Extremwertaufgaben

Wenn du in Mathe gerade Analysis hast, werden dir bestimmt auch Extremwertaufgaben begegnen.

Hierbei geht es darum, unter welchen Umständen ein bestimmter Sachverhalt maximal oder minimal wird.

simpleclub erklärt dir, was Extremwertaufgaben sind und wie du diese berechnen kannst!

Extremwertaufgaben einfach erklärt

In der Animation oben siehst du schon eine typische Extremwertaufgabe.

Extremwertaufgaben sind eigentlich immer nach einem bestimmten Schema gestellt.

  • Du hast immer eine Hauptbedingung gegeben. Das ist immer der Teil der Aufgabenstellung, den du maximieren oder minimieren sollst. Du musst also z.B. einen Flächeninhalt oder ein Volumen extrem machen. Deshalb auch der Name Extremwertaufgaben.
  • Als zweites hast du noch eine Nebenbedingung gegeben. Das ist also eine Bedingung, die zusätzlich in diesem Sachverhalt erfüllt sein muss. Die ist auch unbedingt nötig, da du andererseits kein Gleichungssystem aufstellen könntest, und somit die Aufgabe nicht lösen könntest.

Extremwertaufgaben Definition

Bei einer Extremwertaufgabe soll etwas unter einer bestimmten Bedingung maximiert oder minimiert werden. Dies kann beispielsweise eine Fläche oder ein Volumen sein.

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Extremwertaufgaben Erklärung

Vorgehensweise

Schritt 1: Zielfunktion aufstellen

Im ersten Schritt bildest du die Zielfunktion (auch Hauptbedingung). Die Zielfunktion soll hierbei je nach Sachverhalt beschreiben, was zu maximieren oder minimieren ist.

Beispiel

Soll eine Rechteckfläche maximiert werden, muss die Zielfunktion in diesem Fall den Flächeninhalt eines Rechtecks beschreiben.

Somit folgt für die Zielfunktion:

\implies A (a,b)= a \cdot bA(a,b)=ab\implies A (a,b)= a \cdot b

Schritt 2: Nebenbedingungen formulieren

Formuliere nun die Nebenbedingung, unter der die Funktion maximiert oder minimiert werden soll.

Bemerke: Tauchen in der ersten Nebenbedingung nicht alle Variablen auf, die in der Zielfunktion vorzufinden sind, so musst du mehrere Nebenbedingungen aufstellen.

\begin{aligned} \implies U&=... \\ O&=... \end{aligned}U=...O=...\begin{aligned} \implies U&=... \\ O&=... \end{aligned}

Schritt 3: Extremalfunktion aufstellen

Stelle nun die zu maximierende Funktion (auch Extremalfunktion) auf.

Hierzu formst du die Nebenbedingung(en) um und setzt sie in die Zielfunktion ein.

Die Extremalfunktion sollte hierbei nur noch von einer Variablen abhängig sein.

\implies A(a)=...A(a)=...\implies A(a)=...

Schritt 4: Ableitungen berechnen

Als nächstes bildest du von der Extremalfunktion die ersten beiden Ableitungen.

Diese benötigst du, um im nächsten Schritt die Extremstelle zu berechnen.

\begin{aligned} \implies A'(a)&=... \\ A''(a)&=... \end{aligned}A(a)=...A(a)=...\begin{aligned} \implies A'(a)&=... \\ A''(a)&=... \end{aligned}

Schritt 5: Extremstelle bestimmen

Bestimme nun die Extremstelle der Extremalfunktion.

Überprüfe hierzu die beiden folgenden Kriterien für Extrempunkte:

  • Notwendiges Kriterium für Extrempunkte: Die 1. Ableitung muss 0 sein.
\qquad \implies A'(a)=0A(a)=0\qquad \implies A'(a)=0
  • Hinreichendes Kriterium für Extrempunkte: Die 2. Ableitung muss ungleich 0 sein.
\qquad \implies A''(a)\neq0A(a)0\qquad \implies A''(a)\neq0

Je nach Aufgabenstellung sollst du etwas maximieren oder minimieren.

