Kreuzprodukt

Wenn du dich in Mathe mit der analytischen Geometrie und Vektoren beschäftigst, wird dir wahrscheinlich der Begriff Kreuzprodukt begegnen.

Das Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt genannt, findet in der Mathematik vielfältige Anwendung. Da du es in sehr vielen Kontexten benötigst, solltest du auf jeden Fall darüber Bescheid wissen.

Was es mit diesem besonderen Produkt auf sich hat und wie du es berechnest, zeigt dir simpleclub!


Kreuzprodukt einfach erklärt

Das Kreuzprodukt findet in der Geometrie in vielen Fällen Anwendung. Aus diesem Grund solltest du unbedingt über die Berechnung des Kreuzprodukts Bescheid wissen.

  • Allgemein erzeugt das Kreuzprodukt einen neuen Vektor.
  • Das Ergebnis muss also auch immer ein Vektor sein.
  • Aus diesem Grund wird es auch häufig als Vektorprodukt bezeichnet.
  • Der durch das Kreuzprodukt erzeugte Vektor steht senkrecht auf die beiden Vektoren, die du beim Kreuzprodukt multiplizierst.

Kreuzprodukt Definition

Das Kreuzprodukt ist ein Vektor, der senkrecht zu den beiden Ausgangsvektoren steht.

Ein Kreuzprodukt kannst du folgendermaßen berechnen:

\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}a×b=(x1x2x3)×(y1y2y3)\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_2\cdot y_3 - x_3\cdot y_2 \\ x_3\cdot y_1 - x_1\cdot y_3 \\ x_1\cdot y_2 - x_2\cdot y_1 \end{pmatrix}=(x2y3x3y2x3y1x1y3x1y2x2y1)= \begin{pmatrix} x_2\cdot y_3 - x_3\cdot y_2 \\ x_3\cdot y_1 - x_1\cdot y_3 \\ x_1\cdot y_2 - x_2\cdot y_1 \end{pmatrix}

Kreuzprodukt Darstellung

Wie du in dem Bild sehen kannst, wurde hier das Kreuzprodukt der Vektoren \vec aa\vec a und \vec bb\vec b gebildet.

Das Ergebnis ist wieder ein Vektor \vec a \times \vec ba×b\vec a \times \vec b, der auf beide Vektoren senkrecht steht.

Auf der Grafik ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren zu sehen. Dies ist geometrisch gesehen ein Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht.

Merke dir also, dass das Ergebnis des Kreuzprodukts immer ein Vektor sein muss.

Kreuzprodukt Berechnung

Das Kreuzprodukt von zwei allgemeinen Vektoren wird so geschrieben:

\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}a×b=(x1x2x3)×(y1y2y3)\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}

Die Berechnung des Kreuzpodukts ist prinzipiell nicht ganz einfach aufzuschreiben. Allgemein sieht die Rechnung wie folgt aus:

\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}a×b=(x1x2x3)×(y1y2y3)\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_2\cdot y_3 - x_3\cdot y_2 \\ x_3\cdot y_1 - x_1\cdot y_3 \\ x_1\cdot y_2 - x_2\cdot y_1 \end{pmatrix}=(x2y3x3y2x3y1x1y3x1y2x2y1)= \begin{pmatrix} x_2\cdot y_3 - x_3\cdot y_2 \\ x_3\cdot y_1 - x_1\cdot y_3 \\ x_1\cdot y_2 - x_2\cdot y_1 \end{pmatrix}

Um dies aber nicht auswendig lernen zu müssen, gibt es einen Trick. Du kannst dir zur Berechnung des Kreuzprodukts einfach folgendes Schema merken.

Schema zur Berechnung des Kreuzprodukts

Am Besten lässt sich das Schema direkt an einem Beispiel verdeutlichen.

Wir berechnen das folgende Kreuzprodukt.

\vec{{a}}\times\vec{{b}}=\begin{pmatrix} {1} \\ {2} \\ {3} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {-2} \\ {1} \\ {-1} \end{pmatrix}a×b=(123)×(211)\vec{{a}}\times\vec{{b}}=\begin{pmatrix} {1} \\ {2} \\ {3} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {-2} \\ {1} \\ {-1} \end{pmatrix}

Schritt 1

Als 1.1.1. Schritt schreibst du die beiden Vektoren einfach zweimal untereinander.

