Normalengleichung

Eine Normale ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem Punkt senkrecht schneidet.


Erklärung

Eine Normale ist eine Gerade, welche den Graphen einer Funktion f (x)f(x)f (x) in einem bestimmten Punkt P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0}) senkrecht schneidet.

Somit besitzt sie die Gleichung einer linearen Funktion:

n(x) = \col[3]{m_N} \cdot x + \col[4]{b} n(x)=mNx+bn(x) = \col[3]{m_N} \cdot x + \col[4]{b}

\col[3]{m_N}mN\col[3]{m_N} entspricht hierbei der Steigung und \col[4]{b}b\col[4]{b} dem yyy-Achsenabschnitt der Normale n(x)n(x)n(x).

Damit die Normale den Graphen den Punkt P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0}) senkrecht schneidet, muss an diesem Punkt folgende Gleichung gelten:

\col[3]{m_T} \cdot \col[3]{m_N} = -1 mTmN=1\col[3]{m_T} \cdot \col[3]{m_N} = -1

\col[3]{m_T}mT\col[3]{m_T} entspricht hierbei anschaulich der Steigung der Tangente. Die Normale schneidet die Tangente in dem jeweiligen Punkt senkrecht.

Gezeichnet ist ein Graph, sowie eine Tangente an den Graphen. Eine weitere Gerade, die sogenannte Normale schneidet die Tangente senkrecht im Berührpunkt von Graph und Tangente.

Vorgehensweise

In der Aufgabenstellung findest du meist folgende Informationen, die du dir zunächst einmal heraussuchst:

  • Funktion f(x)f(x)f(x)
  • Stelle \col[1]{x_0}x0\col[1]{x_0}

Schritt 1: Punkt \large P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)\large P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})

Bestimme zunächst den Punkt P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0}), an dem die Normale t (x)t(x)t (x) den Funktionsgraphen von f (x)f(x)f (x) senkrecht schneiden soll.

Setze hierzu die bekannte Stelle \col[1]{x_0}x0\col[1]{x_0} in f (x)f(x)f (x) ein und berechne den \large \col[2]{y_0}y0\large \col[2]{y_0} - Wert.

Beachte: Ist der Punkt P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0}) angegeben, so kannst du Schritt 1 überspringen.

Schritt 2: 1. Ableitung von \large f(x)f(x)\large f(x)

Damit du die Steigung \col[3]{m_N}mN\col[3]{m_N} von der Normale n (x)n(x)n (x) bestimmen kannst, musst du vorab die 1. Ableitung von f (x)f(x)f (x) bilden.

\implies f'(x) = ...f(x)=...\implies f'(x) = ...

Schritt 3: Steigung \large \col[3]{m_N}mN\large \col[3]{m_N}

Berechne zunächst die Steigung \col[3]{m_T}mT\col[3]{m_T} der Tangente.

Hierzu setzt du \col[1]{x_0}x0\col[1]{x_0} in die Ableitung f'(x)f(x)f'(x) ein.

Der Wert, den du erhältst, ist die Steigung \col[3]{m_T}mT\col[3]{m_T} der Funktion f(x)f(x)f(x) an der Stelle \col[1]{x_0}x0\col[1]{x_0}:

f'(\col[1]{x_0}) = \col[3]{m_T}f(x0)=mTf'(\col[1]{x_0}) = \col[3]{m_T}

Damit du nun die Steigung der Normale \col[3]{m_N}mN\col[3]{m_N} erhältst, setzt du das zuvor berechnete \col[3]{m_T}mT\col[3]{m_T} in die Gleichung

\col[3]{m_T} \cdot \col[3]{m_N} = -1 mTmN=1\col[3]{m_T} \cdot \col[3]{m_N} = -1

ein und formst es nach \col[3]{m_N}mN\col[3]{m_N} um.

Du erhältst:

\implies \col[3]{m_N} = -\frac{1}{\col[3]{m_T}}mN=1mT \implies \col[3]{m_N} = -\frac{1}{\col[3]{m_T}}

Schritt 4: \large yy\large y-Achsenabschnitt \large \col[4]{b}b\large \col[4]{b}

Setze die Koordinaten von dem Punkt P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0}) und die Steigung \col[3]{m_N}mN\col[3]{m_N} in die Normalengleichung n (x)n(x)n (x) ein.

