Differenzenquotient und Differentialquotient

Du hast in der Schule gerade das Thema Funktionen und beschäftigst dich mit Ableitungen?

Dann werden dir auch die Begriffe Differenzialquotient und Differenzenquotient begegnen.

Was diese beiden Quotienten mit Funktionen zu tun haben und was sie angeben, erklärt dir simpleclub.

Differenzialquotient und Differenzenquotient einfach erklärt

Differenzenquotient

Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Geraden an, die durch zwei Punkte auf einem Graphen verläuft.

Differenzenquotient Definition

\begin{aligned} m&=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\[2mm] m&=\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \quad \textsf{(mit h-Methode)} \end{aligned}m=f(x2)f(x1)x2x1m=f(x+h)f(x)h(mith-Methode)\begin{aligned} m&=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\[2mm] m&=\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \quad \textsf{(mit h-Methode)} \end{aligned}

Differentialquotient

Der Differentialquotient ist die formale Definition der Ableitung und gibt die Steigung der Tangente an, die durch einen Punkt auf einem Graphen verläuft. Es ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

Differentialquotient Definition

\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{x_2\rightarrow x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\[2mm] f'(x)&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \quad \textsf{(mit h-Methode)} \end{aligned}f(x)=limx2x1f(x2)f(x1)x2x1f(x)=limh0f(x+h)f(x)h(mith-Methode)\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{x_2\rightarrow x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\[2mm] f'(x)&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \quad \textsf{(mit h-Methode)} \end{aligned}

Im Folgenden lernst du, wie man mit dem Differenzenquotienten und dem Differentialquotienten arbeitet. Dabei gibt es zwei Vorgehen. Einmal ohne und einmal mit hhh-Methode.


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Differenzialquotient und Differenzenquotient Herleitung

Wiederholung: Steigungsdreieck

Damit du den Differenzenquotienten aufstellen kannst, solltest du dich daran zurück erinnern, wie man die Steigung einer linearen Funktion f(x)f(x)f(x) bestimmt.

Die Steigung kannst du mit Hilfe des Steigungsdreiecks bestimmen:

m = \frac{\triangle y}{\triangle x} m=yxm = \frac{\triangle y}{\triangle x} \\\\

Variante ohne h-Methode

Differenzenquotient

Der Differenzenquotient ist einfach gesprochen dafür da, die Steigung zwischen zwei Punkten, die auf dem gleichen Graphen f(x)f(x)f(x) liegen, zu berechnen. Der Graph f(x)f(x)f(x) muss dabei keine Gerade sein. Durch den Differenzenquotient wird die Steigung einer Gerade zwischen den beiden Punkten berechnet. Diese Gerade besitzt dann genau die durchschnittliche Steigung des Graphen zwischen den beiden Punkten.

Zum Beispiel kannst du die durchschnittliche Steigung des Graphen im unteren Bild zwischen dem Punkt PPP und QQQ durch ein Steigungsdreieck an der Gerade durch die beiden Punkte bestimmen.

Hierzu verbindest du zunächst die zwei Punkte P (1|f(1))P(1f(1))P (1|f(1)) und Q (3|f(3))Q(3f(3))Q (3|f(3)) mit einer Geraden. Diese Gerade nennst du auch Sekante.

Nun kannst du von der Sekante mithilfe des Steigungsdreiecks die Steigung bestimmen.

Der yyy -Achsenunterschied berechnet sich dann mithilfe der Funktionswerte.

Die Punkte P und Q sind mit einer Gerade verbunden. An diese ist nun ein Steigungsdreieck eingezeichnet.

Wie du sehen kannst, ist die Steigung der Sekante zunächst steiler als der Graph und später flacher. Insgesamt ist dann die Steigung der Sekante zwischen den Punkten PPP und QQQ genau die durchschnittliche Steigung des Graphen.

Damit ergibt sich dann für den Differenzenquotient:

m= \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{5-1}{3-1}=\frac{4}{2}=2m=ΔyΔx=f(3)f(1)31=5131=42=2m= \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{5-1}{3-1}=\frac{4}{2}=2

Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Sekante an und bekommt damit auch den Namen mmm zugeschrieben.

Verallgemeinert ergibt sich:

Der Differenzenquotient gibt die Steigung mmm der Sekante an:

\begin{aligned} m&=\frac{\triangle y}{\triangle x} \\[2mm] &=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \end{aligned}m=yx=f(x2)f(x1)x2x1\begin{aligned} m&=\frac{\triangle y}{\triangle x} \\[2mm] &=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \end{aligned}
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Differentialquotient

Mit Hilfe des Differenzenquotienten kannst du die durchschnittliche Steigung einer Funktion f(x)f(x)f(x) in einem beliebigen Intervall berechnen.