Bewege den Regler um 1 nach rechts.

Schritt 2

Als zweiten Schritt musst du nun drei Kreuze zwischen jeweils zwei Zeilen einzeichnen.

Du beginnst mit der 2.2.2. Zeile und endest in der 555 Zeile. Die oberste und die unterste Zeile bleiben also übrig.

Dies siehst du in der Animation.

Bewege den Regler um 1 nach rechts.

Du verbindest also

  • x_2x2x_2 mit y_3y3y_3
  • x_3x3x_3 mit y_2y2y_2
  • x_3x3x_3 mit y_1y1y_1
  • x_1x1x_1 mit y_3y3y_3
  • x_1x1x_1 mit y_2y2y_2
  • x_2x2x_2 mit y_1y1y_1

Schritt 3

Du musst nun den 333 Kreuzen nachgehen.

Entlang der orangenen Verbindungen multiplizierst du und schreibst die Ergebnisse in deinen Ergebnisvektor. Lass noch etwas Platz, denn nun multiplizierst du entlang der blauen Verbindungen und ziehst diese Ergebnisse von den bereits notierten ab. Achte darauf, dass du jeweils von oben nach unten vorgehst!

  • Das 1.1.1. Kreuz ergibt dabei die 1.1.1. Koordinate des Ergebnisses.

  • Das 2.2.2. Kreuz ergibt dabei die 2.2.2. Koordinate des Ergebnisses.

  • Das 3.3.3. Kreuz ergibt dabei die 3.3.3. Koordinate des Ergebnisses.

Du musst immer rechnen:

Schiebe den Regle rum 1 nach rechts.

(links oben $ \cdot $ rechts unten) -- (links unten $\cdot $ rechts oben)

Schritt 4

Du musst im letzten Schritt nur noch die einzelnen Koordinaten zusammenrechnen.

Schiebe den Regle rum 1 nach rechts.
  • Achte dabei besonders auf die Vorzeichen, denn hier passieren häufig Fehler.
  • Am Besten berechnest du dieses Schema in der Klausur in einer Nebenrechnung auf deinem Blatt.
  • Die eigentliche Rechnung kannst du dann normal auf dein Blatt aufschreiben.
\begin{aligned} \vec{{a}}\times\vec{{b}}&=\begin{pmatrix} {1} \\ {2} \\ {3} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {-2} \\ {1} \\ {-1} \end{pmatrix} \\[2mm] &=\begin{pmatrix} {\col[5]{2 \cdot (-1)} - \col[2]{3 \cdot 1}} \\ \col[5]{3\cdot (-2)} - \col[2]{1 \cdot (-1)} \\ \col[5]{1 \cdot 1} - \col[2]{2 \cdot (-2)} \end{pmatrix} \\[2mm] &=\begin{pmatrix} {\col[5]{-2}-\col[2]{3}} \\ \col[5]{-6}-\col[2]{(-1)} \\ \col[5]{1}-\col[2]{(-4)} \end{pmatrix} \\[2mm] &=\begin{pmatrix} {-5} \\ -5\\ 5 \end{pmatrix} \end{aligned}a×b=(123)×(211)=(2(1)313(2)1(1)112(2))=(236(1)1(4))=(555)\begin{aligned} \vec{{a}}\times\vec{{b}}&=\begin{pmatrix} {1} \\ {2} \\ {3} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {-2} \\ {1} \\ {-1} \end{pmatrix} \\[2mm] &=\begin{pmatrix} {\col[5]{2 \cdot (-1)} - \col[2]{3 \cdot 1}} \\ \col[5]{3\cdot (-2)} - \col[2]{1 \cdot (-1)} \\ \col[5]{1 \cdot 1} - \col[2]{2 \cdot (-2)} \end{pmatrix} \\[2mm] &=\begin{pmatrix} {\col[5]{-2}-\col[2]{3}} \\ \col[5]{-6}-\col[2]{(-1)} \\ \col[5]{1}-\col[2]{(-4)} \end{pmatrix} \\[2mm] &=\begin{pmatrix} {-5} \\ -5\\ 5 \end{pmatrix} \end{aligned}

Kreuzprodukt Sonderfall

Falls zwei Vektoren Vielfache voneinander sind, so erhältst du als Kreuzprodukt den Nullvektor.


