Kettenregel

Wenn du dich in Mathe gerade mit Differentialrechnung beschäftigst, begegnen dir auch zusammengesetzte, also verkettete Funktionen.

Diese sehen in etwa so aus:

f(x) = h(g(x))f(x)=h(g(x))f(x) = h(g(x))

Um solche Funktionen abzuleiten, benötigst du die Kettenregel. simpleclub erklärt dir, wie du diese verwendest und verkettete Funktionen ableitest.


Kettenregel einfach erlärt

Wenn du eine Funktion der Form

f(x) = h(g(x))f(x)=h(g(x))f(x) = h(g(x))

(also die Verkettung von zwei Funktionen) ableiten willst, musst du die innere Ableitung mal die äußere Ableitung rechnen. Also:

f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)f(x)=h(g(x))g(x)f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)

Tipp: Schreibe dir als erstes die innere Funktion und die äußere Funktion auf. Leite dann erst ab!

Kettenregel Definition

Mit der Kettenregel kannst du die Ableitung von zwei zusammengesetzten (verketteten) Funktionen bestimmen.

f(x)= h(g(x))f(x)=h(g(x))f(x)= h(g(x))f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)f(x)=h(g(x))g(x)f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)

Kettenregel Beispiele

Kettenregel Polynom

f(x) = (x^2+2x-4)^{15}f(x)=(x2+2x4)15f(x) = (x^2+2x-4)^{15}

Bestimme die innere und die äußere Funktion!

g(x) = \textcolor{sc_color_1}{(x^2+2x-4)}g(x)=(x2+2x4)g(x) = \textcolor{#7F7706}{(x^2+2x-4)}h(g(x)) = \textcolor{sc_color_2}{g(x)^{15}}h(g(x))=g(x)15h(g(x)) = \textcolor{#0069FC}{g(x)^{15}}

Bestimme jetzt die Ableitungen!

g'(x) = \textcolor{sc_color_1}{(2x+2)}g(x)=(2x+2)g'(x) = \textcolor{#7F7706}{(2x+2)}h'(g(x)) = \textcolor{sc_color_2}{15\cdot g(x)^{14}}h(g(x))=15g(x)14h'(g(x)) = \textcolor{#0069FC}{15\cdot g(x)^{14}}

Zum Schluss noch zusammenrechnen und die innere Funktion einsetzen.

f'(x) =15\cdot (x^2+2x-4)^{14} \cdot (2x+2)f(x)=15(x2+2x4)14(2x+2)f'(x) =15\cdot (x^2+2x-4)^{14} \cdot (2x+2)

Kettenregel Wurzel

f(x) = \sqrt{x^2-4}f(x)=x24f(x) = \sqrt{x^2-4}

Bestimme die innere und die äußere Funktion!

g(x) = \textcolor{sc_color_1}{x^2-4}g(x)=x24g(x) = \textcolor{#7F7706}{x^2-4}h(g(x)) = \textcolor{sc_color_2}{\sqrt{g(x)}}h(g(x))=g(x)h(g(x)) = \textcolor{#0069FC}{\sqrt{g(x)}}

Bestimme jetzt die Ableitungen!

g'(x) = \textcolor{sc_color_1}{2x}g(x)=2xg'(x) = \textcolor{#7F7706}{2x}h'(g(x)) = \textcolor{sc_color_2}{\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}}}h(g(x))=12g(x)h'(g(x)) = \textcolor{#0069FC}{\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}}}

Zum Schluss noch zusammenrechnen und die innere Funktion einsetzen.

f'(x) =\dfrac{1}{2\sqrt{x^2-4}}\cdot 2xf(x)=12x242xf'(x) =\dfrac{1}{2\sqrt{x^2-4}}\cdot 2x

Kettenregel e-Funktion

Du solltest für dieses Beispiel bereits die Ableitung von der e-Funktion beherrschen!

f(x) = e^{4x}f(x)=e4xf(x) = e^{4x}

Bestimme die innere und die äußere Funktion!

g(x) = \textcolor{sc_color_1}{4x}g(x)=4xg(x) = \textcolor{#7F7706}{4x}h(g(x)) = \textcolor{sc_color_2}{e^{g(x)}}h(g(x))=eg(x)h(g(x)) = \textcolor{#0069FC}{e^{g(x)}}

Bestimme jetzt die Ableitungen!

