Tangentengleichung

Arbeitest du in Mathe gerade mit Ableitungen?

Dann wird dir auch die Tangentengleichung begegnen.

Was ist eine Tangentengleichung und wie stellt man sie auf?

simpleclub erklärt dir, was eine Tangente ist und zeigt dir Schritt für Schritt, wie man eine Tangentengleichung aufstellt.


Tangentengleichung einfach erklärt

An einem Graphen ist eine Gerade (=Tangente) gezeichnet. Der Berührpunkt von Gerade und Graph ist x0 und y0 .

Eine Tangente ist eine Gerade, welche den Graphen einer Funktion f (x)f(x)f (x) an einem bestimmten Punkt P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0}) berührt.

Somit besitzt sie die Gleichung einer linearen Funktion: t (x) = \col[3]{m} \cdot x + \col[4]{b}t(x)=mx+bt (x) = \col[3]{m} \cdot x + \col[4]{b}

Damit die Tangente den Punkt P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0}) lediglich berührt, muss an diesem die Steigung der Tangente der Steigung von dem Funktionsgraphen von f ( x)f(x)f ( x) entsprechen: \col[3]{m} = f'(\col[1]{x_0})m=f(x0)\col[3]{m} = f'(\col[1]{x_0})

Tangente Definition

Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt.

Tangentengleichung bestimmen Vorgehensweise

In der Aufgabenstellung findest du meist folgende Informationen, die du dir zunächst einmal heraussuchst:

  • Funktion f(x)f(x)f(x)
  • Stelle \col[1]{x_0}x0\col[1]{x_0}

Schritt 1: Punkt \large P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)\large P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})

Bestimme zunächst den Punkt P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0}), an dem die Tangente t (x)t(x)t (x)den Funktionsgraphen von f (x)f(x)f (x) berühren soll.

Setze hierzu die bekannte Stelle \col[1]{x_0}x0\col[1]{x_0} in f (x)f(x)f (x) ein und berechne den \large \col[2]{y_0}y0\large \col[2]{y_0} - Wert.

Beachte: Ist der Punkt P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0}) angegeben, so kannst du Schritt 1 überspringen.

Schritt 2: 1. Ableitung von \large f(x)f(x)\large f(x)

Damit du die Steigung \col[3]{m}m\col[3]{m} von der Tangente t (x)t(x)t (x) bestimmen kannst, musst du vorab die 1. Ableitung von f (x)f(x)f (x) bilden.

f'(x) = ...f(x)=...f'(x) = ...

Schritt 3: Steigung \large \col[3]{m}m\large \col[3]{m}

Setze nun \col[1]{x_0 }x0\col[1]{x_0 } in die Ableitung f' (x)f(x)f' (x) ein.

Den Wert, den du erhältst, ist die Steigung \col[3]{m}m\col[3]{m} der Tangente.

Du erhältst:

\implies \col[3]{m} = f' (\col[1]{x_0})m=f(x0)\implies \col[3]{m} = f' (\col[1]{x_0})

Schritt 4: \large yy\large y-Achsenabschnitt \large \col[4]{b}b\large \col[4]{b}

Setze die Koordinaten von Punkt P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0}) und die Steigung \col[3]{m}m\col[3]{m} in die Tangentengleichung t (x)t(x)t (x) ein.

Die entstandene Gleichung formst du anschließend nach \col[4]{b}b\col[4]{b} um.

\begin{aligned} t (\col[1]{x_0}) = \col[3]{m} \cdot \col[1]{x_0} + \col[4]{b} &= \col[2]{y_0} &&\quad | -\col[3]{m} \cdot \col[1]{x_0} \\ \col[4]{b} &= \col[2]{y_0} -\col[3]{m} \cdot \col[1]{x_0} \end{aligned}t(x0)=mx0+b=y0mx0b=y0mx0\begin{aligned} t (\col[1]{x_0}) = \col[3]{m} \cdot \col[1]{x_0} + \col[4]{b} &= \col[2]{y_0} &&\quad | -\col[3]{m} \cdot \col[1]{x_0} \\ \col[4]{b} &= \col[2]{y_0} -\col[3]{m} \cdot \col[1]{x_0} \end{aligned}

Du erhältst:

\implies \col[4]{b} = \col[2]{y_0} -\col[3]{m} \cdot \col[1]{x_0} b=y0mx0\implies \col[4]{b} = \col[2]{y_0} -\col[3]{m} \cdot \col[1]{x_0}

Schritt 5: Tangentengleichung \large t (x)t(x)\large t (x)

Im letzten Schritt setzt du das berechnete \col[3] {m}m\col[3] {m} und \col[4]{b}b\col[4]{b} in die Tangentengleichung ein.

t (x) = \col[3]{m} \cdot x + \col[4]{b}t(x)=mx+bt (x) = \col[3]{m} \cdot x + \col[4]{b}

Beispiel Tangentengleichung bestimmen

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

f (x) = 3 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 8. f(x)=3x2+4x+8.f (x) = 3 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 8.

