Ein bestimmtes Integral liegt immer dann vor, wenn du konkrete Integrationsgrenzen gegeben hast. Damit kannst du den Flächeninhalt unter einer Kurve konkret berechnen.

\int_{\textcolor{sc_color_1}{a}}^{\textcolor{sc_color_1}{b}} f(x)\space \text{d}x = \left[F(x)\right]_{\textcolor{sc_color_1}{a}}^{\textcolor{sc_color_1}{b}} = F(\textcolor{sc_color_1}{b})- F(\textcolor{sc_color_1}{a})

\int_{\textcolor{#7F7706}{a}}^{\textcolor{#7F7706}{b}} f(x)\space \text{d}x = \left[F(x)\right]_{\textcolor{#7F7706}{a}}^{\textcolor{#7F7706}{b}} = F(\textcolor{#7F7706}{b})- F(\textcolor{#7F7706}{a})

Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral gibt zu einer Funktion die Menge aller Stammfunktionen an. Hier werden keine Integrationsgrenzen benötigt.

\int f(x)\space dx = F(x) + C

\int f(x)\space dx = F(x) + C

Da Konstanten beim Ableiten wegfallen, gibt es keine eindeutige Stammfunktion. Alle Funktionen, die eine Stammfunktion sind, bilden das unbestimmte Integral.

Das unbestimmte Integral liegt immer dann vor, wenn du keine Integrationsgrenzen gegeben hast. Damit kannst du alle Stammfunktionen einer Funktion bestimmen. Du berechnest keinen konkreten Wert.

\int f(x)\space dx = F(x) + C

\int f(x)\space dx = F(x) + C

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Definition

Beim bestimmten Integral berechnest du den Flächeninhalt einer Funktion (es gibt zwei Integrationsgrenzen). Beim unbestimmten Integral bestimmst du alle Stammfunktionen einer Funktion (hier gibt es keine Integrationsgrenzen).

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Übersicht

Bestimmtes Integral	Unbestimmtes Integral
\int_{a}^{b} f(x)\space dx $\int_{a}^{b} f(x)\space dx$	\int f(x)\space dx $\int f(x)\space dx$
Mit Integrationsgrenzen.	Ohne Integrationsgrenzen.
Berechnung: konkreter Wert F(b) - F(a) \in\reals $F(b) - F(a) \in\reals$	Berechnung: Stammfunktion F(x) + C $F(x) + C$
Interpretation: Fläche unter der Kurve zwischen a und b.	Interpretation: Menge aller Stammfunktionen

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Bestimmtes und unbestimmtes Integral Beispiele

Bestimmtes Integral

Berechne das bestimmte Integral

\int_{0}^{5} 2x^2\space dx

\int_{0}^{5} 2x^2\space dx

Du berechnest eine Stammfunktion und wertest sie an den Integrationsgrenzen aus.

\int_0^5 2x^2\space dx = \left[\frac{2}{3}\cdot x^3 + C\right]_0^5

\int_0^5 2x^2\space dx = \left[\frac{2}{3}\cdot x^3 + C\right]_0^5

= \left[\frac{2}{3}\cdot 5^3 + C \right]- \left[\frac{2}{3}\cdot 0^3 + C\right]

= \left[\frac{2}{3}\cdot 5^3 + C \right]- \left[\frac{2}{3}\cdot 0^3 + C\right]

=\frac{2}{3}\cdot 125 + C-0-C

=\frac{2}{3}\cdot 125 + C-0-C

=\dfrac{2\cdot 125}{3} = \dfrac{250}{3}

=\dfrac{2\cdot 125}{3} = \dfrac{250}{3}

Das Ergebnis ist ein konkreter Wert. Er beschreibt die Fläche unter der Funktion in den Grenzen zwischen 0 und 5.

Unbestimmtes Integral

Berechne das unbestimmte Integral

\int 2x^2\space dx

\int 2x^2\space dx

Du berechnest alle Stammfunktionen.

\int 2x^2\space dx = \dfrac{2}{3}\cdot x^3 + C

\int 2x^2\space dx = \dfrac{2}{3}\cdot x^3 + C

Du erhältst also eine Funktion und keinen konkreten Wert. Durch die Konstante C bildest du alle Stammfunktionen und bist fertig.

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