Das Problem hierbei ist, dass diese Steigung nur das durchschnittliche Steigungsverhalten in dem Intervall beschreibt. Du kannst lediglich eine allgemeine Aussage darüber treffen, um wie viel die Funktionswerte von f(x)f(x)f(x) in dem Intervall im Durchschnitt gestiegen oder gefallen sind.

Was ist, wenn du aber die Steigung an einer ganz bestimmten xxx-Stelle berechnen möchtest?

Hierzu gibt es den Differentialquotienten.

Diesen kannst du mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnen.

Die Idee dahinter ist, dass eine Gerade einen Punkt P (x|f(x))P(xf(x))P (x|f(x)) der Funktion f(x)f(x)f(x) schneidet und von der Geraden die Steigung bestimmt wird. Somit erhältst du die Steigung an der xxx-Stelle. Diese Gerade nennt sich Tangente.

  • Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen nur in einem Punkt schneidet.

Die Tangente kannst du mit Hilfe einer Sekante herleiten:

\fcolorbox{grey}{grey}{1}1\fcolorbox{grey}{grey}{1} Du verbindest zwei beliebige Punkte des Funktionsgraphen mit einer Gerade, der sogenannten Sekante.

\fcolorbox{grey}{grey}{2}2\fcolorbox{grey}{grey}{2} Um die Steigung der Sekante zu ermitteln, stellst du mit Hilfe eines Steigungdreieckes den Differenzenquotienten auf.

\fcolorbox{grey}{grey}{3}3\fcolorbox{grey}{grey}{3} Nun verschiebst du schrittweise den rechten Punkt auf dem Graphen in Richtung des linken Punkts. Der Abstand der beiden Punkte wird immer kleiner - also fast null. Du bildest den Grenzwert.

\fcolorbox{grey}{grey}{4}4\fcolorbox{grey}{grey}{4} Die Punkte verschmelzen miteinander. Die Gerade schneidet näherungsweise nur noch den linken Punkt. Die Sekante wird zur Tangente.

In der Animation kannst du grafisch sehen, was in Schritt 333 und 444 passiert.

Der Differentialquotient ist die formale Definition der Ableitung f'(x)f(x)f'(x). Mit Hilfe des Differentialquotienten kannst du die Steigung in einem Punkt bestimmen.

Du näherst den einen Punkt solange an den anderen an, bis die Sekante zu einer Tangente wird. Diese Tangente besitzt dann genau die Steigung des Graphen im Berührpunkt.

Merke dir:

Der Differentialquotient einer Funktion ist die Ableitung der Funktion in einem Punkt der Funktion:

f'(x) =\lim_{x_2\rightarrow x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}f(x)=limx2x1f(x2)f(x1)x2x1f'(x) =\lim_{x_2\rightarrow x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
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Variante mit h-Methode

Differenzenquotient

Alternativ kannst du den Differenzen- und den Differentialquotienten auch mittels der h-Methode herleiten.

Dabei schreibst du den zweiten Punkt in Abhängigkeit der ersten xxx-Koordinate mit einem zusätzlichen hhh.

Die weitere xxx-Stelle (rechts) erhältst du, indem du bei der linken xxx-Stelle startest und du um eine beliebige Schrittweite hhh nach rechts gehst.

Der Unterschied zu dem DIfferenzenquotienten ohne hhh-Methode besteht also darin, dass die Differenz der beiden xxx-Stellen mit einem beliebigen hhh festgelegt wird.

Verallgemeinert für eine beliebige Stelle xxx ergibt sich dann:

Graphische Darstellung Differenzenquotient: Die beiden Punkte auf dem Graphen werden durch eine Strecke verbunden. Sie ist gleichzeitig die eine Seite des Steigungsdreiecks. Das Steigungsdreieck bekommst du, indem du vom ersten Punkt h Schritte nach rechts und f(x+h) - f(x) Schritte nach oben zum zweiten Punkt gehst.

Die Steigung kannst du nun wieder mit Hilfe eines Steigungsdreieckes aufstellen:

\begin{aligned} m &= \frac{\triangle y}{\triangle x} \\[2mm] &=\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \end{aligned}m=yx=f(x+h)f(x)h\begin{aligned} m &= \frac{\triangle y}{\triangle x} \\[2mm] &=\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \end{aligned}

In der Animation kannst du nochmal der Reihe nach alle Schritte zum Aufstellen des Differenzenquotienten mithilfe der hhh - Methode sehen.

