Quotientenregel

Hier ist ein bisschen Motivation für euch

Wenn du in Mathe gerade das Thema Differentialrechnung hast, begegnen dir auch Quotienten zweier Funktionen.

Diese sehen etwa so aus:

f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}f(x)=g(x)h(x)f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}

Um solche Funktionen abzuleiten, benötigst du die Quotientenregel. simpleclub zeigt dir, wie du diese anwendest und Quotienten zweier Funktionen ableitest.

Quotientenregel einfach erklärt

Wenn du eine Funktion der Form

f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}f(x)=g(x)h(x)f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}

(also den Quotienten von zwei anderen Funktionen) ableiten willst, musst du ähnlich wie bei der Produktregel vorgehen. Es gibt allerdings zwei wichtige Unterschiede:

  1. Es gibt ein Minuszeichen! Es ist nämlich wichtig, welche Funktion im Zähler (oben) und im Nenner (unten) steht.

  2. Im Nenner der Ableitung steht die Funktion (nicht ihre Ableitung) und sie wird quadriert!

Also:

f'(x) = \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}f(x)=g(x)h(x)g(x)h(x)(h(x))2f'(x) = \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}

Quotientenregel Definition

Mit der Quotientenregel kannst du den Quotienten zweier Funktionen ableiten.

f(x)= \dfrac{g(x)}{h(x)}f(x)=g(x)h(x)f(x)= \dfrac{g(x)}{h(x)}f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x) - g(x)\cdot h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}f(x)=g(x)h(x)g(x)h(x)(h(x))2f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x) - g(x)\cdot h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}

Quotientenregel Beispiele

Quotientenregel Kehrwertfunktion

f(x) = \dfrac{2}{x^3}f(x)=2x3f(x) = \dfrac{2}{x^3}

Bestimme die Funktion im Zähler (oben) und die Funktion im Nenner (unten)!

g(x) = 2g(x)=2g(x) = 2h(x) = x^3h(x)=x3h(x) = x^3

Bestimme jetzt die Ableitungen!

g'(x) = 0g(x)=0g'(x) = 0h'(x) = 3x^2h(x)=3x2h'(x) = 3x^2

Zum Schluss noch einsetzen. Beachte das Minus und das Quadrat in Nenner.

f'(x) = \dfrac{0 \cdot x^3 - 2 \cdot 3x^2}{\left(x^3\right)^2}f(x)=0x323x2(x3)2f'(x) = \dfrac{0 \cdot x^3 - 2 \cdot 3x^2}{\left(x^3\right)^2}f'(x) = \dfrac{-6x^2}{x^6} = \dfrac{-6}{x^4}f(x)=6x2x6=6x4f'(x) = \dfrac{-6x^2}{x^6} = \dfrac{-6}{x^4}

Quotientenregel - einfach

f(x)= \dfrac{x^2}{x^4}f(x)=x2x4f(x)= \dfrac{x^2}{x^4}f'(x)=\dfrac{2x\cdot x^4 - x^2\cdot 4x^3}{\left(x^4 \right)^2} =\dfrac{2x^5 - 4x^5}{x^8}= \dfrac{-2x^5}{x^8} = \dfrac{-2}{x^3}f(x)=2xx4x24x3(x4)2=2x54x5x8=2x5x8=2x3f'(x)=\dfrac{2x\cdot x^4 - x^2\cdot 4x^3}{\left(x^4 \right)^2} =\dfrac{2x^5 - 4x^5}{x^8}= \dfrac{-2x^5}{x^8} = \dfrac{-2}{x^3}

Quotientenregel - schwierig

f(x) = \dfrac{(x+1)}{(x^2+1)}f(x)=(x+1)(x2+1)f(x) = \dfrac{(x+1)}{(x^2+1)}

Bestimme die Funktion im Zähler (oben) und die Funktion im Nenner (unten)!

g(x) = (x+1)g(x)=(x+1)g(x) = (x+1)h(x) = (x^2+1)h(x)=(x2+1)h(x) = (x^2+1)

Bestimme jetzt die Ableitungen!

g'(x) = 1g(x)=1g'(x) = 1h'(x) = 2xh(x)=2xh'(x) = 2x

Zum Schluss noch einsetzen. Beachte das Minus und das Quadrat in Nenner.

f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x^2+1) - (x+1) \cdot 2x}{\left((x^2+1)\right)^2}f(x)=1(x2+1)(x+1)2x((x2+1))2f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x^2+1) - (x+1) \cdot 2x}{\left((x^2+1)\right)^2}

Quotientenregel - schwierig (ausführlich)

f(x) = \dfrac{(x^3 + 2x )}{(x^2 )}f(x)=(x3+2x)(x2)f(x) = \dfrac{(x^3 + 2x )}{(x^2 )}

Bestimme die Funktion im Zähler (oben) und die Funktion im Nenner (unten)!

g(x) = (x^3 + 2x )g(x)=(x3+2x)g(x) = (x^3 + 2x )h(x) = (x^2 )h(x)=(x2)h(x) = (x^2 )

Bestimme jetzt die Ableitungen!

g'(x) = (3x^2 + 2)g(x)=(3x2+2)g'(x) = (3x^2 + 2)h'(x) = (2x)h(x)=(2x)h'(x) = (2x)

Zum Schluss noch einsetzen. Beachte das Minus und das Quadrat in Nenner.

f'(x) = \dfrac{(3x^2 + 2) \cdot (x^2 ) - (x^3 + 2x ) \cdot (2x)}{\left((x^2 )\right)^2}f(x)=(3x2+2)(x2)(x3+2x)(2x)((x2))2f'(x) = \dfrac{(3x^2 + 2) \cdot (x^2 ) - (x^3 + 2x ) \cdot (2x)}{\left((x^2 )\right)^2}

Jetzt solltest du noch ausmultiplizieren und zusammenfassen!

f'(x) = \dfrac{3x^2\cdot x^2 + 2\cdot x^2 - \left[x^3\cdot (2x) + 2x\cdot (2x)\right]}{x^4}f(x)=3x2x2+2x2[x3(2x)+2x(2x)]x4f'(x) = \dfrac{3x^2\cdot x^2 + 2\cdot x^2 - \left[x^3\cdot (2x) + 2x\cdot (2x)\right]}{x^4}

Fasse weiter zusammen und achte auf die Vorzeichen!

f'(x) = \dfrac{3x^4 + 2x^2 - 2x^4 - 4x^2}{x^4}f(x)=3x4+2x22x44x2x4f'(x) = \dfrac{3x^4 + 2x^2 - 2x^4 - 4x^2}{x^4}

Jetzt noch nach der höchsten Potenz sortieren und gleiche Terme zusammenrechnen!

f'(x) = \dfrac{3x^4 - 2x^4 + 2x^2 - 4x^2}{x^4} = \dfrac{x^4 - 2x^2}{x^4}f(x)=3x42x4+2x24x2x4=x42x2x4f'(x) = \dfrac{3x^4 - 2x^4 + 2x^2 - 4x^2}{x^4} = \dfrac{x^4 - 2x^2}{x^4}

Und noch ausklammern und kürzen! Dann ist es geschafft!

f'(x) = \dfrac{x^2 \cdot (x^2 - 2)}{x^4} = \dfrac{x^2 - 2}{x^2}f(x)=x2(x22)x4=x22x2f'(x) = \dfrac{x^2 \cdot (x^2 - 2)}{x^4} = \dfrac{x^2 - 2}{x^2}
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