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Arten von Wendepunkten (feat. Sattelpunkte)

Wendepunkte & Krümmungsverhalten

Wenn du gerade das Thema Analysis in Mathe hast, werden dir im Themenbereich Kurvendiskussion auch Wendepunkte begegnen.

Steht eine Klausur oder ein Test zum Thema Kurvendiskussion an, dann solltest du Wendepunkte berechnen können.

simpleclub zeigt dir, wie das geht!

Wendepunkte einfach erklärt

Stell dir vor, du fährst Fahrrad und machst eine Rechtskurve. Wenn du jetzt eine Linkskurve machen willst, musst du den Lenker von rechts nach links wechseln.

In dem Moment, in dem der Lenker kurz gerade ist, befindet sich der Wendepunkt!

Bewege den Slider.

Fahrrad fahren

Wendepunkte sind besondere Punkte auf dem Graphen einer Funktion.

Die x $x$ -Werte / x $x$ -Koordinaten der Wendepunkte heißen Wendestellen.

An den Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten des Graphen

von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder
von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve.

f(x) = x^3 - 3x^2 $f(x) = x^3 - 3x^2$	f(x) = -x^3 + 3x^2 $f(x) = -x^3 + 3x^2$
Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen	Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen
Wendepunkt bei P(1\|-2) $P(1\|-2)$	Wendepunkt bei P(1\|2) $P(1\|2)$
Krümmung wechselt von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve. f'''(1) > 0 $f'''(1) > 0$	Krümmung wechselt von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve. f'''(1) < 0 $f'''(1) < 0$

Wendepunkte Definition

Wendepunkte sind Punkte einer Funktion, an denen sich das Krümmungsverhalten ändert.

Vorgehensweise Wendepunkte bestimmen

Wenn du Wendepunkte bestimmen möchtest, kannst du dich an diesen Schritten orientieren:

Die ersten drei Ableitungen bilden.
Zweite Ableitung gleich 0 $0$ setzen und nach x $x$ auflösen: f''(x) = 0 $f''(x) = 0$ .
Überprüfen, ob eine Wendestelle vorliegt durch Einsetzen in die 3. Ableitung oder einen Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung. Auch das Krümmungsverhalten kannst du damit bestimmen.
Die y $y$ -Werte ausrechnen durch Einsetzen in die Funktion.

Wendepunkte notwendiges Kriterium

An Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten, aber die Steigung bleibt entweder positiv oder negativ (sie wechselt nicht das Vorzeichen wie bei Extrempunkten).

Deswegen hat die 1. Ableitung dort einen Extrempunkt!

Und deswegen ist die 2. Ableitung an Wendestellen 0 $0$ .

f''(x) = 0

f''(x) = 0

Das ist das sogenannte notwendige Kriterium (auch notwendige Bedingung).

Es gibt aber auch Fälle, in denen die 2. Ableitung 0 $0$ ist, aber keine Wendestelle vorliegt.

Deshalb reicht diese Bedingung nicht aus.

Wendepunkte hinreichendes Kriterium

An Wendepunkten ist die 2. Ableitung 0 $0$ UND sie wechselt dort ihr Vorzeichen.

Das ist das sogenannte hinreichende Kriterium (auch hinreichende Bedingung).

f''(x) = 0

f''(x) = 0

f'''(x) \neq 0

f'''(x) \neq 0

Ist die 3. Ableitung ungleich 0 $0$ , so liegt ein Wendepunkt bei P\left(x \middle|f(x)\right) $P\left(x \middle|f(x)\right)$ .

Wenn f'''(x) > 0 $f'''(x) > 0$ , dann ändert sich das Krümmungsverhalten von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve.

Wenn f'''(x) < 0 $f'''(x) < 0$ , dann ändert sich das Krümmungsverhalten von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve.

Achtung!

Eine Wendestelle kann trotzdem vorliegen, obwohl die 3. Ableitung gleich 0 $0$ ist. Dann musst du die Funktion auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen.

Wendepunkte Vorzeichenwechsel

Fahrradfahrerin fährt eine Rechtskurve und am Wendepunkte wechselt sie zu einer Linkskurve

An Wendepunkten ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.

Wechselt der Graph von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve, so wechselt die 2. Ableitung von negativ zu positiv.

Wechselt der Graph von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve, so wechselt die 2. Ableitung von positiv zu negativ.

Um zu überprüfen, ob an einer Stelle ein Wendepunkt liegt, musst du die 2. Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen.

Dazu setzt du Werte links und rechts von der möglichen Wendestelle in die 2. Ableitung ein.