Steigungsdreieck einzeichnen
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Differentialquotient

Um den Differentialquotienten aufzustellen, betrachtest du den Grenzwert des Differenzenquotienten.

Hierzu lässt du das Intervall, in welchem die Steigung des Funktionsgraphen betrachtet wird, unendlich klein (nahezu Null) werden.

Grenzübergang Differenzenquotient zu Differentialquotient

Mathematisch kannst du das folgendermaßen formulieren:

f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim_{h\rightarrow 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Das beschriebene Verfahren nennt sich auch hhh-Methode. Mit der Methode kannst du mathematisch die Ableitung in einem Punkt einer Funktion herleiten.

Der Differentialquotient einer Funktion ist die Ableitung in einem Punkt der Funktion:

f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim_{h\rightarrow 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
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Differenzialquotient und Differenzenquotient Übersicht

Differenzenquotient

Differentialquotient

.

Steigung zwischen zwei Punkten:

m =\dfrac{f(x_2)- f(x_1)}{x_2-x_1} m=f(x2)f(x1)x2x1m =\dfrac{f(x_2)- f(x_1)}{x_2-x_1} m=\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}m=f(x+h)f(x)hm=\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}

Steigung in einem Punkt:

f'(x) =\lim_{x_2\rightarrow x_1} \dfrac{f(x_2)- f(x_1)}{x_2-x_1} f(x)=limx2x1f(x2)f(x1)x2x1f'(x) =\lim_{x_2\rightarrow x_1} \dfrac{f(x_2)- f(x_1)}{x_2-x_1} f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
  • entspricht der Steigung der Geraden (auch Sekante), die durch zwei Punkte A (x_1|f(x_1))A(x1f(x1))A (x_1|f(x_1)) und B (x_1|f(x_1))B(x1f(x1))B (x_1|f(x_1)) verläuft
  • Berechnung mit Hilfe des Steigungsdreiecks
  • gibt Steigung der Tangente an, die durch einen Punkt A (x|f(x))A(xf(x))A (x|f(x)) verläuft

  • Grenzwert des Differenzenquotienten

  • formale Definition der Ableitung

Synonyme:

  • mittlere Änderungsrate

  • durchschnittliche Änderungsrate

  • durchschnittliche Steigung

  • Steigung der Sekante

Synonyme:

  • momentane Änderungsrate
  • lokale Änderungsrate
  • momentane Steigung
  • Steigung der Tangente
  • Ableitung

Differenzialquotient und Differenzenquotient Beispiele

Beispiel 1: Differenzenquotient ohne h-Methode

Aufgabenstellung

Bestimme die durchschnittliche Steigung der Funktion

f(x)=x^2+1f(x)=x2+1f(x)=x^2+1

auf dem Intervall I [\col[1]{1},\col[2]{3}]I[1,3]I [\col[1]{1},\col[2]{3}].

Lösung

Um die durchschnittliche Steigung zu bestimmen, benötigst du den Differenzenquotient:

Rechnung
\begin{aligned} m &= \frac{f(\col[2]{x_2})-f(\col[1]{x_1})}{\col[2]{x_2}-\col[1]{x_1}} \\[2mm] &= \frac{f(\col[2]{3})-f(\col[1]{1})}{\col[2]{3}-\col[1]{1}} \\[2mm] &= \frac{(\col[2]{3}^2+1)-(\col[1]{1}^2+1)}{\col[2]{3}-\col[1]{1}} \\[2mm] &= \frac{10-2}{\col[2]{3}-\col[1]{1}} \\[2mm] &= \frac{8}{2} \\[2mm] &= \lsg{4} \end{aligned}m=f(x2)f(x1)x2x1=f(3)f(1)31=(32+1)(12+1)31=10231=82=4\begin{aligned} m &= \frac{f(\col[2]{x_2})-f(\col[1]{x_1})}{\col[2]{x_2}-\col[1]{x_1}} \\[2mm] &= \frac{f(\col[2]{3})-f(\col[1]{1})}{\col[2]{3}-\col[1]{1}} \\[2mm] &= \frac{(\col[2]{3}^2+1)-(\col[1]{1}^2+1)}{\col[2]{3}-\col[1]{1}} \\[2mm] &= \frac{10-2}{\col[2]{3}-\col[1]{1}} \\[2mm] &= \frac{8}{2} \\[2mm] &= \lsg{4} \end{aligned}
Antwort

Die durchschnittliche Steigung der Funktion f(x) = x^2+1f(x)=x2+1f(x) = x^2+1 auf dem Intervall I[1,3]I[1,3]I[1,3] beträgt 444.