Die entstandene Gleichung formst du anschließend nach \col[4]{b}b\col[4]{b} um.

\begin{aligned} n (\col[1]{x_0}) = \col[3]{m_N} \cdot \col[1]{x_0} + \col[4]{b} &= \col[2]{y_0} &&\quad | -\col[3]{m_N} \cdot \col[1]{x_0} \\ \col[4]{b} &= \col[2]{y_0} -\col[3]{m_N} \cdot \col[1]{x_0} \end{aligned}n(x0)=mNx0+b=y0mNx0b=y0mNx0\begin{aligned} n (\col[1]{x_0}) = \col[3]{m_N} \cdot \col[1]{x_0} + \col[4]{b} &= \col[2]{y_0} &&\quad | -\col[3]{m_N} \cdot \col[1]{x_0} \\ \col[4]{b} &= \col[2]{y_0} -\col[3]{m_N} \cdot \col[1]{x_0} \end{aligned}

Du erhältst:

\implies \col[4]{b} = \col[2]{y_0} -\col[3]{m_N} \cdot \col[1]{x_0} b=y0mNx0\implies \col[4]{b} = \col[2]{y_0} -\col[3]{m_N} \cdot \col[1]{x_0}

Schritt 5: Normalengleichung \large n (x)n(x)\large n (x)

Im letzten Schritt setzt du das berechnete \col[3] {m_N}mN\col[3] {m_N} und \col[4]{b}b\col[4]{b} in die Normalengleichung ein.

n (x) = \col[3]{m_N} \cdot x + \col[4]{b}n(x)=mNx+bn (x) = \col[3]{m_N} \cdot x + \col[4]{b}

Beispiel

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

f (x) = 4x^2+2x+1f(x)=4x2+2x+1f (x) = 4x^2+2x+1

Bestimme die Normalengleichung an der Stelle \col[1]{x_0 = 1}x0=1\col[1]{x_0 = 1}.

Lösung

Um die Normalengleichung

n (x) = \col[3]{m_N} \cdot x + \col[4]{b}n(x)=mNx+bn (x) = \col[3]{m_N} \cdot x + \col[4]{b}

aufstellen zu können, musst du die Steigung \col[3]{m_N}mN\col[3]{m_N} und den yyy- Achsenabschnitt \col[4]{b}b\col[4]{b} berechnen.

Das machst du am besten in fünf Schritten.

Schritt 1: \large P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)\large P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})

Zunächst bestimmst du den Punkt P (\col[1]{1} | \col[2]{y_0})P(1y0)P (\col[1]{1} | \col[2]{y_0}), in dem die Normale n (x)n(x)n (x) den Funktionsgraphen von f (x)f(x)f (x) senkrecht schneiden soll.

Dazu setzt du die bekannte Stelle \col[1]{x_0 = 1}x0=1\col[1]{x_0 = 1} in

f (x) = 4x^2+2x+1f(x)=4x2+2x+1f (x) = 4x^2+2x+1

ein und rechnest den \col[2]{y_0}y0\col[2]{y_0}-Wert aus:

\begin{aligned} f (\col[1]{x_0}) &= f ( \col[1]{ 1 }) \\ &= 4 \cdot \col[1]{1}^2 + 2 \cdot \col[1]{1} + 1 \\ &= \col[2]{7} \end{aligned}f(x0)=f(1)=412+21+1=7\begin{aligned} f (\col[1]{x_0}) &= f ( \col[1]{ 1 }) \\ &= 4 \cdot \col[1]{1}^2 + 2 \cdot \col[1]{1} + 1 \\ &= \col[2]{7} \end{aligned}

Du erhältst:

P (\col[1]{1} | \col[2]{7})P(17)P (\col[1]{1} | \col[2]{7})

Schritt 2: 1. Ableitung \large f' (x)f(x)\large f' (x)

Nun bestimmst du die 1. Ableitung von f (x)f(x)f (x).

\begin{aligned} f(x) &= 4x^2+2x+1 \\ f'(x) &= 8x+2 \end{aligned}f(x)=4x2+2x+1f(x)=8x+2\begin{aligned} f(x) &= 4x^2+2x+1 \\ f'(x) &= 8x+2 \end{aligned}

Schritt 3: Steigung \large \col[3]{m_N}mN\large \col[3]{m_N}

Damit die Normalengleichung

n (x) = \col[3]{m_N} \cdot x + \col[4]{b}n(x)=mNx+bn (x) = \col[3]{m_N} \cdot x + \col[4]{b}

angegeben werden kann, musst du unter anderem die Steigung \col[3]{m_T}mT\col[3]{m_T} berechnen.

Diese brauchst du, damit du weißt, welche Steigung die Tangente an der Stelle \col[1]{x_0}x0\col[1]{x_0} aufweist.

Damit kannst du anschließend berechnen, welche Steigung die Normale n(x)n(x)n(x) besitzt, da diese die Tangente senkrecht schneiden soll.

