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Normalenform einer Ebene

Beschäftigst du dich in Mathe gerade mit der Vektorgeometrie und mit Ebenen? Dann wirst du Vektoren kennenlernen, die senkrecht zu Ebenen stehen.

Wie du eine solche Normalenform aufstellen kannst, zeigt dir simpleclub.

Normalenform einer Ebene einfach erklärt

Der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht.

Er entsteht durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren.

Auf der Grafik siehst du eine Ebene im dreidimensionalen Koordinatensystem. Auf dieser steht ein Vektor senkrecht bzw. orthogonal, dies ist der Normalenvektor.

Parameterform in Normalenform umwandeln

E:\vec{x}=\vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}E:x⃗=p⃗+r⋅u⃗+s⋅v⃗E:\vec{x}=\vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}

Schritt 1: Kreuzprodukt der Spannvektoren berechnen

\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}n⃗=u⃗×v⃗\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}

Schritt 2: Normalenvektor und Stützvektor in Normalenform einsetzen

E:~\vec{n}\cdot\left(\vec{x}-\vec{p}\right)=0E:n⃗⋅(x⃗−p⃗)=0E:~\vec{n}\cdot\left(\vec{x}-\vec{p}\right)=0

Normalenform von Ebenen Definition

Eine Ebene im Raum lässt sich durch einen Normalenvektor und einen Stützvektor beschreiben.

E:~\textcolor{sc_color_3} { \vec{n} }\cdot\left(\vec{x}-\textcolor{sc_color_7} { \vec{p} }\right)=0E:n⃗⋅(x⃗−p⃗)=0E:~\textcolor{#DD2238} { \vec{n} }\cdot\left(\vec{x}-\textcolor{#128440} { \vec{p} }\right)=0\textcolor{sc_color_7} {\vec{p}=\textit{Stützvektor}}p⃗=Stu¨tzvektor\textcolor{#128440} {\vec{p}=\textit{Stützvektor}}\textcolor{sc_color_3} {\vec{n}=\textit{Normalenvektor}}n⃗=Normalenvektor\textcolor{#DD2238} {\vec{n}=\textit{Normalenvektor}}

Normalenform einer Ebene Beispiel

Wandle folgende Ebene von der Parameterform in die Normalenform um.

E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}E:x⃗=(713)+r⋅(23−4)+s⋅(741)E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Schritt 1: Kreuzprodukt der Spannvektoren berechnen

\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ (-4) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}u⃗×v⃗=(23(−4))×(741)\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ (-4) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3\cdot 1 - (-4)\cdot 4 \\ (-4)\cdot 7 - 2\cdot 1 \\ 2\cdot 4 - 3\cdot 7 \end{pmatrix}=(3⋅1−(−4)⋅4(−4)⋅7−2⋅12⋅4−3⋅7)= \begin{pmatrix} 3\cdot 1 - (-4)\cdot 4 \\ (-4)\cdot 7 - 2\cdot 1 \\ 2\cdot 4 - 3\cdot 7 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 19 \\ -30 \\ -13 \end{pmatrix}=(19−30−13)= \begin{pmatrix} 19 \\ -30 \\ -13 \end{pmatrix}

Schritt 2: Normalenvektor und Stützvektor in Normalenform einsetzen

E:~\begin{pmatrix} 19 \\ -30 \\ -13 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\right)=0E:(19−30−13)⋅(x⃗−(713))=0E:~\begin{pmatrix} 19 \\ -30 \\ -13 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\right)=0
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