Ableiten

Ableitung einfach erklärt

Ableitung ist eines der unbeliebtesten Themen bei Schülern. Bei dir auch? Aber keine Angst: simpleclub ist zur Stelle und erklärt dir alles Schritt für Schritt. Von den Grundlagen bis zu Beispielaufgaben nehmen wir dich an die Hand, sodass die Ableitung ein Kinderspiel für dich wird!

Erklärung

Wenn du dir eine Funktion genauer ansiehst, fällt dir auf, dass sie nicht immer gleich verläuft. Manchmal steigt sie, manchmal fällt sie. Doch wie groß die Steigung genau ist, ist oft schwer herauszufinden. Dafür gibt es die Ableitung. Mit ihr kannst du berechnen, wie stark ein Graph steigt oder fällt.

Verläuft ein Graph hoch, ist die Steigung und damit die Ableitung an der Stelle natürlich positiv. 

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Verläuft ein Graph aber runter, dann ist die Steigung und damit die Ableitung an dieser Stelle negativ.

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Bei Hoch-, Tief- oder Sattelpunkten ist die Steigung null. Daher hilft die Ableitung auch bei der Berechnung von Extrema, Sattelpunkten und Monotonie.

Hätten wir die Ableitung nicht, könnte man auch eine Tangente bestimmen, um die die Steigung am jeweiligen Punkt herauszufinden. Aber mal ehrlich: Das wäre auf Dauer ziemlich mühsam! 

Die Ableitung ist nämlich eine Art Abkürzung. Du musst nicht mühsam die ganzen Tangenten aufstellen und davon die Steigung ablesen. Du brauchst nur die Ableitung und weist zu jedem Punkt sofort die Steigung!

\[f’(x) = 2 \cdot x^{2-1} = 2x^1 = 2x\]

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Differenzenquotient / Differentialquotient:

Wenn du die Steigung einer Funktion an einem Punkt ohne die Ableitung bestimmen wollen würdest, bräuchtest du den Differenzenquotient und den Differentialquotient. Die sind gleichzeitig auch die Herleitung der Ableitung.‍

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Ableitungsregeln und Formeln

Aber wie bildet man jetzt so ne Ableitung?

Um die Ableitung auszurechnen, gibt es einige Ableitungsregeln und Formeln, die man sich unbedingt merken sollte.

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Potenzregel

\[f(x) = ax{b}\]

\[f’(x) = b * ax^{b-1}\]

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Wenn du eine Funktion der Form

\[f(x) = ax^{b}\]

(also eine Potenz) ableiten willst, dann musst du die Hochzahl (den Exponenten) nach vorne ziehen und die Hochzahl minus 1 rechnen. Also:

\[f’(x) = b \cdot ax^{b-1}\]

Mit der Potenzregel kannst du also Potenzen ableiten.

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Bei einer richtigen Funktion würde das dann zum Beispiel so aussehen:

\[f(x) = x^{2}\]

\[f’(x) = 2 {\cdot} x^{2-1} = 2x^1 = 2x\]

Das Gleiche funktioniert natürlich auch bei negativen Hochzahlen:

\[f(x) = 3x^{-1}\]

\[f’(x) = (-1) \cdot 3x^{(-1)-1} = -3x^{-2}\]

oder bei rationalen Hochzahlen

\[f(x) = 2x^{\frac{1}{2}}\]

\[f’(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}-1} = 1 \cdot {x^{-\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}\]

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Besonderheiten

Konstanten fallen immer weg!

\[f(x) = 8 = 8 \cdot 1 = 8x^{0}\]

\[f’(x) = 0 \cdot 8x^{0-1} = 0\]

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‍x ist abgeleitet 1! (denn irgendwas hoch 0 ist immer 1)

\[f(x) = 2x = 2x^{1}\]

\[f’(x) = 1 \cdot 2x^{1-1} = 2  \cdot x^{0} = 2 \cdot 1 = 2\]

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Faktorregel

\[f(x) = \color{red}{a} \cdot \color{blue}{e}^{g(x)}\]a \cdot g(x)\]

\[f’(x) = a \cdot g’(x)\]

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Wenn du eine Funktion (x-Term) mit einer Konstante a multiplizierst und dann ableiten willst, kannst du die Faktorregel verwenden.

