Sattelpunkte (auch Terrassenpunkte) sind spezielle Wendepunkte, an denen die 1. Ableitung 0 $0$ ist. Sie sind aber keine Extrempunkte.

Berechnung von Sattelpunkten

Um einen Sattelpunkt nachzuweisen, musst du drei Dinge prüfen:

Notwendiges Kriterium für Extrempunkte
Notwendiges Kriterium für Wendepunkte
Hinreichendes Kriterium für Wendepunkte oder Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung

\begin{aligned} \quad f'(x) &=0 &&\qquad \textsf{Notwendiges Kriterium Extrempunkte}\\ \quad f''(x) &= 0 &&\qquad \textsf{Notwendiges Kriterium Wendepunkte} \\ f'''(x) &\neq 0 &&\qquad \textsf{Hinreichendes Kriterium Wendepunkte} \\ & &&\qquad \textsf{oder}\\ & &&\qquad \textsf{Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung} \end{aligned}

\begin{aligned} \quad f'(x) &=0 &&\qquad \textsf{Notwendiges Kriterium Extrempunkte}\\ \quad f''(x) &= 0 &&\qquad \textsf{Notwendiges Kriterium Wendepunkte} \\ f'''(x) &\neq 0 &&\qquad \textsf{Hinreichendes Kriterium Wendepunkte} \\ & &&\qquad \textsf{oder}\\ & &&\qquad \textsf{Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung} \end{aligned}

Terrassenpunkt

Merke: Sattelpunkte sind Wendepunkte, an denen die 1. Ableitung = 0 ist.

Sattelpunkt berechnen Beispiele

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Ganzrationale Funktion 3. Grades

Weise nach, dass die Funktion f(x) = x^3 $f(x) = x^3$ einen Sattelpunkt hat.

Bilde von der Funktion

f \left( x \right) = x^3

f \left( x \right) = x^3

die ersten drei Ableitungen.

\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2\\[3mm] f''(x) &= 6x\\[3mm] f'''(x) &= 6 \end{aligned}

\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2\\[3mm] f''(x) &= 6x\\[3mm] f'''(x) &= 6 \end{aligned}

Notwendiges Kriterium

Das notwendige Kriterium für Extrempunkte lautet:

Die 1. Ableitung muss 0 sein.

Setze also die 1. Ableitung gleich 0:

0 = 3x^2

0 = 3x^2

Du erkennst sofort, dass x=0 $x=0$ die Gleichung erfüllt.

Jetzt kann also ein Extrempunkt vorliegen - muss es aber nicht!

Notwendiges Kriterium für Wendepunkte

Das notwendige Kriterium für Wendepunkte lautet:

Die 2. Ableitung muss 0 sein.

Setze also die 2. Ableitung gleich 0.

0 = 6x

0 = 6x

Da die 2. Ableitung an derselben Stelle x=0 $x=0$ gleich 0 $0$ ist, liegt kein Extrempunkt vor. Das ist gut!

Bei x=0 $x=0$ kann also eine Wendestelle liegen!

Hinreichendes Kriterium

Um zu überprüfen, ob dort wirklich ein Wendepunkt vorliegt, setze den Wert in die 3. Ableitung ein!

\begin{aligned} f''' \left( 0 \right) &= 6 >0 \end{aligned}

\begin{aligned} f''' \left( 0 \right) &= 6 >0 \end{aligned}

Also liegt eine Wendestelle vor. Der Graph wechselt dort von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve.

Für den Wendepunkt benötigst du noch die y^{}_{} $y^{}_{}$ -Koordinate!

Setze also 0^{}_{} $0^{}_{}$ in die Funktion f^{}_{} $f^{}_{}$ ein

\begin{aligned} f \left( 0 \right) &= 0^3 =0 \end{aligned}

\begin{aligned} f \left( 0 \right) &= 0^3 =0 \end{aligned}

\col[1]{ \implies \lsg{\textsf{Wendepunkt bei} \ W_P \left( 0 \middle| 0 \right) }}

\col[1]{ \implies \lsg{\textsf{Wendepunkt bei} \ W_P \left( 0 \middle| 0 \right) }}

Alle drei Kriterien für einen Sattelpunkt sind somit erfüllt. Es liegt somit ein Wendepunkt bei \col[1]{W_P (0|0)} $\col[1]{W_P (0|0)}$ vor.

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