Kreuzprodukt Beispiele

Standardbeispiel mit positiven Zahlen

\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}a×b=(214)×(327)\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\cdot 7 - 4\cdot 2 \\ 4\cdot 3 - 2\cdot 7 \\ 2\cdot 2 - 1\cdot 3 \end{pmatrix}=(174243272213)= \begin{pmatrix} 1\cdot 7 - 4\cdot 2 \\ 4\cdot 3 - 2\cdot 7 \\ 2\cdot 2 - 1\cdot 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}=(121)= \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}

Standardbeispiel mit positiven und negativen Zahlen

\vec{c}\times\vec{d}=\begin{pmatrix} 2 \\ (-4) \\ (-7) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ (-10) \\ 8 \end{pmatrix}c×d=(2(4)(7))×(2(10)8)\vec{c}\times\vec{d}=\begin{pmatrix} 2 \\ (-4) \\ (-7) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ (-10) \\ 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (-4)\cdot 8 - (-7)\cdot (-10) \\ (-7)\cdot 2 - 2\cdot 8 \\ 2\cdot (-10) - (-4)\cdot 2 \end{pmatrix}=((4)8(7)(10)(7)2282(10)(4)2)= \begin{pmatrix} (-4)\cdot 8 - (-7)\cdot (-10) \\ (-7)\cdot 2 - 2\cdot 8 \\ 2\cdot (-10) - (-4)\cdot 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -102 \\ -30 \\ -12 \end{pmatrix}=(1023012)= \begin{pmatrix} -102 \\ -30 \\ -12 \end{pmatrix}

Kreuzprodukt = Nullvektor

\vec{e}\times\vec{f}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 14 \end{pmatrix}e×f=(147)×(2814)\vec{e}\times\vec{f}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 14 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4\cdot 14 - 7\cdot 8 \\ 7\cdot 2 - 1\cdot 14 \\ 1\cdot 8 - 4\cdot 2 \end{pmatrix}=(41478721141842)= \begin{pmatrix} 4\cdot 14 - 7\cdot 8 \\ 7\cdot 2 - 1\cdot 14 \\ 1\cdot 8 - 4\cdot 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=(000)= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Die beiden Vektoren sind Vielfache mit dem Faktor 222. Daher erhältst du als Ergebnis des Kreuzprodukts den Nullvektor.

Kreuzprodukt Zusammenfassung

Für das Kreuzprodukt gilt:

  • Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist immer ein Vektor.
  • Dieser Vektor steht senkrecht auf die Vektoren des Kreuzprodukts.
Auf der Grafik ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren zu sehen. Dies ist geometrisch gesehen ein Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht.
  • Die Berechnung erfolgt nach Folgendem Schema.
Grafik - Zu sehen ist das Kreuzungsschema. Dabei wurden x1, x2, x3 auf der einen Seite zwei mal untereinander geschrieben und daneben y1, y2 und y3 ebenfalls zweimal untereinander geschrieben. In blau wurden x2 und y3, x3 und y1 sowie x1 und y2 verbunden. In orange wurden x3 und y2, x1 und y3 sowie x2 und y1 verbunden. Die erste und die letzte Zeile bleibt ohne Verbindung.

Ausgeschrieben rechnest du also:

\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}a×b=(x1x2x3)×(y1y2y3)\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_2\cdot y_3 - x_3\cdot y_2 \\ x_3\cdot y_1 - x_1\cdot y_3 \\ x_1\cdot y_2 - x_2\cdot y_1 \end{pmatrix}=(x2y3x3y2x3y1x1y3x1y2x2y1)= \begin{pmatrix} x_2\cdot y_3 - x_3\cdot y_2 \\ x_3\cdot y_1 - x_1\cdot y_3 \\ x_1\cdot y_2 - x_2\cdot y_1 \end{pmatrix}
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