Skalarprodukt

Wenn du dich in Mathe mit der analytischen Geometrie und Vektoren beschäftigst, sollst du auch das Produkt zweier Vektoren berechnen können.

Aber kann man überhaupt das Produkt zweier Vektoren berechnen? Die Antwort lautet ja. Genau genommen gibt es sogar zwei Produkte zwischen Vektoren. Zum einen das Kreuzprodukt und zum anderen das Skalarprodukt.

Wie du das Skalarprodukt berechnest und wofür du es benötigst, zeigt dir simpleclub!

Skalarprodukt Vektoren einfach erklärt

Das Skalarprodukt ist eines der wichtigsten mathematischen Operationen der Vektorgeometrie. Wie du in den Aufgaben zu diesem Thema feststellen wirst, findet es vielseitige Anwendungen.

Für das Skalarprodukt gilt im Allgemeinen:

  • Das Ergebnis ist immer eine einfache Zahl und kein Vektor.
  • Eine Zahl wird in der Vektorgeometrie auch als Skalar bezeichnet, deshalb der Name Skalarprodukt.
  • Zwei Vektoren stehen dann senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt zwischen ihnen 000 ist.

Skalarprodukt Vektoren Definition

Mit dem Skalarprodukt kannst du das Produkt zweier Vektoren berechnen.

\vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} \col[1]{a_1} \\ \col[2]{a_2} \\ \col[3]{a_3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \col[1]{b_1} \\ \col[2]{b_2} \\ \col[3]{b_3}\end{pmatrix} = \col[1]{a_1b_1}+\col[2]{a_2b_2}+\col[3]{a_3b_3}ab=(a1a2a3)(b1b2b3)=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} \col[1]{a_1} \\ \col[2]{a_2} \\ \col[3]{a_3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \col[1]{b_1} \\ \col[2]{b_2} \\ \col[3]{b_3}\end{pmatrix} = \col[1]{a_1b_1}+\col[2]{a_2b_2}+\col[3]{a_3b_3}

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist also nichts anderes, als die Summe der Zeilenprodukte. Als Ergebnis erhältst du immer eine Zahl.


Skalarprodukt Erklärung

Um zwei Vektoren nun mithilfe des Skalarprodukts zu multiplizieren, musst du folgendes tun:

  • Du musst die einzelnen Komponenten von \vec aa\vec a mit den gleichen Komponenten von \vec bb\vec b multiplizieren.

  • Die Ergebnisse musst du anschließend alle zusammenaddieren.

Beispielsweise lässt sich das Skalarprodukt von den Vektoren

\begin{aligned} \vec a =&\begin{pmatrix} \col[1]1 \\ \col[2]2\\ \col[3]3 \end{pmatrix} \text{ und } \vec b= \begin{pmatrix} \col[1]0 \\ \col[2]3\\ \col[3]{4} \end{pmatrix} \end{aligned}a=(123) und b=(034)\begin{aligned} \vec a =&\begin{pmatrix} \col[1]1 \\ \col[2]2\\ \col[3]3 \end{pmatrix} \text{ und } \vec b= \begin{pmatrix} \col[1]0 \\ \col[2]3\\ \col[3]{4} \end{pmatrix} \end{aligned}

wie folgt berechnen:

\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b=&\begin{pmatrix} \col[1]1 \\ \col[2]2\\ \col[3]3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \col[1]0 \\ \col[2]3\\ \col[3]{4} \end{pmatrix} \\[2mm]&= \col[1]1 \cdot \col[1]0+ \col[2]2 \cdot \col[2]3+ \col[3]3 \cdot \col[3]4 \\&= 0+6+12=\underline{\underline{18}} \end{aligned}ab=(123)(034)=10+23+34=0+6+12=18\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b=&\begin{pmatrix} \col[1]1 \\ \col[2]2\\ \col[3]3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \col[1]0 \\ \col[2]3\\ \col[3]{4} \end{pmatrix} \\[2mm]&= \col[1]1 \cdot \col[1]0+ \col[2]2 \cdot \col[2]3+ \col[3]3 \cdot \col[3]4 \\&= 0+6+12=\underline{\underline{18}} \end{aligned}

Skalarprodukt Anwendung

Du kannst das Skalarprodukt für verschiedene Berechnungen in der Geometrie benutzen.

In den meisten Fällen benötigst du es zur Überprüfung, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen.

Es gilt:

Zwei Vektoren stehen senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt zwischen ihnen gleich 000 ist.

\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b &= \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \\[2mm] &= a_1b_1 + a_2b_2+a_3b_3=\col[1]0 \\[3mm] \implies &\vec a \perp \vec b \end{aligned}ab=(a1a2a3)(b1b2b3)=a1b1+a2b2+a3b3=0ab\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b &= \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \\[2mm] &= a_1b_1 + a_2b_2+a_3b_3=\col[1]0 \\[3mm] \implies &\vec a \perp \vec b \end{aligned}

Statt dem Punkt \cdot\cdot sieht man auch häufig dieses Zeichen \circ\circ als das Zeichen für das Skalarprodukt.

Beispiel senkrechter Vektor

In dem Bild siehst du die beiden Vektoren

\begin{aligned} \vec a= &\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \text{ und }\ \vec b=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 3 \end{pmatrix} \end{aligned}a=(020) und b=(003)\begin{aligned} \vec a= &\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \text{ und }\ \vec b=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 3 \end{pmatrix} \end{aligned}
Man sieht zwei Vektoren, die senkrecht zueinander stehen.

Wie du in dem Bild sehen kannst, stehen diese beiden Vektoren senkrecht zueinander.

Die Berechnung des Skalarprodukts zeigt.