Hierzu setzt du \col[1]{x_0 = 1}x0=1\col[1]{x_0 = 1} in die Ableitung

f'(x) = 8x+2f(x)=8x+2f'(x) = 8x+2

ein:

\begin{aligned} f' (\col[1]{x_0}) &= f' (\col[1]{1}) \\ &= 8 \cdot \col[1]{1}+2 \\ &= \col[3]{10} \end{aligned}f(x0)=f(1)=81+2=10\begin{aligned} f' (\col[1]{x_0}) &= f' (\col[1]{1}) \\ &= 8 \cdot \col[1]{1}+2 \\ &= \col[3]{10} \end{aligned}

Der Wert, den du erhältst, ist die Steigung \col[3]{m_T}mT\col[3]{m_T} der Funktion f(x)f(x)f(x) an der Stelle \col[1]{x_0=1}x0=1\col[1]{x_0=1}.

Sie entspricht auch der Steigung der Tangente.

Du erhältst:

\col[3]{m_T = \col[3]{10}}mT=10\col[3]{m_T = \col[3]{10}}

Damit du nun die Steigung der Normale \col[3]{m_N}mN\col[3]{m_N} erhältst, setzt du \col[3]{m_T = 10}mT=10\col[3]{m_T = 10} in die Gleichung

\col[3]{m_T} \cdot \col[3]{m_N} = -1 mTmN=1\col[3]{m_T} \cdot \col[3]{m_N} = -1

ein und formst es nach \col[3]{m_N}mN\col[3]{m_N} um:

\begin{aligned} \col[3]{m_T} \cdot \col[3]{m_N} &= -1 \\ \col[3]{10} \cdot \col[3]{m_N} &= -1 & \quad |:10 \\ \col[3]{m_N} &= \col[3]{-0,1} \end{aligned}mTmN=110mN=1:10mN=0,1\begin{aligned} \col[3]{m_T} \cdot \col[3]{m_N} &= -1 \\ \col[3]{10} \cdot \col[3]{m_N} &= -1 & \quad |:10 \\ \col[3]{m_N} &= \col[3]{-0,1} \end{aligned}

Du erhältst:

\col[3]{m_N = -0,1} mN=0,1\col[3]{m_N = -0,1}

Schritt 4: \large yy\large y-Achsenabschnitt \large \col[4]{b}b\large \col[4]{b}

In diesem Schritt berechnest du den yyy-Achsenabschnitt \col[4]{b}b\col[4]{b}.

Setze hierzu die Koordinaten von dem Punkt P (\col[1]{1} | \col[2]{7})P(17)P (\col[1]{1} | \col[2]{7}) und die Steigung \col[3]{m_N = -0,1}mN=0,1\col[3]{m_N = -0,1} in die Normalengleichung

n (\col[1]{x_0}) = \col[3]{m_N} \cdot \col[1]{x_0} + \col[4]{b} = \col[2]{y_0}n(x0)=mNx0+b=y0n (\col[1]{x_0}) = \col[3]{m_N} \cdot \col[1]{x_0} + \col[4]{b} = \col[2]{y_0}

ein.

Forme anschließend die Gleichung nach \col[4]{b}b\col[4]{b} um:

\begin{aligned} n (\col[1]{x_0}) = \col[3]{m_N} \cdot \col[1]{x_0} + \col[4]{b} &= \col[2]{y_0} \\ \col[3]{-0,1} \cdot \col[1]{1} + \col[4]{b} &= \col[2]{7} \\ -0,1 + \col[4]{b} &= \col[2]{7} & \quad |+0,1 \\ \col[4]{b} &= \col[4]{7,1} \end{aligned}n(x0)=mNx0+b=y00,11+b=70,1+b=7+0,1b=7,1\begin{aligned} n (\col[1]{x_0}) = \col[3]{m_N} \cdot \col[1]{x_0} + \col[4]{b} &= \col[2]{y_0} \\ \col[3]{-0,1} \cdot \col[1]{1} + \col[4]{b} &= \col[2]{7} \\ -0,1 + \col[4]{b} &= \col[2]{7} & \quad |+0,1 \\ \col[4]{b} &= \col[4]{7,1} \end{aligned}

Du erhältst:

\col[4]{b = 7,1}b=7,1 \col[4]{b = 7,1}

Schritt 5: Normalengleichung \large n (x)n(x)\large n (x)

Im letzten Schritt setzt du das berechnete \col[3] {m_N = -0,1}mN=0,1\col[3] {m_N = -0,1} und \col[4]{b = 7,1}b=7,1\col[4]{b = 7,1} in die Normalengleichung

n (x) = \col[3]{m_N} \cdot x + \col[4]{b}n(x)=mNx+bn (x) = \col[3]{m_N} \cdot x + \col[4]{b}

ein.

Du erhältst:

\lsg {n (x) = \col[3]{-0,1} \cdot x + \col[4]{7,1}}n(x)=0,1x+7,1\lsg {n (x) = \col[3]{-0,1} \cdot x + \col[4]{7,1}}
Die Normale schneidet die Tangente senkrecht im Berührpunkt mit dem Graphen bei P(1|7) .
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