegt dort ein Tiefpunkt.

Die genauen Koordinaten liegen bei

Der Graph dazu sieht so aus:

Extrempunkte Zusammenfassung

Es gibt zwei Arten von Extrempunkten:

• Maxima
• Minima

An beiden gilt jeweils, dass die Ableitung gleich 0 sein muss:

An den Extrempunkten liegt deshalb auch immer eine waagerechte Tangente an, denn auch Tangenten geben ja die Steigung des Graphen in diesem Punkt an. Und eine waagerechte Tangente hat genau die Steigung 0$0$.