g'(x) = \textcolor{sc_color_1}{4}g(x)=4g'(x) = \textcolor{#7F7706}{4}h'(g(x)) = \textcolor{sc_color_2}{e^{g(x)}}h(g(x))=eg(x)h'(g(x)) = \textcolor{#0069FC}{e^{g(x)}}

Zum Schluss noch zusammenrechnen und die innere Funktion einsetzen.

f'(x) =e^{4x} \cdot 4f(x)=e4x4f'(x) =e^{4x} \cdot 4

Kettenregel Logarithmus

Du solltest für dieses Beispiel bereits die Ableitung vom Logarithmus beherrschen!

f(x) = \ln(5x + 3)f(x)=ln(5x+3)f(x) = \ln(5x + 3)

Bestimme die innere und die äußere Funktion!

g(x) = \textcolor{sc_color_1}{5x+3}g(x)=5x+3g(x) = \textcolor{#7F7706}{5x+3}h(g(x)) = \textcolor{sc_color_2}{\ln(g(x))}h(g(x))=ln(g(x))h(g(x)) = \textcolor{#0069FC}{\ln(g(x))}

Bestimme jetzt die Ableitungen!

g'(x) = \textcolor{sc_color_1}{5}g(x)=5g'(x) = \textcolor{#7F7706}{5}h'(g(x)) = \textcolor{sc_color_2}{\dfrac{1}{g(x)}}h(g(x))=1g(x)h'(g(x)) = \textcolor{#0069FC}{\dfrac{1}{g(x)}}

Zum Schluss noch zusammenrechnen und die innere Funktion einsetzen.

f'(x) =\dfrac{1}{5x+3} \cdot 5 = \dfrac{5}{5x+3}f(x)=15x+35=55x+3f'(x) =\dfrac{1}{5x+3} \cdot 5 = \dfrac{5}{5x+3}

Kettenregel Sinus

Du solltest für dieses Beispiel bereits die Ableitung von Sinus beherrschen!

f(x) = \sin(x^2)f(x)=sin(x2)f(x) = \sin(x^2)

Bestimme die innere und die äußere Funktion!

g(x) = \textcolor{sc_color_1}{x^2}g(x)=x2g(x) = \textcolor{#7F7706}{x^2}h(g(x)) = \textcolor{sc_color_2}{\sin(g(x))}h(g(x))=sin(g(x))h(g(x)) = \textcolor{#0069FC}{\sin(g(x))}

Bestimme jetzt die Ableitungen!

g'(x) = \textcolor{sc_color_1}{2x}g(x)=2xg'(x) = \textcolor{#7F7706}{2x}h'(g(x)) = \textcolor{sc_color_2}{\cos(g(x))}h(g(x))=cos(g(x))h'(g(x)) = \textcolor{#0069FC}{\cos(g(x))}

Zum Schluss noch zusammenrechnen und die innere Funktion einsetzen.

f'(x) =\cos(x^2)\cdot 2xf(x)=cos(x2)2xf'(x) =\cos(x^2)\cdot 2x

Kettenregel Kosinus

Du solltest für dieses Beispiel bereits die Ableitung von Kosinus beherrschen!

f(x) = \left(\cos(x)\right)^2f(x)=(cos(x))2f(x) = \left(\cos(x)\right)^2

Bestimme die innere und die äußere Funktion!

g(x) = \textcolor{sc_color_1}{\cos(x)}g(x)=cos(x)g(x) = \textcolor{#7F7706}{\cos(x)}h(g(x)) = \textcolor{sc_color_2}{\left(g(x)\right)^2}h(g(x))=(g(x))2h(g(x)) = \textcolor{#0069FC}{\left(g(x)\right)^2}

Bestimme jetzt die Ableitungen!

g'(x) = \textcolor{sc_color_1}{-\sin(x)}g(x)=sin(x)g'(x) = \textcolor{#7F7706}{-\sin(x)}h'(g(x)) = \textcolor{sc_color_2}{2\cdot g(x)}h(g(x))=2g(x)h'(g(x)) = \textcolor{#0069FC}{2\cdot g(x)}

Zum Schluss noch zusammenrechnen und die innere Funktion einsetzen.

f'(x) =2\cdot \cos(x) \cdot (-\sin(x)) = (-2)\cdot \cos(x) \cdot \sin(x)f(x)=2cos(x)(sin(x))=(2)cos(x)sin(x)f'(x) =2\cdot \cos(x) \cdot (-\sin(x)) = (-2)\cdot \cos(x) \cdot \sin(x)
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