Wenn der Wert links von der Stelle negativ ist und rechts davon positiv, dann liegt dort ein Wendepunkt, der von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve wechselt.

Wenn der Wert links von der Stelle positiv ist und rechts davon negativ, dann liegt dort ein Wendepunkt, der von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve wechselt.

Haben die Werte das gleiche Vorzeichen, dann liegt kein Wendepunkt vor.

Achtung!

Wenn du Werte links und rechts von der möglichen Wendestelle einsetzt, sollten sie nicht zu weit weg liegen. Wähle also möglichst kleine Werte, die du gut berechnen kannst.

Ein Beispiel findest du unten!

Zusammenhang Extrempunkte und Wendepunkte

Extrempunkte und Wendepunkte sind in gewisser Weise sehr ähnlich zueinander. Deswegen sind die Schritte bei ihrer Bestimmung auch sehr ähnlich:

Extrempunkte		Wendepunkte
Notwendiges Kriterium		Notwendiges Kriterium
f'(x) = 0 $f'(x) = 0$		f''(x) = 0 $f''(x) = 0$
Hinreichendes Kriterium		Hinreichendes Kriterium
f'(x)=0 \text{ und }f''(x) \neq 0 $f'(x)=0 \text{ und }f''(x) \neq 0$		f''(x)=0 \text{ und }f'''(x) \neq 0 $f''(x)=0 \text{ und }f'''(x) \neq 0$
Tiefpunkt	Hochpunkt	Rechts- zu Linkskurve	Links- zu Rechtskurve
f''(x_0) > 0 $f''(x_0) > 0$	f''(x_0) < 0 $f''(x_0) < 0$	f'''(x_0 )> 0 $f'''(x_0 )> 0$	f'''(x_0) < 0 $f'''(x_0) < 0$
Vorzeichenwechsel bei f''(x_0) = 0 $f''(x_0) = 0$		Vorzeichenwechsel bei f'''(x_0) = 0 $f'''(x_0) = 0$
f' $f'$ von negativ zu positiv	f' $f'$ von positiv zu negativ	f'' $f''$ von negativ zu positiv	f'' $f''$ von positiv zu negativ

Wendepunkte berechnen Beispiele

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Wendepunkte mit 3. Ableitung bestimmen

Bestimme zur Funktion

f(x) = x^3 - 3x^2

f(x) = x^3 - 3x^2

die Wendepunkte.

Lösung

Bestimmung der ersten drei Ableitungen

Bilde von der Funktion

f \left( x \right) = x^3-3x^2

f \left( x \right) = x^3-3x^2

die ersten drei Ableitungen.

\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2-6x\\[3mm] f''(x) &= 6x-6\\[3mm] f'''(x) &= 6 \end{aligned}

\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2-6x\\[3mm] f''(x) &= 6x-6\\[3mm] f'''(x) &= 6 \end{aligned}

Notwendiges Kriterium für Wendepunkte

Das notwendige Kriterium für Wendepunkte lautet:

Die 2. Ableitung muss 0 sein.

Setze also die 2. Ableitung gleich 0.

0 = 6x-6

0 = 6x-6

Forme nach x $x$ um!

\begin{aligned} 0 &= 6x-6 &&\quad\mid +6 \\ 6 &= 6x && \quad\mid :6 \\ 1 &= x \end{aligned}

\begin{aligned} 0 &= 6x-6 &&\quad\mid +6 \\ 6 &= 6x && \quad\mid :6 \\ 1 &= x \end{aligned}

Hinreichendes Kriterium

Um zu überprüfen, ob dort wirklich ein Wendepunkt vorliegt, setze den Wert in die 3. Ableitung ein!

\begin{aligned} f''' \left( 1 \right) &= 6 >0 \end{aligned}

\begin{aligned} f''' \left( 1 \right) &= 6 >0 \end{aligned}

Da der Funktionswert der 3. Ableitung ungleich 0 ist, liegt ein Wendepunkt vor!

Für den Wendepunkt benötigst du noch die y^{}_{} $y^{}_{}$ -Koordinate!

Setze also 1^{}_{} $1^{}_{}$ in die Funktion f^{}_{} $f^{}_{}$ ein

\begin{aligned} f \left( 1 \right) &= 1^3 - 3\cdot 1^2 \\ &= 1-3 \\ &= -2 \end{aligned}

\begin{aligned} f \left( 1 \right) &= 1^3 - 3\cdot 1^2 \\ &= 1-3 \\ &= -2 \end{aligned}

\col[1]{ \implies \lsg{\textsf{Wendepunkt bei} \ W_P \left( 1 \middle| -2 \right) }}

\col[1]{ \implies \lsg{\textsf{Wendepunkt bei} \ W_P \left( 1 \middle| -2 \right) }}

Wendepunkte mit Vorzeichenwechsel bestimmen

Bestimme zur Funktion

f(x) = x^5

f(x) = x^5

die Wendepunkte.