Der Faktor bleibt nämlich immer stehen und du musst nur den x-Term ableiten. Also:

\[f’(x) = a \cdot g’(x)\]

Der Faktor a darf jede reelle Zahl sein (auch Brüche, negative Zahlen und Wurzeln)!

Bei einer richtigen Funktion würde das dann zum Beispiel so aussehen:

\[f(x) = 3 x^5\]

\[f’(x) = 3  \cdot {5x^4} = {5x^4}\]

Einfach den x-Term ableiten und den Vorfaktor stehen lassen. Und dann nur noch zusammenrechnen!

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Summenregel

\[f(x) = g(x) + h(x)\]

\[f’(x) = g’(x) + h’(x)\]

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Wenn du eine Funktion der Form

\[g(x) \cdot h(x)\]

(also die Summe von zwei anderen Funktionen) ableiten willst, dann musst du quasi gliedweise ableiten und dann summieren. Also:

\[f’(x) = g’(x) + h’(x)\]

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Bei zwei richtigen Funktionen würde das dann zum Beispiel so aussehen:

\[f(x) = x^{3}  \cdot (x^2 + 3x -1)\]

\[f’(x) = 3x^{2}  \cdot (x^2 + 3x -1) + x^{3} \cdot (2x + 3)\]

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Das Gleiche funktioniert natürlich auch mit Differenzen:

\[f(x) = 5x^{6} - 7x^{3}\]

\[f’(x) = 6  \cdot 5x^{5 - 3} * 7x^{2} = 30x^{5} - 21x^{2}\]

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Produktregel‍

\[f(x) = g(x)  \cdot h(x)\]

\[f’(x) = g’(x)  \cdot h(x) + g(x) * h’(x)\]

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Wenn du eine Funktion der Form f(x) = g(x) * h(x) (also das Produkt von zwei anderen Funktionen) ableiten willst, dann musst du die Ableitung der ersten Funktion mal die zweite Funktion plus die erste Funktion mal die Ableitung der zweiten Funktion rechnen. Also: f’(x) = g’(x) * h(x) + g(x) * h’(x)

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Bei zwei richtigen Funktionen würde das dann zum Beispiel so aussehen:

\[f(x) = x^{3} * (x^{2} + 3x -1)\]

\[f’(x) = 3x^{2} * (x^{2} + 3x -1) + x^{3} * (2x + 3)\]
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Quotientenregel

\[f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\]

\[f'(x) = \frac{g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)}{(h(x))^2}\]

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Wenn du eine Funktion der Form f(x) = g(x) : h(x) (also den Quotienten von zwei Funktionen) ableiten willst, dann musst du ähnlich wie bei der Produktregel vorgehen. Es gibt allerdings zwei wichtige Unterschiede:

1. Es gibt ein Minuszeichen. Es ist also wichtig, welche Funktion im Zähler (oben) und welche Funktion im Nenner (unten) steht.

2. Im Nenner der Ableitung steht die Funktion (nicht ihre Ableitung) und sie wird quadriert. Also: 

\[f'(x) = \frac{g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)}{(h(x))^2}\]

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Kettenregel‍

\[f(x) = h(g(x))\]

\[f’(x) = h’(g(x)) * g’(x)\]

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Wenn du eine Funktion der Form

\[f(x) = h(g(x))\]

(also die Verkettung von zwei Funktionen) ableiten willst, dann musst du die innere Ableitung mal die äußere Ableitung rechnen. Also:

\[f'(x) = h'(g(x))*g'(x)\]

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‍Tipp: Schreibe dir als Erstes die innere Funktion und die äußere Funktion auf. Leite dann erst ab!