Dies wirkt sich auch darauf aus, welche Art von Extrempunkt gesucht ist:

Maximierungsaufgabe: Gesucht ist der Hochpunkt der Extremalfunktion. Es gilt f''(x) <0f(x)<0f''(x) <0.

Minimierungsaufgabe: Gesucht ist der Tiefpunkt der Extremalfunktion. Es gilt f''(x) > 0f(x)>0f''(x) > 0.

Des Weiteren solltest du darauf achten, dass manchmal situationsbedingt nicht alle Extremstellen sinnvoll sind.

So kann beispielsweise die Seitenlänge einer Figur nicht negativ werden.

Schritt 6: Lösung berechnen

Im letzten Schritt bestimmst du alle fehlenden Werte der übrigen Variablen.

Anschließend kannst du die finale Lösung berechnen, indem du alle benötigten Werte in die Zielfunktion einsetzt.

\implies A=... \quad \checkmarkA=...\implies A=... \quad \checkmark

Beispiel

Aufgabenstellung

Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man mit einem 40 \ \text{m}40 m40 \ \text{m} langen Zaun einzäunen kann?

Garten ohne Maße

Lösung

Schritt 1: Zielfunktion aufstellen

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die einzuzäunende Fläche eine möglichst große Fläche aufweisen soll. Folglich ergibt sich die Hauptbedingung aus der Fläche.

Die einzuzäunende Fläche nimmt die Form eines Rechtecks an.

Somit lautet die Zielfunktion:

\implies A (a,b)= a \cdot bA(a,b)=ab\implies A (a,b)= a \cdot b

Schritt 2: Nebenbedingungen formulieren

Als nächstes formulierst du die Nebenbedingung.

In der Aufgabe ist gegeben, dass nur 40 \ \text{m}40 m40 \ \text{m} Zaun zur Verfügung stehen, um das Gehege zu bauen.

Der Umfang des Rechtecks UUU darf daher maximal 40 \ \text{m}40 m40 \ \text{m} lang sein.

Der Umfang berechnet sich, indem du die einzelnen Seiten des Rechtecks addierst.

Somit lautet die Nebenbedingung:

\begin{aligned} U &= 40 \ \text{m}\\ a +b + a+b &= 40 \ \text{m}\\ 2a + 2b &= 40 \ \text{m} \end{aligned}U=40 ma+b+a+b=40 m2a+2b=40 m\begin{aligned} U &= 40 \ \text{m}\\ a +b + a+b &= 40 \ \text{m}\\ 2a + 2b &= 40 \ \text{m} \end{aligned}\implies U=2a + 2b = 40 \ \text{m}U=2a+2b=40 m\implies U=2a + 2b = 40 \ \text{m}

Schritt 3: Extremalfunktion aufstellen

Um die Extremalfunktion aufzustellen, formst du die Gleichung

2a + 2b = 40 \ \text{m}2a+2b=40 m2a + 2b = 40 \ \text{m}

nach bbb um:

\begin{aligned} 2a + 2b &= 40 \ \text{m} && \quad |-2a \\ 2b &= 40 \ \text{m} - 2a && \quad |:2 \\ b &= 20 \ \text{m} - a \end{aligned}2a+2b=40 m2a2b=40 m2a:2b=20 ma\begin{aligned} 2a + 2b &= 40 \ \text{m} && \quad |-2a \\ 2b &= 40 \ \text{m} - 2a && \quad |:2 \\ b &= 20 \ \text{m} - a \end{aligned}

Nun setzt du die umgeformte Nebenbedingung

\col[1]{b = 20 \ \text{m} - a}b=20 ma\col[1]{b = 20 \ \text{m} - a}

direkt in die Zielfunktion

A (a,b)= a \cdot \col[1]{b}A(a,b)=abA (a,b)= a \cdot \col[1]{b}

ein.