\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b&= \begin{pmatrix} \col[1]0 \\ \col[2]2\\ \col[3]0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \col[1]0 \\ \col[2]0\\ \col[3]3 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \col[1]0\cdot \col[1]0+\col[2]2\cdot \col[2]0+\col[3]0\cdot \col[3]3 \\[2mm]&=0 \end{aligned}ab=(020)(003)=00+20+03=0\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b&= \begin{pmatrix} \col[1]0 \\ \col[2]2\\ \col[3]0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \col[1]0 \\ \col[2]0\\ \col[3]3 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \col[1]0\cdot \col[1]0+\col[2]2\cdot \col[2]0+\col[3]0\cdot \col[3]3 \\[2mm]&=0 \end{aligned}

Wie du siehst, ist das Skalarprodukt 000. Logisch, denn die beiden Vektoren stehen senkrecht zueinander.

Weitere Anwendungen

  • Du benötigst das Skalarprodukt außerdem bei der Berechnung der Länge eines Vektors.
  • Auch bei der Winkelberechnung zwischen Vektoren wird das Skalarprodukt eingesetzt.

Skalarprodukt Beispiele

Beispiel mit positiven Zahlen

Berechne das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren

\begin{aligned} \vec a =&\begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 1 \end{pmatrix} \text{ und } \vec b= \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ {4} \end{pmatrix} \end{aligned}a=(241) und b=(324)\begin{aligned} \vec a =&\begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 1 \end{pmatrix} \text{ und } \vec b= \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ {4} \end{pmatrix} \end{aligned}

die nur aus positiven Einträgen bestehen.

Lösung

\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix} = 2\cdot3 + 4\cdot2 + 1\cdot4 = \underline{\underline{18}}(241)(324)=23+42+14=18\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix} = 2\cdot3 + 4\cdot2 + 1\cdot4 = \underline{\underline{18}}

Beispiel mit negativen Zahlen

Berechne das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren

\begin{aligned} \vec a =&\begin{pmatrix} -3\\ -12\\ -1 \end{pmatrix} \text{ und } \vec b= \begin{pmatrix} -4 \\ -1\\ {-15} \end{pmatrix} \end{aligned}a=(3121) und b=(4115)\begin{aligned} \vec a =&\begin{pmatrix} -3\\ -12\\ -1 \end{pmatrix} \text{ und } \vec b= \begin{pmatrix} -4 \\ -1\\ {-15} \end{pmatrix} \end{aligned}

die nur aus positiven Einträgen bestehen.

Lösung

\begin{pmatrix} (-3) \\ (-12) \\ (-1)\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (-4) \\ (-1) \\ (-15)\end{pmatrix} = (-3)\cdot(-4) + (-12)\cdot(-1) + (-1)\cdot(-15) = \underline{\underline{39}}((3)(12)(1))((4)(1)(15))=(3)(4)+(12)(1)+(1)(15)=39\begin{pmatrix} (-3) \\ (-12) \\ (-1)\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (-4) \\ (-1) \\ (-15)\end{pmatrix} = (-3)\cdot(-4) + (-12)\cdot(-1) + (-1)\cdot(-15) = \underline{\underline{39}}

Beispiel mit positiven und negativen Zahlen

Berechne das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren

\begin{aligned} \vec a =&\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ -7 \end{pmatrix} \text{ und } \vec b= \begin{pmatrix} 2\\ -5\\ {3} \end{pmatrix} \end{aligned}a=(247) und b=(253)\begin{aligned} \vec a =&\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ -7 \end{pmatrix} \text{ und } \vec b= \begin{pmatrix} 2\\ -5\\ {3} \end{pmatrix} \end{aligned}

die sowohl aus positiven als auch aus negativen Einträgen bestehen.

Lösung

\begin{pmatrix} (-2) \\ 4 \\ (-7)\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ (-5) \\ 3\end{pmatrix} = (-2)\cdot2 + 4\cdot(-5) + (-7)\cdot3 = \underline{\underline{-45}}((2)4(7))(2(5)3)=(2)2+4(5)+(7)3=45\begin{pmatrix} (-2) \\ 4 \\ (-7)\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ (-5) \\ 3\end{pmatrix} = (-2)\cdot2 + 4\cdot(-5) + (-7)\cdot3 = \underline{\underline{-45}}

Beispiel zwei Vektoren senkrecht

Überprüfe, ob die beiden Vektoren \vec aa\vec a und \vec bb\vec b senkrecht zueinander stehen.

\begin{aligned} \vec a= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ -3\end{pmatrix} ; \ \vec b= \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}a=(103);b=(311)\begin{aligned} \vec a= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ -3\end{pmatrix} ; \ \vec b= \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Zwei Vektoren stehen senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt zwischen Ihnen gleich 000 ist.

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = 1\cdot3 + 0\cdot1 + -3\cdot1 = \underline{\underline{3+0+(-3) = 0}}(103)(311)=13+01+31=3+0+(3)=0\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = 1\cdot3 + 0\cdot1 + -3\cdot1 = \underline{\underline{3+0+(-3) = 0}}

Das Skalarprodukt ist 000. Die Vektoren stehen also senkrecht zueinander.

Skalarprodukt Zusammenfassung

Mit dem Skalarprodukt kannst du zwei Vektoren multiplizieren.

  • Das Ergebnis ist immer eine Zahl. Daher auch der Name Skalarprodukt. (Skalar = Zahl)

Das Skalarprodukt findet vielseitige Anwendung:

  • Am häufigsten benötigst du es aber zur Überprüfung der Lage von Vektoren (also ob zwei Vektoren senkrecht zuinander stehen).

Die Berechnung erfolgt nach Folgendem Schema:

\vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3ab=(a1a2a3)(b1b2b3)=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
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