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Bei zwei richtigen Funktionen würde das dann zum Beispiel so aussehen:

\[f(x) = (x^{2} + 2x -4)^{15}\]‍

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Hier kannst du dann erstmal die innere und die äußere Funktion bestimmen:

\[g(x) = (x^2+2x-4)\]

\[h(g(x)) = g(x)^{15}\]

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Jetzt kannst du die beiden Ableitungen bestimmen:

\[g’(x) = (2x + 2)\]

\[h’(g(x)) = 15 * g(x)^{14}\]

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‍‍Zum Schluss noch zusammenrechnen und die innere Funktion einsetzen:

\[f’(x) = 15\cdot (x^2+2x-4)^{14} \cdot (2x+2)\]

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Ableitung spezieller Funktionen:

Bei einigen Funktionen ist die Bildung der Ableitung ein bisschen schwieriger. Wir gehen hier mal Schritt für Schritt die wichtigsten durch:

Ableitung der Wurzelfunktio

Ableitung der e-Funktion

Die Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funktion.

Bei der Ableitung der e-Funktion musst du die Kettenregel beachten:

\[f(x) = \color{red}{g'(x)} \cdot \color{blue}{e}^{g(x)}\]

\[f’(x) = \color{blue}{e}^{g(x)}\]‍

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Ableitung der Exponentialfunktion

Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist wieder eine Exponentialfunktion (mal eine Konstante).

Bei der Ableitung der e-Funktion musst du die Kettenregel beachten:

\[f(x) = e^{g(x)}\]

\[f’(x) = g’(x) * e^{gx)}\]‍

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Ableiten der Logarithmusfunktion

Beachte: Der Logarithmus ist nur für positive x-Werte definiert. Die Ableitung ist deshalb auch nur für positive x-Werte definiert.

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Ableiten trigonometrischer Funktionen

Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen hängen miteinander zusammen. 

Sinus

Kosinus

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Tangens

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Ableiten am Beispiel

Damit wir das direkt üben können, machen wir mal zwei Beispiele zusammen:

Aufgabe 1 (einfach):

Bestimme zur Funktion

\[f(x)=x^{3}+1\]

die Steigung im Punkt P(1,2)!

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Lösungsweg:

Zuerst bildest du natürlich die Ableitung. Weil die gibt ja die Steigung an. In unserem Beispiel ist 

\[f’(x)=3*x^{2}\]‍

Nun kannst du den x-Wert in die Ableitung einsetzten. Dann weißt du, welche Steigung die Funktion in genau diesem Punkt hat:

\[f’(1) = 3 * 1^{2}=3\]

Die Steigung im Punkt P(1,2) ist 3.

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Aufgabe 2 (schwer):

Bilde die Ableitung der Funktion:

\[f(x)=sin(3x^{3})\]

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Lösungsweg:

Zuerst musst du die Kettenregel benutzen:

Die innere Funktion ist:

\[3x^{3}\]‍

Die äußere Funktion ist:

\[sin( )\]

Jetzt kannst du die innere Ableitung bilden:

\[3x^{3} wird zu 9x^{2}\]

Bilde dann die äußere Ableitung und denke an die Ableitungsregel von trigonometrischen Funktionen. Das Innere bleibt einfach stehen:

\[sin( ) -> cos( )\]

Multipliziere nun die beiden Ergebnisse und setze das Innere ein!

\[f(x)=sin(3x^{3})\]

\[f'(x)=cos(3x^{3}) /cdot 9x^{2}\]

Das Ergebnis lautet also:

\[f'(x)=9x^{2} \cdot cos(3x^{3})\]

Aufgabe 3 (schwer):

Bilde die Ableitung der Funktion:

\[f(x)= \color{red} 3x^{2} \cdot \color{blue} e^{3x}\]

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Lösungsweg:

Hier musst du die Produktregel benutzen:

\[f(x) = g(x) * h(x)\]

\[f’(x) = g’(x) * h(x) + g(x) * h’(x)\]

