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Produktregel

Du hast in Mathe gerade das Thema Funktionen und deren Ableitungen? Dann werden dir auch Funktionen, die aus einem Produkt bestehen, begegnen.

So wie diese:

f(x) = g(x) \cdot h(x)f(x)=g(x)⋅h(x)f(x) = g(x) \cdot h(x)

Um solche Funktionen abzuleiten, benötigst du die Produktregel. 

Aber: was ist die Produktregel und wie wendest du sie an? simpleclub erklärt dir, was du über die Produktregel wissen solltest!

Produktregel einfach erklärt

Wenn du eine Funktion der Form

f(x) = g(x) \cdot h(x)f(x)=g(x)⋅h(x)f(x) = g(x) \cdot h(x)

(also das Produkt von zwei anderen Funktionen) ableiten willst, musst du die Ableitung der ersten Funktion mal die zweite Funktion plus die erste Funktion mal die Ableitung der zweiten Funktion rechnen. Also:

f'(x) = g'(x)\cdot h(x) + g(x)\cdot h'(x)f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)f'(x) = g'(x)\cdot h(x) + g(x)\cdot h'(x)

Produktregel Definition

Mit der Produktregel kannst du das Produkt zweier Funktionen ableiten.

f(x)= g(x)\cdot h(x)f(x)=g(x)⋅h(x)f(x)= g(x)\cdot h(x)f'(x)=g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)f'(x)=g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)

Produktregel Beispiele

Produktregel - einfach

f(x) = \textcolor{sc_color_1}{x^3}\cdot\textcolor{sc_color_2}{(x^2+3x-1)}f(x)=x3⋅(x2+3x−1)f(x) = \textcolor{#7F7706}{x^3}\cdot\textcolor{#0069FC}{(x^2+3x-1)}f'(x) = \textcolor{sc_color_1}{3x^2}\cdot \textcolor{sc_color_2}{(x^2+3x-1)} + \textcolor{sc_color_1}{x^3}\cdot\textcolor{sc_color_2}{(2x+3)}f′(x)=3x2⋅(x2+3x−1)+x3⋅(2x+3)f'(x) = \textcolor{#7F7706}{3x^2}\cdot \textcolor{#0069FC}{(x^2+3x-1)} + \textcolor{#7F7706}{x^3}\cdot\textcolor{#0069FC}{(2x+3)}

Fasse noch weiter zusammen!

\begin{aligned} f'(x) &= 3x^4+9x^3-3x^2+2x^4+3x^3 \\&= 5x^4+12x^3-3x^2\end{aligned}f′(x)=3x4+9x3−3x2+2x4+3x3=5x4+12x3−3x2\begin{aligned} f'(x) &= 3x^4+9x^3-3x^2+2x^4+3x^3 \\&= 5x^4+12x^3-3x^2\end{aligned}

Produktregel - schwierig

f(x) = \textcolor{sc_color_1}{\dfrac{1}{x}}\cdot\textcolor{sc_color_2}{(2x^2-1)}f(x)=1x⋅(2x2−1)f(x) = \textcolor{#7F7706}{\dfrac{1}{x}}\cdot\textcolor{#0069FC}{(2x^2-1)}f'(x) = \textcolor{sc_color_1}{\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)}\cdot \textcolor{sc_color_2}{(2x^2-1)} + \textcolor{sc_color_1}{\dfrac{1}{x}}\cdot\textcolor{sc_color_2}{4x}f′(x)=(−1x2)⋅(2x2−1)+1x⋅4xf'(x) = \textcolor{#7F7706}{\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)}\cdot \textcolor{#0069FC}{(2x^2-1)} + \textcolor{#7F7706}{\dfrac{1}{x}}\cdot\textcolor{#0069FC}{4x}

Fasse noch weiter zusammen!

f'(x)=-\dfrac{2x^2-1}{x^2}+4f′(x)=−2x2−1x2+4f'(x)=-\dfrac{2x^2-1}{x^2}+4

Produktregel Wurzel - schwierig

f(x) = \textcolor{sc_color_1}{\sqrt{x}}\cdot\textcolor{sc_color_2}{(x^2+1)}f(x)=x⋅(x2+1)f(x) = \textcolor{#7F7706}{\sqrt{x}}\cdot\textcolor{#0069FC}{(x^2+1)}f'(x) = \textcolor{sc_color_1}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\cdot \textcolor{sc_color_2}{(x^2+1)} + \textcolor{sc_color_1}{\sqrt{x}}\cdot\textcolor{sc_color_2}{2x}f′(x)=12x⋅(x2+1)+x⋅2xf'(x) = \textcolor{#7F7706}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\cdot \textcolor{#0069FC}{(x^2+1)} + \textcolor{#7F7706}{\sqrt{x}}\cdot\textcolor{#0069FC}{2x}

