Eine Gerade lässt sich nur im zweidimensionalen Raum als Normalenform darstellen, da es im dreidimensionalen Raum keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Parameterform in Normalenform umwandeln

g:\vec{x}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}

g:\vec{x}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}

Schritt 1: Parameterform in Gleichungssystem umschreiben.

x=p_1+r\cdot u_1 \\ y=p_2+r\cdot u_2

x=p_1+r\cdot u_1 \\ y=p_2+r\cdot u_2

Schritt 2: Eine Gleichung nach dem Parameter umstellen.

r=\frac{x-p_1}{u_1}

r=\frac{x-p_1}{u_1}

Schritt 3: In andere Gleichung einsetzen und Koordinatenform aufstellen.

y=p_2+\frac{x-p_1}{u_1}\cdot u_2

y=p_2+\frac{x-p_1}{u_1}\cdot u_2

y=p_2+\frac{u_2}{u_1}\cdot x-\frac{p_1u_2}{u_1}

y=p_2+\frac{u_2}{u_1}\cdot x-\frac{p_1u_2}{u_1}

g:~-\frac{u_2}{u_1}\cdot x + y = p_2-\frac{p_1u_2}{u_1}

g:~-\frac{u_2}{u_1}\cdot x + y = p_2-\frac{p_1u_2}{u_1}

Schritt 4: Normalenvektor ablesen.

\vec{n}=\begin{pmatrix}-\frac{u_2}{u_1} \\ 1\end{pmatrix}

\vec{n}=\begin{pmatrix}-\frac{u_2}{u_1} \\ 1\end{pmatrix}

Schritt 5: Normalenvektor und Stützvektor einsetzen in Normalenform.

g:~\begin{pmatrix} -\frac{u_2}{u_1} \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}\right)=0

g:~\begin{pmatrix} -\frac{u_2}{u_1} \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}\right)=0

Falls die Gerade bereits in Koordinatenform gegeben ist, startest du bei Schritt 4 und suchst dir für den Stützvektor einen beliebigen Punkt, der auf der Geraden liegt.

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Normalenform Beispiel

Wandle die folgende Gerade von der Parameterform in die Normalenform um!

h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}

h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Schritt 1: Parameterform in Gleichungssystem umschreiben.

x=3+2r \\ y=-5+r

x=3+2r \\ y=-5+r

Schritt 2: Eine Gleichung nach dem Parameter umstellen.

r=\frac{x-3}{2}

r=\frac{x-3}{2}

Schritt 3: In andere Gleichung einsetzen und Koordinatenform aufstellen.

y=-5+\frac{x-3}{2}

y=-5+\frac{x-3}{2}

y=-5+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2} \ \ \ \ |\cdot2

y=-5+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2} \ \ \ \ |\cdot2

2y=-10+x-3 \ \ \ \ |-x

2y=-10+x-3 \ \ \ \ |-x

h:~- x +2 y = -13

h:~- x +2 y = -13

Schritt 4: Normalenvektor ablesen.

\vec{n}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}

\vec{n}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}

Schritt 5: Normalenvektor und Stützvektor einsetzen in Normalenform.

h:~\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\right)=0

h:~\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\right)=0

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Normalenform einer Gerade