Lineare Abhängigkeit

Beschäftigst du dich im Matheunterricht gerade mit dem Thema analytische Geometrie und rechnest mit Vektoren? Dann wird dir vielleicht auch der Begriff lineare Abhängigkeit beziehungsweise lineare Unabhängigkeit begegnen.

Wie du erkennst, wann Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind, erklärt dir simpleclub.


Lineare Abhängigkeit einfach erklärt

Vektoren sind linear unabhängig, wenn die Vektoren nicht linear abhängig sind. Es gilt:

\lambda_1\cdot\vec{v_1}+\lambda_2\cdot\vec{v_2}+...+\lambda_n\cdot\vec{v_n}\neq\vec{0}λ1v1+λ2v2+...+λnvn0\lambda_1\cdot\vec{v_1}+\lambda_2\cdot\vec{v_2}+...+\lambda_n\cdot\vec{v_n}\neq\vec{0}

Der Fall, dass alle λ gleich Null sind, wird ausgeschlossen.

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit Definition

Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie über eine Linearkombination den Nullvektor darstellen können.

\lambda_1\cdot\vec{v_1}+\lambda_2\cdot\vec{v_2}+...+\lambda_n\cdot\vec{v_n}=\vec{0}λ1v1+λ2v2+...+λnvn=0\lambda_1\cdot\vec{v_1}+\lambda_2\cdot\vec{v_2}+...+\lambda_n\cdot\vec{v_n}=\vec{0}

Dabei schließen wir aber aus, dass für λ nur Nullen eingesetzt werden. Mindestens ein λ muss ungleich Null sein.

Vektoren sind linear unabhängig, wenn die Vektoren nicht linear abhängig sind. Es gilt:

\lambda_1\cdot\vec{v_1}+\lambda_2\cdot\vec{v_2}+...+\lambda_n\cdot\vec{v_n}\neq\vec{0}λ1v1+λ2v2+...+λnvn0\lambda_1\cdot\vec{v_1}+\lambda_2\cdot\vec{v_2}+...+\lambda_n\cdot\vec{v_n}\neq\vec{0}

Der Fall, dass alle λ gleich Null sind, wird ausgeschlossen.

Lineare Abhängigkeit Besonderheit

Eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor beinhaltet, ist immer linear abhängig.

Vorgehensweise lineare Abhängigkeit bei zwei Vektoren

Bei zwei Vektoren (ohne Nullvektor) kannst du die lineare Abhängigkeit überprüfen, indem du checkst, ob ein Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors ist.

\vec{a}=\lambda\cdot\vec{b}a=λb\vec{a}=\lambda\cdot\vec{b}

Du suchst also ein λ, für dass der eine Vektor sich durch den anderen darstellen lässt.

Findest du keins, sind die Vektoren linear unabhängig.


Beispiele lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Beispiele für lineare Abhängigkeit

Überprüfe die Vektoren auf lineare Abhängigkeit.

\vec{a}=\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix};\vec{b}=\begin{pmatrix}8 \\ 4 \\ -4\end{pmatrix}a=(211);b=(844)\vec{a}=\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix};\vec{b}=\begin{pmatrix}8 \\ 4 \\ -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \lambda\cdot\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}(211)=λ(844)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \lambda\cdot\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\implies \underline{\underline{\lambda=\frac{1}{4}}}λ=14\implies \underline{\underline{\lambda=\frac{1}{4}}}

Es wurde ein eindeutiges λ gefunden. Damit sind die Vektoren Vielfache voneinander und linear abhängig.

Überprüfe die Vektoren auf lineare Abhängigkeit.

\vec{c}=\begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ 15\end{pmatrix};\vec{d}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}c=(5015);d=(103)\vec{c}=\begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ 15\end{pmatrix};\vec{d}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} = \lambda\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}(5015)=λ(103)\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} = \lambda\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\implies \underline{\underline{\lambda=5}}λ=5\implies \underline{\underline{\lambda=5}}

Es wurde ein eindeutiges λ gefunden. Damit sind die Vektoren Vielfache voneinander und linear abhängig.

Beispiel für lineare Unabhängigkeit

Überprüfe die Vektoren auf lineare Abhängigkeit.

\vec{e}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix};\vec{f}=\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}e=(102);f=(312)\vec{e}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix};\vec{f}=\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \lambda\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}(102)=λ(312)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \lambda\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\textit{I.)}~~~~1=3\lambda \implies \lambda=\frac{1}{3}I.)1=3λλ=13\textit{I.)}~~~~1=3\lambda \implies \lambda=\frac{1}{3}\textit{II.)}~~~0=1\lambda \implies \lambda=0II.)0=1λλ=0\textit{II.)}~~~0=1\lambda \implies \lambda=0\textit{III.)}~~2=2\lambda \implies \lambda=1III.)2=2λλ=1\textit{III.)}~~2=2\lambda \implies \lambda=1

Es konnte kein eindeutiges λ gefunden werden. Damit sind die Vektoren linear unabhängig.

Beispiel mit Nullvektor

Überprüfe die Vektoren auf lineare Abhängigkeit.

\vec{g}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 8\end{pmatrix};\vec{h}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}g=(128);h=(000)\vec{g}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 8\end{pmatrix};\vec{h}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}

Einer der Vektoren ist der Nullvektor, daher sind die Vektoren linear abhängig.

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