Die Extremalfunktion lautet somit:

\begin{aligned} A(a)&= a \cdot (\col[1]{20 \ \text{m} - a} ) \\ &= 20 \ \text{m} \cdot a -a^2 \\ &= -a^2 + 20 \ \text{m} \cdot a \end{aligned}A(a)=a(20 ma)=20 maa2=a2+20 ma\begin{aligned} A(a)&= a \cdot (\col[1]{20 \ \text{m} - a} ) \\ &= 20 \ \text{m} \cdot a -a^2 \\ &= -a^2 + 20 \ \text{m} \cdot a \end{aligned}\implies A(a)= -a^2 + 20 \ \text{m} \cdot aA(a)=a2+20 ma\implies A(a)= -a^2 + 20 \ \text{m} \cdot a

Schritt 4: Ableitungen bestimmen

Hinweis: Im Folgenden werden für die Vereinfachung die Einheiten weggelassen.

Von der Extremalfunktion A(a)A(a)A(a) bestimmst du jetzt die Extremstelle. Hierzu fängst du mit der Bestimmung der Ableitungen an.

Bilde von der Funktion

A \left( a \right) = -a^2 + 20a A(a)=a2+20aA \left( a \right) = -a^2 + 20a

die ersten beiden Ableitungen!

\begin{aligned} A' \left( a \right) &= -2a + 20 \\[3mm] A'' \left( a \right) &= -2 \end{aligned}A(a)=2a+20A(a)=2\begin{aligned} A' \left( a \right) &= -2a + 20 \\[3mm] A'' \left( a \right) &= -2 \end{aligned}

Schritt 5: Extremstelle berechnen

Notwendiges Kriterium

Das notwendige Kriterium für Extrempunkte lautet:

Die 1. Ableitung muss 0 sein.

Setze also die 1. Ableitung gleich 0:

0 = -2\col[2]{a} +20 0=2a+200 = -2\col[2]{a} +20

Forme nach \col[2]{a}a\col[2]{a} um!

\begin{aligned} 0 &= -2\col[2]{a} + 20 && \quad |-20 \\ -20 &= -2\col[2]{a} && \quad |:(-2) \\ \col[2]{10} &= \col[2]{a} \end{aligned}0=2a+202020=2a:(2)10=a\begin{aligned} 0 &= -2\col[2]{a} + 20 && \quad |-20 \\ -20 &= -2\col[2]{a} && \quad |:(-2) \\ \col[2]{10} &= \col[2]{a} \end{aligned}

\col[2]{a = 10}a=10\col[2]{a = 10} ist eine mögliche Extremstelle.

Hinreichendes Kriterium

Das hinreichende Kriterium für Extrempunkte lautet:

Die 2. Ableitung muss ungleich 0 sein.

Um zu überprüfen, ob dort wirklich ein Extrempunkt vorliegt, setze die Stelle in die 2. Ableitung ein und überprüfe, ob das Ergebnis ungleich 0 ist.

\begin{aligned} A'' \left( \col[2]{10} \right) &= -2 \neq 0 \quad\checkmark \end{aligned}A(10)=20\begin{aligned} A'' \left( \col[2]{10} \right) &= -2 \neq 0 \quad\checkmark \end{aligned}

Da der Funktionswert der 2. Ableitung ungleich 0 ist, liegt bei \col[2]{a = 10}a=10\col[2]{a = 10} ein Extrempunkt vor!

Die Extremstelle ist folglich \col[2]{a = 10}a=10\col[2]{a = 10}.

Schritt 6: Flächeninhalt \large AA\large A berechnen

Erinner dich: \col[2]{a}a\col[2]{a} entspricht zeitgleich der einen Seitenlänge der einzuzäunenden Fläche.