Produktregel e-Funktion

Für dieses Beispiel solltest du bereits die Ableitung der e-Funktion beherschen.

f(x) = \textcolor{sc_color_1}{e^x}\cdot\textcolor{sc_color_2}{(x^2+1)}f(x)=ex⋅(x2+1)f(x) = \textcolor{#7F7706}{e^x}\cdot\textcolor{#0069FC}{(x^2+1)}f'(x) = \textcolor{sc_color_1}{e^x}\cdot \textcolor{sc_color_2}{(x^2+1)} + \textcolor{sc_color_1}{e^x}\cdot\textcolor{sc_color_2}{2x}f′(x)=ex⋅(x2+1)+ex⋅2xf'(x) = \textcolor{#7F7706}{e^x}\cdot \textcolor{#0069FC}{(x^2+1)} + \textcolor{#7F7706}{e^x}\cdot\textcolor{#0069FC}{2x}

Du solltest noch ausklammern und vereinfachen:

f'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x + 1)f′(x)=ex⋅(x2+2x+1)f'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x + 1)

Produkt von drei Funktionen - schwierig

Für dieses Beispiel solltest du bereits die Ableitung von Sinus und die Ableitung der e-Funktion beherrschen.

Bei drei oder mehr Faktoren kannst du die Produktregel genauso anwenden. Teile die Funktion einfach in zwei Teile (Faktoren)!

f(x)= x^2 \cdot \sin x \cdot e^x = (x^2) \cdot (\sin x \cdot e^x)f(x)=x2⋅sin⁡x⋅ex=(x2)⋅(sin⁡x⋅ex)f(x)= x^2 \cdot \sin x \cdot e^x = (x^2) \cdot (\sin x \cdot e^x)f'(x)=\left(x^2\right)' \cdot \left(\sin x \cdot e^x\right) + \left(x^2\right) \cdot \left(\sin x \cdot e^x\right)'f′(x)=(x2)′⋅(sin⁡x⋅ex)+(x2)⋅(sin⁡x⋅ex)′f'(x)=\left(x^2\right)' \cdot \left(\sin x \cdot e^x\right) + \left(x^2\right) \cdot \left(\sin x \cdot e^x\right)'

Jetzt kannst du für den hinteren Teil die Produktregel noch einmal anwenden!

f'(x) = 2x \cdot \sin x \cdot e^x + x^2 \cdot \left( \left(\sin x\right)' \cdot e^x + \sin x \cdot \left(e^x\right)') \right)f′(x)=2x⋅sin⁡x⋅ex+x2⋅((sin⁡x)′⋅ex+sin⁡x⋅(ex)′))f'(x) = 2x \cdot \sin x \cdot e^x + x^2 \cdot \left( \left(\sin x\right)' \cdot e^x + \sin x \cdot \left(e^x\right)') \right)f'(x) = 2x \cdot \sin x \cdot e^x + x^2 \cdot \left(\cos x \cdot e^x + \sin x \cdot e^x\right)f′(x)=2x⋅sin⁡x⋅ex+x2⋅(cos⁡x⋅ex+sin⁡x⋅ex)f'(x) = 2x \cdot \sin x \cdot e^x + x^2 \cdot \left(\cos x \cdot e^x + \sin x \cdot e^x\right)

Hier kannst du noch den zweiten Teil ausmultiplizieren

f'(x) = 2x \cdot \sin x \cdot e^x + x^2 \cdot \cos x \cdot e^x +x^2 \cdot \sin x \cdot e^xf′(x)=2x⋅sin⁡x⋅ex+x2⋅cos⁡x⋅ex+x2⋅sin⁡x⋅exf'(x) = 2x \cdot \sin x \cdot e^x + x^2 \cdot \cos x \cdot e^x +x^2 \cdot \sin x \cdot e^x

und e^xexe^x ausklammern. So vereinfachst du die Gleichung zu:

f'(x) = e^x \cdot (2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x + x^2 \cdot \sin x)f′(x)=ex⋅(2x⋅sin⁡x+x2⋅cos⁡x+x2⋅sin⁡x)f'(x) = e^x \cdot (2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x + x^2 \cdot \sin x)
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