Lösung

Bestimmung der ersten drei Ableitungen

Bilde von der Funktion

f \left( x \right) = x^5

f \left( x \right) = x^5

die ersten drei Ableitungen.

\begin{aligned} f'(x) &= 5x^4\\[3mm] f''(x) &= 20x^3\\[3mm] f'''(x) &= 60x^2 \end{aligned}

\begin{aligned} f'(x) &= 5x^4\\[3mm] f''(x) &= 20x^3\\[3mm] f'''(x) &= 60x^2 \end{aligned}

Notwendiges Kriterium für Wendepunkte

Das notwendige Kriterium für Wendepunkte lautet:

Die 2. Ableitung muss 0 sein.

Setze also die 2. Ableitung gleich 0.

0 = 20x^3

0 = 20x^3

Du siehst sofort, dass x=0 $x=0$ die einzige Lösung dieser Gleichung ist.

Hinreichendes Kriterium

Um zu überprüfen, ob dort wirklich ein Wendepunkt vorliegt, setze den Wert in die 3. Ableitung ein!

\begin{aligned} f''' \left( 0 \right) &= 60\cdot 0^3 =0 \end{aligned}

\begin{aligned} f''' \left( 0 \right) &= 60\cdot 0^3 =0 \end{aligned}

Da der Funktionswert der 3. Ableitung gleich 0 ist, kannst du noch nicht entscheiden, ob hier ein Wendepunkt vorliegt. Du musst dies noch mittels Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung an der Stelle prüfen!

Vorzeichenwechsel

Setze einen Wert links und rechts von der Stelle x=0 $x=0$ in die 2. Ableitung ein. Du kannst dir einen möglichst kleinen Wert \epsilon >0 $\epsilon >0$ nehmen und die 2. Ableitung an der Stelle 0 + \epsilon $0 + \epsilon$ und 0-\epsilon $0-\epsilon$ ausrechnen.

Hier bietet sich beispielsweise \epsilon=0,5 $\epsilon=0,5$ an.

x $x$	-0,5 $-0,5$	0 $0$	0,5 $0,5$
f''(x) $f''(x)$	-10 <0 $-10 <0$	0 $0$	10>0 $10>0$
Krümmung	Rechtskrümmung	Wendepunkt	Linkskrümmung

Die 2. Ableitung wechselt also das Vorzeichen von negativ zu positiv.

Es liegt also ein Wendepunkt vor, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve ändert.

Anstatt obiger Tabelle für ein konkretes \epsilon $\epsilon$ kannst du den Wendepunkt auch für ein allgemeines \epsilon>0 $\epsilon>0$ bestätigen.

\begin{aligned} f''(0-\epsilon) &= 20\cdot (0-\epsilon)^3 \\ &= 20 \cdot \left(\underbrace{-\epsilon^3}_{<0}\right) \\ &< 0 \end{aligned}

\begin{aligned} f''(0-\epsilon) &= 20\cdot (0-\epsilon)^3 \\ &= 20 \cdot \left(\underbrace{-\epsilon^3}_{<0}\right) \\ &< 0 \end{aligned}

\begin{aligned} f''(0+\epsilon) &= 20\cdot (0+\epsilon)^3 \\ &= 20 \cdot \underbrace{\epsilon^3}_{>0} \\ &> 0 \end{aligned}

\begin{aligned} f''(0+\epsilon) &= 20\cdot (0+\epsilon)^3 \\ &= 20 \cdot \underbrace{\epsilon^3}_{>0} \\ &> 0 \end{aligned}

Es findet ein Vorzeichenwechsel an der Stelle statt. Damit liegt dort ein Wendepunkt!

Für den Wendepunkt benötigst du noch die y^{}_{} $y^{}_{}$ -Koordinate!

Setze also 0^{}_{} $0^{}_{}$ in die Funktion f^{}_{} $f^{}_{}$ ein

\begin{aligned} f \left( 0 \right) &= 0^5 = 0 \end{aligned}

\begin{aligned} f \left( 0 \right) &= 0^5 = 0 \end{aligned}

\col[1]{ \implies \lsg{\textsf{Wendepunkt bei} \ W_P \left( 0 \middle| 0 \right) }}

\col[1]{ \implies \lsg{\textsf{Wendepunkt bei} \ W_P \left( 0 \middle| 0 \right) }}

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