Somit ist die Seite \col[2]{a}a\col[2]{a} gleich \col[2]{10 \ \text{m}}10 m\col[2]{10 \ \text{m}} lang.

Um den Flächeninhalt zu bestimmen, musst du noch die Länge der Seite \col[3]{b}b\col[3]{b} berechnen.

Setze hierzu \col[2]{a = 10 \ \text{m}}a=10 m\col[2]{a = 10 \ \text{m}} in die Nebenbedingung

2\col[2]{a} + 2\col[3]{b} = 40 \ \text{m}2a+2b=40 m2\col[2]{a} + 2\col[3]{b} = 40 \ \text{m}

ein und forme nach \col[3]{b}b\col[3]{b} um:

\begin{aligned} 2\col[2]{a} + 2\col[3]{b} &= 40 \ \text{m} \\ 2 \cdot \col[2]{10 \ \text{m}} + 2\col[3]{b} &= 40 \ \text{m} \\ 20 \ \text{m} + 2\col[3]{b} &= 40 \ \text{m} && \quad | - 20 \ \text{m}\\ 2\col[3]{b} &= 40 \ \text{m} - 20 \ \text{m} \\ 2\col[3]{b} &= 20 \ \text{m} && \quad |:2 \\ \col[3]{b} &= \col[3]{10 \ \text{m} } \end{aligned}2a+2b=40 m210 m+2b=40 m20 m+2b=40 m20 m2b=40 m20 m2b=20 m:2b=10 m\begin{aligned} 2\col[2]{a} + 2\col[3]{b} &= 40 \ \text{m} \\ 2 \cdot \col[2]{10 \ \text{m}} + 2\col[3]{b} &= 40 \ \text{m} \\ 20 \ \text{m} + 2\col[3]{b} &= 40 \ \text{m} && \quad | - 20 \ \text{m}\\ 2\col[3]{b} &= 40 \ \text{m} - 20 \ \text{m} \\ 2\col[3]{b} &= 20 \ \text{m} && \quad |:2 \\ \col[3]{b} &= \col[3]{10 \ \text{m} } \end{aligned}

Die Seite \col[3]{b}b\col[3]{b} ist \col[3]{10 \ \text{m}}10 m\col[3]{10 \ \text{m}} lang.

Bestimme nun den Flächeninhalt.

Setze \col[2]{a= 10 \ \text{m}}a=10 m\col[2]{a= 10 \ \text{m}} und \col[3]{b=10 \ \text{m}}b=10 m\col[3]{b=10 \ \text{m}} in die Zielfunktion ein:

\begin{aligned} A &= \col[2]{a} \cdot \col[3]{b} \\ &= \col[2]{10 \ \text{m}} \cdot \col[3]{10 \ \text{m}} \\ &= \lsg{100 \ \text{m}^2} \end{aligned}A=ab=10 m10 m=100m2\begin{aligned} A &= \col[2]{a} \cdot \col[3]{b} \\ &= \col[2]{10 \ \text{m}} \cdot \col[3]{10 \ \text{m}} \\ &= \lsg{100 \ \text{m}^2} \end{aligned}

Antwort:

Die größte rechteckige Fläche, die man mit einem 40 \ \text{m}40 m40 \ \text{m} langen Zaun einzäunen kann, ist 100 \ \text{m}^2100m2100 \ \text{m}^2 groß.

Garten mit Maße

Extremwertaufgaben Zusammenfassung

Um eine Extremwertaufgabe zu berechnen, musst du dir die folgenden 666 Schritte merken.

  • Schritt 1: Zielfunktion aufstellen.
  • Schritt 2: Nebenbedingungen formulieren.
  • Schritt 3: Extremalfunktion aufstellen.
  • Schritt 4: Ableitungen bestimmen.
  • Schritt 5: Extremstelle berechnen.
  • Schritt 6: Flächeninhalt A berechnen.
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