Normalenform einer Gerade

Lernst du in Mathe momentan Geraden in zweidimensionalen Räumen kennen?

Dann sollst du sicherlich auch Geraden in der Normalenform aufstellen können.

Wie das funktioniert, zeigt dir simpleclub.


Normalenform einfach erklärt

Normalenform Definition

Eine Gerade im zweidimensionalen Raum lässt sich durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor beschreiben.

g:~\textcolor{sc_color_4} {\vec{n}}\cdot\left(\vec{x}-\textcolor{sc_color_5} {\vec{p}}\right)=0g:n(xp)=0g:~\textcolor{#00856C} {\vec{n}}\cdot\left(\vec{x}-\textcolor{#A86500} {\vec{p}}\right)=0\textcolor{sc_color_5} { \vec{p} = \textit{Stützvektor} }p=Stu¨tzvektor\textcolor{#A86500} { \vec{p} = \textit{Stützvektor} }\textcolor{sc_color_4} { \vec{n} = \textit{Normalenvektor} }n=Normalenvektor\textcolor{#00856C} { \vec{n} = \textit{Normalenvektor} }

Normalenform Besonderheit

Eine Gerade lässt sich nur im zweidimensionalen Raum als Normalenform darstellen, da es im dreidimensionalen Raum keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Parameterform in Normalenform umwandeln

g:\vec{x}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}g:x=p+rug:\vec{x}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}g:\vec{x}=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}g:x=(p1p2)+r(u1u2)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}

Schritt 1: Parameterform in Gleichungssystem umschreiben.

x=p_1+r\cdot u_1 \\ y=p_2+r\cdot u_2x=p1+ru1y=p2+ru2x=p_1+r\cdot u_1 \\ y=p_2+r\cdot u_2

Schritt 2: Eine Gleichung nach dem Parameter umstellen.

r=\frac{x-p_1}{u_1}r=xp1u1r=\frac{x-p_1}{u_1}

Schritt 3: In andere Gleichung einsetzen und Koordinatenform aufstellen.

y=p_2+\frac{x-p_1}{u_1}\cdot u_2y=p2+xp1u1u2y=p_2+\frac{x-p_1}{u_1}\cdot u_2y=p_2+\frac{u_2}{u_1}\cdot x-\frac{p_1u_2}{u_1}y=p2+u2u1xp1u2u1y=p_2+\frac{u_2}{u_1}\cdot x-\frac{p_1u_2}{u_1}g:~-\frac{u_2}{u_1}\cdot x + y = p_2-\frac{p_1u_2}{u_1}g:u2u1x+y=p2p1u2u1g:~-\frac{u_2}{u_1}\cdot x + y = p_2-\frac{p_1u_2}{u_1}

Schritt 4: Normalenvektor ablesen.

\vec{n}=\begin{pmatrix}-\frac{u_2}{u_1} \\ 1\end{pmatrix}n=(u2u11)\vec{n}=\begin{pmatrix}-\frac{u_2}{u_1} \\ 1\end{pmatrix}

Schritt 5: Normalenvektor und Stützvektor einsetzen in Normalenform.

g:~\begin{pmatrix} -\frac{u_2}{u_1} \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}\right)=0g:(u2u11)(x(p1p2))=0g:~\begin{pmatrix} -\frac{u_2}{u_1} \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}\right)=0

Falls die Gerade bereits in Koordinatenform gegeben ist, startest du bei Schritt 4 und suchst dir für den Stützvektor einen beliebigen Punkt, der auf der Geraden liegt.


Normalenform Beispiel

Wandle die folgende Gerade von der Parameterform in die Normalenform um!

h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}h:x=(35)+r(21)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Schritt 1: Parameterform in Gleichungssystem umschreiben.

x=3+2r \\ y=-5+rx=3+2ry=5+rx=3+2r \\ y=-5+r

Schritt 2: Eine Gleichung nach dem Parameter umstellen.

r=\frac{x-3}{2}r=x32r=\frac{x-3}{2}

Schritt 3: In andere Gleichung einsetzen und Koordinatenform aufstellen.

y=-5+\frac{x-3}{2}y=5+x32y=-5+\frac{x-3}{2}y=-5+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2} \ \ \ \ |\cdot2y=5+12x322y=-5+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2} \ \ \ \ |\cdot22y=-10+x-3 \ \ \ \ |-x2y=10+x3x2y=-10+x-3 \ \ \ \ |-xh:~- x +2 y = -13h:x+2y=13h:~- x +2 y = -13

Schritt 4: Normalenvektor ablesen.

\vec{n}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}n=(12)\vec{n}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}

Schritt 5: Normalenvektor und Stützvektor einsetzen in Normalenform.

h:~\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\right)=0h:(12)(x(35))=0h:~\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\right)=0
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