Bei der e-Funktion müssen wir zusätzlich noch die Kettenregel beachten:

\[f(x) = e^{g(x)}\]‍‍

\[f’(x) = g’(x) * e^{g(x)}\]‍

Somit können wir unsere Funktion dann so ableiten:

\[f(x) = 3x^{2} \cdot e^{3x}\]

\[f’(x) = 3x^{2} \cdot 3 \cdot e^{3x + 6x} \cdot e^{3x}\]‍

Das Ganze kann man jetzt noch vereinfachen:

\[f’(x) = 3x^{2} \cdot 3 \cdot e^{3x} + 6x \cdot e^{3x}\]‍

\[= 9x^{2} \cdot 3^{3x} + 6x \cdot e^{3x}\]‍

\[= e^{3x} (9x^{2} + 6x)\]‍

Bilde dann die äußere Ableitung und denke an die Ableitungsregel von trigonometrischen Funktionen. Das Innere bleibt einfach stehen: sin( ) -> cos( )

Multipliziere nun die beiden Ergebnisse und setze das Innere ein!

\[f(x) = sin(3x^{3})\]‍

\[f’(x) = cos(3x^{3}) \cdot 9x^{2}\]‍

Das Ergebnis lautet also:

\[f’(x) = 9x^{2} \cdot cos(3x^{3})\]‍

Aufgabe 4 (Originale Abituraufgabe):

Zum Schluss gehen wir nochmal ans Eingemachte und schauen uns eine echte Abituraufgabe an:

Gegeben ist die Funktion f mit:

\[f(x) = x * (x^{2}-1), x\in\reals\]‍

Zeigen Sie:

\[f’(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}\]

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Lösungsweg:

Du musst zeigen, dass gilt: 

\[f’(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}\]

also dass die Funktion f an der Stelle x = ½ die Steigung - ¼ hat.

Dazu musst du zunächst einmal die Ableitung bestimmen:

\[f(x) = x * (x^{2}-1)\]‍

Dazu brauchst du die Produktregel:

\[f(x) = x * (x^{2}-1)\]‍

\[f’(x) = 1 * (x^{2}-1)+x \cdot 2x\]‍

Vereinfacht ist das:

\[f’(x) = 1 * (x^{2}-1)+x \cdot 2x\]‍

\[= x^2 - 1 + 2x^{2}\]‍

\[= 3x^{2}-1\]

Um jetzt zu überprüfen, ob die obige Aussage auch so stimmt, musst du x= ½ in die Ableitung einsetzen und gucken, ob da auch wirklich - ¼ raus kommt. 

\[f’(½)=3 \cdot (½)^{2}-1\]

\[f’(½) = 3 \cdot ¼ - 1\]

\[f’(½) = ¾ - 1\]

\[f’(½) = - ¼\]

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Damit ist die gewünschte Aussage gezeigt.

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Lerntipps Ableiten

Ableiten ist einer der wichtigsten Skills, die du für dein Mathe-Abitur-Klausur können musst. In vielen Bundesländern ist die erste Aufgabe der Abiturprüfung eine Ableitung zu bilden. Außerdem bauen die meisten Themen in Analysis auf Ableitungen auf. Je besser und schneller du also Ableitungen bilden kannst, desto leichter wirst du dir auch im Abitur tun.

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Wie wirst du also zum Ableitungs-Profi?

Üben! Üben! Üben!

Bei simpleclub unlimited haben wir dir für alles rund um Ableitung Aufgaben und Übungen erstellt, mit denen du zum Ableitungs-Profi wirst!

Wir bieten dir alles, was du zur perfekten Vorbereitung für deine Prüfungen brauchst. Von den Grundlagen bis zu allen Ableitungsregeln und der Ableitung spezieller Funktionen.

Außerdem zeigen wir dir auch Anwendungsbeispiele von Ableitungen, zum Beispiel wie du Ableitungen einzeichnest oder Tangentengleichungen bestimmst. 

Zu allen Themen gibt es interaktive Übungsaufgaben. Die fangen erst leicht an und werden dann immer schwerer. Du musst selbst Ableitungen bilden, Ableitungsgraphen zuordnen und original Abituraufgaben lösen. 
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So bist du perfekt trainiert und vorbereitet auf deine nächste Prüfung.

Und das ohne Stress und mit Spaß an der Sache.
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So machen wir dich Schritt für Schritt zum Ableitungs-Profi!  

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