Du hast im Matheunterricht gerade das Thema Kurvendiskussion?
Dann wird dir mit Sicherheit auch der Sattelpunkt begegnen.
Sattelpunkte sind auch häufig Teil von Klausuren oder Tests zu dem Thema Kurvendiskussion.
simpleclub erklärt dir alles, was du zu Sattelpunkten wissen solltest!
Sattelpunkt einfach erklärt
Sattelpunkte (auch Terrassenpunkte) sind Wendepunkte mit Tangentensteigung
Allerdings handelt es sich nicht um Extrempunkte, da dort kein Vorzeichenwechsel der Steigung vorliegt.
Der Graph erinnert an einen Sattel oder eine Terrasse - daher auch die Namensbezeichnung.
Sattelpunkt Definition
Sattelpunkte (auch Terrassenpunkte) sind spezielle Wendepunkte, an denen die 1. Ableitung
Berechnung von Sattelpunkten
Um einen Sattelpunkt nachzuweisen, musst du drei Dinge prüfen:
Notwendiges Kriterium für Extrempunkte
Notwendiges Kriterium für Wendepunkte
Hinreichendes Kriterium für Wendepunkte oder Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung
Merke: Sattelpunkte sind Wendepunkte, an denen die 1. Ableitung = 0 ist.
Sattelpunkt berechnen Beispiele
Ganzrationale Funktion 3. Grades
Weise nach, dass die Funktion
Bilde von der Funktion
die ersten drei Ableitungen.
Notwendiges Kriterium
Das notwendige Kriterium für Extrempunkte lautet:
Die 1. Ableitung muss 0 sein.
Setze also die 1. Ableitung gleich 0:
Du erkennst sofort, dass
Jetzt kann also ein Extrempunkt vorliegen - muss es aber nicht!
Notwendiges Kriterium für Wendepunkte
Das notwendige Kriterium für Wendepunkte lautet:
Die 2. Ableitung muss 0 sein.
Setze also die 2. Ableitung gleich 0.
Da die 2. Ableitung an derselben Stelle
Bei
Hinreichendes Kriterium
Um zu überprüfen, ob dort wirklich ein Wendepunkt vorliegt, setze den Wert in die 3. Ableitung ein!
Also liegt eine Wendestelle vor. Der Graph wechselt dort von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve.
Für den Wendepunkt benötigst du noch die
Setze also
Alle drei Kriterien für einen Sattelpunkt sind somit erfüllt. Es liegt somit ein Wendepunkt bei