Winkel zwischen Vektoren

Du hast in Mathe gerade das Thema Vektorgeometrie?

Dann werden dir Vektoren begegnen, die sich schneiden. Dadurch entsteht ein Winkel zwischen zwei Vektoren, den du auch in Klausuren und Tests zum Thema Vektorgeometrie berechnen können solltest.

Wie das funktioniert, erklärt dir simpleclub!


Winkel zwischen Vektoren berechnen einfach erklärt

Winkel zwischen zwei Vektoren Definition

Den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnest du mit dieser Gleichung:

cos~\alpha=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}cosα=ababcos~\alpha=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}
Auf der Grafik ist der Winkel zwischen zwei Vektoren eingezeichnet.

Die Gleichung zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren leitet sich aus dem Skalarprodukt ab. Du kannst sie ferner auch für den Schnittwinkel zweier Geraden oder zweier Ebenen verwenden.

Achtung! Setze immer die gesamte Gleichung in Betragsstriche!

Winkel zwischen Vektoren berechnen Besonderheiten

Wenn du das Skalarprodukt zweier Vektoren regulär ausrechnest, kannst du damit bereits Aussagen über den Winkel zwischen diesen Vektoren treffen.

Falls das Skalarprodukt = 0, so stehen die Vektoren im rechten Winkel (90°) zueinander. Man nennt diese Vektoren dann auch orthogonal.

\vec{a}\cdot\vec{b}= 0ab=0\vec{a}\cdot\vec{b}= 0

Falls das **Skalarprodukt < 0**, so stehen die Vektoren im **stumpfen Winkel** (> 90°) zueinander.

\vec{a}\cdot\vec{b}<0ab<0\vec{a}\cdot\vec{b}<0

Falls das Skalarprodukt > 0, so stehen die Vektoren im spitzen Winkel (< 90°) zueinander.

\vec{a}\cdot\vec{b}>0ab>0\vec{a}\cdot\vec{b}>0

Winkel zwischen Vektoren berechnen Beispiele

Standardbeispiel

Sei

\vec{a}=\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix};\vec{b}=\begin{pmatrix}3 \\ 5 \\ 7\end{pmatrix}a=(241);b=(357)\vec{a}=\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix};\vec{b}=\begin{pmatrix}3 \\ 5 \\ 7\end{pmatrix}

Dann gilt:

cos~\alpha=\frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}}{|\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}|}cosα=(241)(357)(241)(357)cos~\alpha=\frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}}{|\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}|}=\frac{33}{41,749}=3341,749=\frac{33}{41,749}\Rightarrow \alpha=arccos(\frac{33}{41,749})α=arccos(3341,749)\Rightarrow \alpha=arccos(\frac{33}{41,749})\alpha=37,77°α=37,77°\alpha=37,77°

Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt demzufolge 37,77°.

Aussage mittels Skalarprodukt

Sei

\vec{c}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix};\vec{d}=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}c=(113);d=(121)\vec{c}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix};\vec{d}=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}

Dann gilt:

\begin{pmatrix} (-1) \\ 1 \\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ (-2) \\ 1\end{pmatrix} = (-1)\cdot1 + 1\cdot(-2) + 3\cdot1 = \underline{\underline{0}}((1)13)(1(2)1)=(1)1+1(2)+31=0\begin{pmatrix} (-1) \\ 1 \\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ (-2) \\ 1\end{pmatrix} = (-1)\cdot1 + 1\cdot(-2) + 3\cdot1 = \underline{\underline{0}}

Die Vektoren stehen demzufolge orthogonal zueinander.

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