Beispiel 2: Differentialquotient mit h-Methode

Aufgabenstellung

Bestimme den Differentialquotienten der Funktion

f(x) = x^2+x-2f(x)=x2+x2f(x) = x^2+x-2

mit der h-Methode.

Lösung

Schritt 1: Differenzenquotient

Um den Differentialquotienten zu bestimmen, stellst du zunächst den Differenzenquotienten auf.

\begin{aligned} m &= \dfrac{\col[1]{f(}\col[2]{x+h}\col[1]{)} - \col[1]{f(}\col[2]{x}\col[1]{)}}{h} \\[2mm] &= \dfrac{\underbrace{\col[1]{(\col[2]{x+h})^2+(\col[2]{x+h})-2}}_{\col[1]{f(\col[2]{x+h})}} - \underbrace{(\col[1]{\col[2]{x}^2+\col[2]{x}-2})}_{\col[1]{f(\col[2]{x})}}}{h} \end{aligned}m=f(x+h)f(x)h=(x+h)2+(x+h)2f(x+h)(x2+x2)f(x)h\begin{aligned} m &= \dfrac{\col[1]{f(}\col[2]{x+h}\col[1]{)} - \col[1]{f(}\col[2]{x}\col[1]{)}}{h} \\[2mm] &= \dfrac{\underbrace{\col[1]{(\col[2]{x+h})^2+(\col[2]{x+h})-2}}_{\col[1]{f(\col[2]{x+h})}} - \underbrace{(\col[1]{\col[2]{x}^2+\col[2]{x}-2})}_{\col[1]{f(\col[2]{x})}}}{h} \end{aligned}

Multipliziere nun alles aus, indem du die binomische Formel nutzt und beim hinteren Term auf die Vorzeichen achtest.

= \dfrac{\cancel{x^2}+2xh+h^2\cancel{+x}+h\cancel{-2}\cancel{-x^2}\cancel{-x}\cancel{+2}}{h}=x2+2xh+h2+x+h2x2x+2h= \dfrac{\cancel{x^2}+2xh+h^2\cancel{+x}+h\cancel{-2}\cancel{-x^2}\cancel{-x}\cancel{+2}}{h}= \dfrac{2xh+h^2+h }{h}=2xh+h2+hh= \dfrac{2xh+h^2+h }{h}= \col[3]{2x+h+1}=2x+h+1= \col[3]{2x+h+1}
Schritt 2: Differentialquotient

Mache jetzt den Grenzübergang.

f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \ \col[3]{2x+h+1} = 2x+1f(x)=limh02x+h+1=2x+1f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \ \col[3]{2x+h+1} = 2x+1
Antwort

Die Funktion f(x) = x^2+x-2f(x)=x2+x2f(x) = x^2+x-2 besitzt den Differentialquotienten und damit die Ableitung:

\lsg{f'(x) = 2x+1}f(x)=2x+1\lsg{f'(x) = 2x+1}

Differenzenquotient & Differentialquotient Zusammenfassung

Mit dem Differenzenquotient berechnest du die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Funktionsgraph. Diese Steigung wird durch ein Steigungsdreieck berechnet.

Er wird mithilfe der yyy - Koordinaten, also den Funktionswerten, und den xxx - Koordinaten zweier Punkte auf dem Graphen gebildet.

m = \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}m=ΔyΔx=f(x2)f(x1)x2x1m = \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

Alternativ kannst du diese Formel auch schon direkt mit der hhh - Methode ausdrücken.

f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x)= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}

Der Differentialquotient wird durch den Grenzwert vom Differenzenquotienten berechnet.

Anschaulich näherst du dabei die Sekante durch die beiden Punkte des Differenzenquotienten zu einer Tangente an.

Der Differentialquotient gibt dann genau die Steigung des Graphen im Berührpunkt der Tangente an. Damit ist er die formale Definition der Ableitung.

\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{x_2\rightarrow x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\[2mm] f'(x)&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \quad \textsf{(mit h-Methode)} \end{aligned}f(x)=limx2x1f(x2)f(x1)x2x1f(x)=limh0f(x+h)f(x)h(mith-Methode)\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{x_2\rightarrow x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\[2mm] f'(x)&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \quad \textsf{(mit h-Methode)} \end{aligned}
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