Sattelpunkte

Sattelpunkt

Du hast im Matheunterricht gerade das Thema Kurvendiskussion?

Dann wird dir mit Sicherheit auch der Sattelpunkt begegnen.

Sattelpunkte sind auch häufig Teil von Klausuren oder Tests zu dem Thema Kurvendiskussion.

simpleclub erklärt dir alles, was du zu Sattelpunkten wissen solltest!


Sattelpunkt einfach erklärt

Sattelpunkte (auch Terrassenpunkte) sind Wendepunkte mit Tangentensteigung 000. D.h. die Tangente ist parallel zur xxx-Achse.

Allerdings handelt es sich nicht um Extrempunkte, da dort kein Vorzeichenwechsel der Steigung vorliegt.

Der Graph erinnert an einen Sattel oder eine Terrasse - daher auch die Namensbezeichnung.

Sattelpunkt

Sattelpunkt Definition

Sattelpunkte (auch Terrassenpunkte) sind spezielle Wendepunkte, an denen die 1. Ableitung 000 ist. Sie sind aber keine Extrempunkte.

Berechnung von Sattelpunkten

Um einen Sattelpunkt nachzuweisen, musst du drei Dinge prüfen:

  1. Notwendiges Kriterium für Extrempunkte

  2. Notwendiges Kriterium für Wendepunkte

  3. Hinreichendes Kriterium für Wendepunkte oder Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung

\begin{aligned} \quad f'(x) &=0 &&\qquad \textsf{Notwendiges Kriterium Extrempunkte}\\ \quad f''(x) &= 0 &&\qquad \textsf{Notwendiges Kriterium Wendepunkte} \\ f'''(x) &\neq 0 &&\qquad \textsf{Hinreichendes Kriterium Wendepunkte} \\ & &&\qquad \textsf{oder}\\ & &&\qquad \textsf{Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung} \end{aligned}f(x)=0NotwendigesKriteriumExtrempunktef(x)=0NotwendigesKriteriumWendepunktef(x)0HinreichendesKriteriumWendepunkteoderVorzeichenwechselder2.Ableitung\begin{aligned} \quad f'(x) &=0 &&\qquad \textsf{Notwendiges Kriterium Extrempunkte}\\ \quad f''(x) &= 0 &&\qquad \textsf{Notwendiges Kriterium Wendepunkte} \\ f'''(x) &\neq 0 &&\qquad \textsf{Hinreichendes Kriterium Wendepunkte} \\ & &&\qquad \textsf{oder}\\ & &&\qquad \textsf{Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung} \end{aligned}
Terrassenpunkt

Merke: Sattelpunkte sind Wendepunkte, an denen die 1. Ableitung = 0 ist.


Sattelpunkt berechnen Beispiele

Ganzrationale Funktion 3. Grades

Weise nach, dass die Funktion f(x) = x^3f(x)=x3f(x) = x^3 einen Sattelpunkt hat.

Bilde von der Funktion

f \left( x \right) = x^3 f(x)=x3f \left( x \right) = x^3

die ersten drei Ableitungen.

\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2\\[3mm] f''(x) &= 6x\\[3mm] f'''(x) &= 6 \end{aligned}f(x)=3x2f(x)=6xf(x)=6\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2\\[3mm] f''(x) &= 6x\\[3mm] f'''(x) &= 6 \end{aligned}

Notwendiges Kriterium

Das notwendige Kriterium für Extrempunkte lautet:

Die 1. Ableitung muss 0 sein.

Setze also die 1. Ableitung gleich 0:

0 = 3x^2 0=3x20 = 3x^2

Du erkennst sofort, dass x=0x=0x=0 die Gleichung erfüllt.

Jetzt kann also ein Extrempunkt vorliegen - muss es aber nicht!

Notwendiges Kriterium für Wendepunkte

Das notwendige Kriterium für Wendepunkte lautet:

Die 2. Ableitung muss 0 sein.

Setze also die 2. Ableitung gleich 0.

0 = 6x 0=6x0 = 6x

Da die 2. Ableitung an derselben Stelle x=0x=0x=0 gleich 000 ist, liegt kein Extrempunkt vor. Das ist gut!

Bei x=0x=0x=0 kann also eine Wendestelle liegen!

Hinreichendes Kriterium

Um zu überprüfen, ob dort wirklich ein Wendepunkt vorliegt, setze den Wert in die 3. Ableitung ein!

\begin{aligned} f''' \left( 0 \right) &= 6 >0 \end{aligned}f(0)=6>0\begin{aligned} f''' \left( 0 \right) &= 6 >0 \end{aligned}

Also liegt eine Wendestelle vor. Der Graph wechselt dort von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve.

Für den Wendepunkt benötigst du noch die y^{}_{}yy^{}_{}-Koordinate!

Setze also 0^{}_{}00^{}_{} in die Funktion f^{}_{}ff^{}_{} ein

\begin{aligned} f \left( 0 \right) &= 0^3 =0 \end{aligned} f(0)=03=0\begin{aligned} f \left( 0 \right) &= 0^3 =0 \end{aligned} \col[1]{ \implies \lsg{\textsf{Wendepunkt bei} \ W_P \left( 0 \middle| 0 \right) }}WendepunktbeiWP(0|0)\col[1]{ \implies \lsg{\textsf{Wendepunkt bei} \ W_P \left( 0 \middle| 0 \right) }}

Alle drei Kriterien für einen Sattelpunkt sind somit erfüllt. Es liegt somit ein Wendepunkt bei \col[1]{W_P (0|0)}WP(00)\col[1]{W_P (0|0)} vor.

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