Bestimme die Tangentengleichung an der Stelle \col[1]{x_0 = 1 }x0=1\col[1]{x_0 = 1 }.

Lösung

Schritt 1: Punkt \large P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)\large P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})

Bestimme zunächst den Punkt P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0})P(x0y0)P (\col[1]{x_0} | \col[2]{y_0}), an dem die Tangente t (x)t(x)t (x)den Funktionsgraphen von f (x)f(x)f (x) berühren soll.

Setze hierzu die bekannte Stelle \col[1]{x_0 = 1}x0=1\col[1]{x_0 = 1} in f (x)f(x)f (x) ein:

\begin{aligned} f (\col[1]{x_0}) &= f (\col[1]{1}) \\ &= 3 \cdot \col[1]{1}^2 + 4 \cdot \col[1]{1} + 8 \\&= \col[2]{15} \end{aligned}f(x0)=f(1)=312+41+8=15\begin{aligned} f (\col[1]{x_0}) &= f (\col[1]{1}) \\ &= 3 \cdot \col[1]{1}^2 + 4 \cdot \col[1]{1} + 8 \\&= \col[2]{15} \end{aligned}

Du erhältst:

\implies P (\col[1]{1} | \col[2]{15})P(115)\implies P (\col[1]{1} | \col[2]{15})

Schritt 2: 1. Ableitung von \large f (x)f(x)\large f (x)

Damit du die Steigung \col[3]{m}m\col[3]{m} berechnen kannst, musst du zunächst die 1. Ableitung von f (x)f(x)f (x) bestimmen:

f'(x) = 6 \cdot x + 4f(x)=6x+4f'(x) = 6 \cdot x + 4

Schritt 3: Steigung \large \col[3]{m}m\large \col[3]{m}

Setze nun \col[1]{x_0 = 1}x0=1\col[1]{x_0 = 1} in die Ableitung f' (x)f(x)f' (x) ein.

Der Wert, den du erhältst, ist die Steigung \col[3]{m}m\col[3]{m} der Tangente.

\begin{aligned} f' (\col[1]{x_0}) &= f' (\col[1]{1}) \\ &= 6 \cdot \col[1]{1} + 4 \\ &= \col[3]{10} \end{aligned}f(x0)=f(1)=61+4=10\begin{aligned} f' (\col[1]{x_0}) &= f' (\col[1]{1}) \\ &= 6 \cdot \col[1]{1} + 4 \\ &= \col[3]{10} \end{aligned}

Du erhältst:

\implies \col[3]{m = 10}m=10\implies \col[3]{m = 10}

Schritt 4: \large yy\large y-Achsenabschnitt \large \col[4]{b}b\large \col[4]{b}

Setze die Koordinaten des Punktes P (\col[1]{1} | \col[2]{15})P(115)P (\col[1]{1} | \col[2]{15}) und die Steigung \col[3]{m = 10}m=10\col[3]{m = 10} in die Tangentengleichung t (x)t(x)t (x) ein.

Forme anschließend die Gleichung nach \col[4]{b}b\col[4]{b} um.

\begin{aligned} t (\col[1]{x_0}) = \col[3]{m} \cdot \col[1]{x_0} + \col[4]{b} &= \col[2]{y_0} \\ \col[3]{10} \cdot \col[1]{1} + \col[4]{b} &= \col[2]{15} \\ 10 + \col[4]{b} &= \col[2]{15} && \quad | - 10\\ \col[4]{b} &= \col[4]{5} \end{aligned}t(x0)=mx0+b=y0101+b=1510+b=1510b=5\begin{aligned} t (\col[1]{x_0}) = \col[3]{m} \cdot \col[1]{x_0} + \col[4]{b} &= \col[2]{y_0} \\ \col[3]{10} \cdot \col[1]{1} + \col[4]{b} &= \col[2]{15} \\ 10 + \col[4]{b} &= \col[2]{15} && \quad | - 10\\ \col[4]{b} &= \col[4]{5} \end{aligned}

Du erhältst:

\implies \col[4]{b = 5} b=5\implies \col[4]{b = 5}

Schritt 5: Tangentengleichung \large t (x)t(x)\large t (x)

Im letzten Schritt setzt du das berechnete \col[3] {m}m\col[3] {m} und \col[4]{b}b\col[4]{b} in die Tangentengleichung

t (x) = \col[3]{m} \cdot x + \col[4]{b}t(x)=mx+bt (x) = \col[3]{m} \cdot x + \col[4]{b}

ein.

Du erhältst:

\implies \lsg {t (x) = \col[3]{10} \cdot x + \col[4]{5}}t(x)=10x+5\implies \lsg {t (x) = \col[3]{10} \cdot x + \col[4]{5}}
Zu sehen ist der Funktionsgraph, sowie die zugehörige Tangente, die genau die Gleichung der Tangente beschreibt.
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